книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Вычислим моменты выходной переменной уравнения (9.1).

Используя уравнение	(8.48),	получаем
ту = — (а +	т2 ■—	G2 ^ ту ---- -- kG2N + kmN.	(9.9)

Интегрируя это уравнение при математическом ожидании началь­ ного условия тУо, получаем

ту (/)

а + г г г -----<Зг
+ тУое—^a+ni2—-^- G2)	(9.10)
Из данной формулы следует, что фильтр является устойчивым
по математическому ожиданию, если а + mz >	Gzl2. При а + mz =

= Gz/2 математическое ожидание стремится к бесконечности со

скоростью, равной GZN. При а + mz >	Gz /2 математическое ожи­
дание в установившемся режиме
k[mN----YX Gzn)
ту	(9.11)
а + т2 -----Y	Gz

Непосредственно из данной формулы определяем смещение ма­ тематического ожидания, обусловленное взаимной корреляцией возмущений:

Ати =

kGZN

(9.12)

2 {a + т2 ) — Gzn '

При отсутствии взаимной корреляции между мультипликатив­ ным и аддитивным возмущениями (GZN = 0) установившееся зна­ чение математического ожидания пропорционально математическому ожиданию аддитивного возмущения:

т„	kmЛ	(9.13)
	а + ,п2 — L	а 2

Составим уравнение для второго начального момента, пользуясь соотношением (8.49). Для рассматриваемого примера получаем

ау = — [2 (а + т2) — 2G2]ay -\- 3k {mN — 2GZN) my + k2GN. (9.14)

231

Интегрируя это уравнение с учетом начального условия а Уо и значения математического ожидания, получаем

ау (t) = с ^ е - I2 (а+"‘2) -2G2] <+ (1 — е - f2 («+"‘z) -™z] ‘) х

к2Gn (^a + mz -----+ 2/г2 (//rv — 2GZ,V) mN + /e2Gzw=

^[2 (a + /nz ) — 3Gz ] [a -f- mz — Gz \

A a+mZ—	e- t2 (a+mz)-2G2) t		X
SkGZlV — 2kmN	/г	GZN- m N )	(9.15)
	1ПУа +
X
a + niz ----Gz	a + m z - - i - Gz

Из решения следует, что фильтр является устойчивой системой относительно второго начального момента, если а + mz >> Gz. Таким образом, требования устойчивости по второму начальному моменту являются более жесткими, чем по математическому ожи­ данию. Из устойчивости по второму начальному моменту следует устойчивость по математическому ожиданию, но не наоборот.

Для установившегося режима уравнение (9.15) имеет вид

	k2GN ( a +	rnz - - 1	о* ) + 2/e2 (mN - 2GZN) mN + -J - /rGz 'v=
		2 [(a +	tnz) — Gz] a -|- mZ	-4- Gz
				(9.16)
При	отсутствии	взаимной корреляции		возмущений (Gz,v = 0)
второй	начальный	момент
		а г
		2GN ( a + n i z -----i- G z ) + 2 * V '*
				(9.17)
		2 (a ■	— Gz ) (a + m ± G Z '

Наконец, при отсутствии мультипликативного возмущения по­

лучаем известное	соотношение	т'N2
				(9.18)
	ау — Ь2\	2а
Начальный момент А^-го порядка при			mz == mN =	0
<i;V+ N [а -	~ G Z) aN = —N [ n -		- i - )k G ™	+
	+ N{N~	l)- k 2G»aN_2.		(9.19)

Из уравнения (9.19) следует условие устойчивости для момента jV-го порядка; а > NGz/2. Это условие является более жестким, чем условия на моменты первого и второго порядков, при которых N = 1 и N — 2 соответственно.

