Рівняння

Проаналізувавши виклад матеріалу у підручниках для третьо­го класу М. Богдановича та Л. Кочиної, Н. Листопад ми дійшли висновку, що для оптимального роз'яснення цього матеріалу по­трібно об'єднати позитивні сторони обох підручників, тоді виклад буде мати наступну форму".

- Ми вже знайомі з числовими рівностями. Якщо в числовій рівності одне із чисел замінити буквою, то дістанемо рівність із змінною, наприклад, х + 2 = 8. Змінна х тому і називається змін­ною, що замість цієї букви можна підставляти різні числа. Давай­те спробуємо.

Учні пропонують різні числа і записують числові рівності, які при цьому утворяться із цієї рівності із змінною: 1 + 2 = 8; 2 + 2 = 8; 5 + 2 = 8; 6 + 2 = 8; 10+ 2 = 8 тощо. Утвореним запи­сам учні дають назву: усі крім одного є неправильними числовими рівностями і лише запис 6 + 2 = 8- правильна числова рівність. Вона утворилася, коліт ми замість х підставили число 6.

Маючи справу з рівностями із змінною, ми часто дістаємо за­вдання дізнатися, яке число потрібно підставити замість букви, щоб одержати правильну числову рівність. У цьому випадку рів­ність із змінною називається рівнянням, а знайти таке числове значення букви означає розв'язати рівняння. У результаті ми дістанемо число, яке називають розв'язком рівняння, або коре­нем рівняння. Коренем рівняння х + 2 = 8 є число х = 6. Як ми це визначили? Методом добору чисел. Цей метод незручний, бо рівняння можуть бути такими, що важко дібрати потрібне число: х - 175 = 328; х • 40 = 1200; 128 : х = 16 і т. п. Тому існують способи визначення х на основі правил. Кожне рівняння має своє правило, в залежності від того, як називається невідомий компо­нент.

Розглянемо різні види рівнянь.

/. х + 4 = 10; 5 + х = 9.

У цих рівняннях невідомим є один із доданків. Як же знайти невідомий доданок? Щоб вивести правило, розглянемо приклади.

5+3=8 6+4=10 8-5 = 3 10-4 = □ 8-3 = 5 10-6 = П

Учні закінчують обчислення. Учитель запитує: що дістане­мо, коли від суми віднімемо перший доданок? (Другий доданок.) Що дістанемо, коли від суми віднімемо другий доданок? (Пер­ший доданок.) То як знайти невідомий доданок? (Потрібно від суми відняти відомий доданок.) А тепер на основі цього правила розв'яжемо рівняння 45 + х = 71. Який компонент тут невідомий? (Другий доданок.) А як знайдемо другий доданок? (Від суми від­німемо перший доданок.) Учитель показує, як правильно запису­вати розв'язання рівняння:

45 + х=71

х=71-45

х = 26

Отже, ми знайшли розв'язок рівняння, число 26. Ми можемо перевірити, чи правильно ми розв'язали рівняння. Якщо корінь 26 правильний, то при підстановці його замість х рівняння має перетворитися у правильну числову рівність. Давайте підставимо. Дістали числову рівність:

45 + 26 = 71.

Перевіримо, чи вона правильна. Для цього знайдемо значення виразу 45 + 26 і підставимо його у рівність. Дістали рівність 71 = 71, яка вочевидь є правильною. Отже, розв'язок 26 ми обчислили правильно. Кінцевий запис з перевіркою має вигляд:

45 + х = 71

х = 71 - 45

х = 26

45 + 26= 71

71 = 71

2.x-16= 79.

У цьому рівнянні невідомим є зменшуване. Виведемо прави­ло знаходження невідомого зменшуваного. Для цього розглянемо приклади:

10-6 = 4 12-3 = 9

4 + 6=10 9 + 3 = 0

Що дістали, коли до різниці додали від'ємник? (Зменшуване.) То як знайти невідоме зменшуване? (Потрібно до різниці додати від'ємник.) А тепер за цим правилом розв'яжемо наше рівняння і виконаємо перевірку:

х - 16 = 79

х=79 + 16

х = 95 95-16=79

79= 79

3.94-х = 68.

У цьому рівнянні х є невідомим від'ємником. Виведемо прави­ло знаходження невідомого від'ємника.

49-21= 28 52-13 = 39

49-28 = П 52 - 39 = □

Що від чого ми віднімали у прикладах під рискою? (Від змен­шуваного віднімали різницю.) Що отримали? (Від'ємник.) Сфор­мулюйте правило знаходження невідомого від'ємника:

щоб знайти невідомий від'ємник, потрібно від зменшуваного

відняти різницю.

А тепер розв'яжемо рівняння з перевіркою.

94-х = 68

х=94-68

х = 26

94 - 26 = 68 68 = 68

4.x-17 =51; 4-х = 60.

У цих рівняннях невідомими є множники. Розв'яжемо при­клади.

3-6 = 18 12-6=72 18:6 = 3 72:12 = П

18:3 = П 72 : 6 = □

Що ми робили в прикладах під рискою? (Ми добуток діли­ли на один із множників і одержували другий множник.) Сфор­мулюйте правило.

Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник. Розв'яжіть рівняння.

х-17=51 х = 51:17 х = З 3-17=51 51 = 51

5.х:13 = 4.

Тут невідоме ділене. Розглянемо приклади.

60 : 5=12 45:15 = 3

12-5=60 3-15 = П\

Яке правило можна вивести з цих зразків?

Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на діль­ник.

А тепер розв'яжемо рівняння.

х: 13 = 4 х = 4-13 х = 52 52:13 = 4 4 = 4

6. 800: х = 40.

Невідомим є дільник. Розглянемо приклади.

42:6= 7 56: 7=8

42:7=П 56:8 = П

Яке правило можна вивести, співставляючи приклад над рис­кою з прикладом під рискою?

Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Застосуємо це правило при розв'язуванні нашого рівняння.

800: х = 40 х = 800: 40 х = 20

800 :20 = 40 40 = 40

Новітня програма з математики включила розв'язання рів­нянь на дві дії, яких не було раніше. Підручник М. Богдановича не містить таких рівнянь, тому вчитель сам повинен "розширити" рівняння на одну дію. Працюючи з рівняннями, можна роботу по­будувати так. Після того, як рівняння розв'язані учнями у зоши­тах, учитель записує їх на дошці і під кожним пише "розширене" рівняння:

х-25 = 900 966: х = 21

х-25 = 800+ 100 (900 + 66) : х = 21

Учні співставляють рівняння в кожній парі і з'ясовують, що перш ніж шукати х, у рівнянні треба знайти значення виразу, яким представлено відомий компонент або результат рівності, тоб­то виконати додаткову дію. Після цього рівняння дістає звичний вигляд.

Запис має вигляд:

12041 9085 2956

Особливістю наведених рівнянь є те, що вираз, який являє собою результат чи один із компонентів рівняння, є числовим. У 4 класі учні приступають до розгляду рівнянь, у яких цей ви­раз містить букву. Щоб діти зрозуміли доцільність розгляду таких рівнянь, підручник пропонує абстрактну задачу.

Оля задумала число. Якщо від нього відняти 8 і до результату додати число 15, то дістанемо 60. Яке число задумала Оля?

Учні під керівництвом учителя складають рівняння:

(х-8) + 15 = 60.

Далі з'ясовують, що у лівій частині записана сума, перший доданок якої х — 8, 9 другий - 15. Невідомим вважають той ком­понент, який містить змінну. Отже, потрібно знайти невідомий перший доданок. Учні повторюють правило і записують:

х-8 = 60-15

х - 8 = 45 - такі рівняння їм уже знайомі, далі

х = 45 + 8 розв'язування не становить труднощів х = 53

53 - 8 = 60-15 45-45

Аналогічно розв'язують і рівняння з іншими діями. (х + 3):9 = 4

ділене дільник частка

Щоб знайти невідоме ділене, потрібно частку помножити на дільник:

х + 3 = 4-9

х + 3 = 36 - далі іде звичайне розв'язування х = 36 - 3 рівняння на одну дію

х = 33

33 + 3 = 4-9 36 = 36

Найскладніші рівняння у 4 класі включають письмові обчис­лення:

12(Яі- 739^= 9085 зменшуване від'ємник різниця

_2956\739 2956%~

Перевірка: 739 _12041 4 2956 2956 9085

739-х = 12041 -9085 739-х = 2956 х = 2956 : 739 х = 4

12041 - 739-4=9085 12041 - 2956 = 9085 9085 = 9085