232

В установившемся режиме из уравнения (9.19) получаем рекур­ рентное соотношение между начальными моментами

	aN —	( N — 1) lt2GNa,у_2 — (21V — 1) kGZNaN_1	(9.20)
		2a — NGZ

Составим уравнения для кумулянтов, рассмотрев частный слу­

чай tnz = mN =			0. Первый кумулянт равен математическому ожи­
данию	« х = ту.		Второй	кумулянт		есть дисперсия, поэтому
			«и = Dу = ау — ту2.					(9.21)
Для	установившегося			режима		имеем
			■					(9.22)
При	GZN =	0 дисперсия выходной переменной
			Хц =		k2GN			(9.23)
					( »	- ^	г ) ‘
Вычислим		установившееся значение					третьего кумулянта.	Под­

ставляя в уравнение (8.56) выражения (9.2) и (9.3) для коэффициентов

сноса	и диффузии	и приравнивая	производную к нулю,	получаем
М	■3 (я — 4 “	) I/3 — 4 -	+ 3 (GV — 2GZNkif + k2GNy)\ =
		= - j f [«i («и +	«1) + 2«i«n].	(9.24)

Применяя операцию математического ожидания и учитывая сле­ дующие соотношения между начальными моментами и кумулянтами:

ту = щ; ау = «? + хи; а 3 = %\ + 3«i«n + «ш, (9.25)

получаем

3(-|-GZ — я) («? — 3«1«ц + «ш ) —

------- k («1 + «и) GZN + 3^2Gw«i = 3ту («п — «?) + Зщау.

(9.26)

Заменяя ту и ау выражениями, вытекающими из соотношений (9.9), (9.14) и преобразовывая, получаем формулу для третьего ку­ мулянта:

	k3GZN	-GZN*— 3Gz GnY	(9.27)
	1
	2

233

Рис. 9.3. Структурная схема формирующего фильтра

Из данной формулы, видно, что при GZN = 0 плотность вероят­ ности является симметричной, поскольку кумулянт третьего по­ рядка характеризует симметрию распределения вероятности.

Для реализации физической системы, соответствующей уравне­ нию (9.1), необходимо иметь два генератора шума ГШ1, ГШ2, блок произведения, усилители и интегратор. Функциональная схема реализации формирующего фильтра показана на рис. 9.3. Для созда­ ния коррелированных белых шумов сигналы генераторов белых шу­ мов суммируются в некоторой пропорции, определяемой коэффи­ циентом корреляции k 1. Генератор ГШ1 формирует мультиплика­ тивное возмущение Z (?). Генератор ГШ2 формирует белый шум V{t). Аддитивное возмущение формируется как сумма:

N (t) = k xZ (t) + V (t).

(9.28)

Интенсивность аддитивного белого шума определяется соотноше­

нием
GN = klGz + Gv,	(9.29)
где Gv — интенсивность шума генератора ГШ2.
Взаимная интенсивность шумов N (t) и Z (()
GZN = kxGz.	(9.30)
Таким образом, различная плотность вероятностей достигается
изменением интенсивностей шумов генератора ГШ1	Gz , ГШ2 Gv

и коэффициентом передачи kx. Параметры а и k также можно исполь­ зовать для изменения характеристик закона распределения выход­

	ной переменной	фильтра.
	Для визуального контроля гра­
	фика плотности вероятности мож­
	но использовать устройство инди­
	кации, блок-схема которого изо­
	бражена на рис. 9.4. В схеме
	имеется два осциллографа 1 и 2,
	электрический мост с включенным
	в одно из плеч фоторезистором 3 и
	сглаживающая цепочка RC. Один
Рис. 9.4. Блок-схема индикации	из осциллографов	(на рисунке ос­

234

циллограф 2) работает в режиме вынужденной пилообразной разверт­ ки по горизонтали. Этот же сигнал развертки подается на вертикаль­ ные пластины другого осциллографа. Сигнал развертки суммируется с наблюдаемым случайным процессом Y (t). На экране осциллографа 1 закрепляется фоторезистор, включенный в плечо моста. В резуль­ тате периодической развертки случайного процесса фоторезистор изменяет свое сопротивление пропорционально ординатам одно­ мерной плотности вероятности исследуемого случайного процесса. После сглаживания на интегрирующей цепочке RC напряжение, пропорциональное плотности вероятности, подается на вертикальные пластины осциллографа 2. Вследствие периодической горизонтальной развертки процесса на экране этого осциллографа воспроизводится график плотности вероятности процесса Y (t).

9.2. Система второго порядка

Математическое описание работы измерительных устройств при учете жесткости конструкции, маятниковых устройств при ускорен­ ных движениях точки подвеса, электрических цепей при флуктуа­ циях величин параметров во многих случаях приводит к дифферен­ циальному уравнению с аддитивными и мультипликативными воз­ мущениями вида

	Y + (2|со0 + 2г (0) У +		(со? +	Zi (0) Y = N (t),		(9.31)
где	Z2 (t),	Zx (t) — параметрические		возмущения;	N (t) — адди­
тивное возмущение; g — коэффициент				затухания;	со0 — собствен­
ная	частота	системы.	Z2 (t)	' - '		коррели­
Случайные возмущения Z 2 (t),				и N (t) являются

рованными белыми шумами с нулевыми средними, интенсивностями

Gi, G2, Gn и взаимными интенсивностями GfN, G%n, G(2.

Составим уравнения для первых и вторых начальных моментов и дисперсии выходных переменных. Для этого предварительно вы­

	числим коэффициенты сноса	и	диффузии. Представим уравнение
	(9.31) в форме Коши:
	Yi	=	П;	(9.32)
	Г2 = —(2Ы0+ Z2) Y2 -		(w20+ Zi) Yi + N (t).

Используя формулы (8.25), (8.26) коэффициентов сноса и диффу­ зии для линейных систем, получаем

А\ = У2', 'А2 = — ^2gcoo~— j-G2y«/2 —

/2	1r z\ „	1 r Z N .
— ( ® . - т 0 , ) й - . 7 й ,
2BU = 0;	2512 =	2fJ21 = 0;

2B22= GfУ? -(- 2Gi2!J\y2-f- G2y\ —

— 2 0 ? ^ — 2GlNy2+ Gn .

:

^’

235

На основании уравнений (8.48) и (8.49) получаем следующие уравнения для математических ожиданий:

m i = m2; m2 = — ^ 2 gcoo ■— y G f ) m 2 — ^ <*>6------G f ^ m i -----------

G $ N

(9.34)

идля вторых начальных моментов

«и = 2<х12>

	Х12 =	— ^2|С00---- i1-G f ) Й12— («о---- Y Gf:2^ ац —
			~2
			---- Gfwmi		агг',			(9.35)
		агг =	—2 ^2|соо---- Gf ) «22 —
	—	2 ^соо----2" 0?2 ^ O12 —			G i‘vni2 -f- Gfau -f-
	-(- 2G\2<xi2 -|- Gfo.22 — 2G\Ntill — 2G2Nm2 -)- G .
	В установившемся режиме
		m2 = а 1а = 0; mx= —				GfN
						• Z N
					2o)0 — Gj2
	a ll —	GN (2o>q-	Ofa) +	G jN \2GfN +		G jN ( 2jco0 -	Of)]	_
		( 4 -	°f2) [(2<b0S - °2 ) (2o)20 - Of2) - Gf]					’
	GN (2tog -		Of2) +	GfN [2Gfv +		Of* (2Eo0 -	Gf)]	(9.36)
	a 22	2	[(2«Do| -	G|) (2og - Cf2) - Gf]

G f"

2 (2a»| — Gfa)

При отсутствии взаимной корреляции между параметрическими и аддитивными возмущениями моменты соответственно равны:

т,	= т 9 =	a 1 2	0;
a n =	2c0q(2co0|	Gf)	Gf ’	(9.37)

gV

OC90—

(2ш0| — Gf) 2coq— Gf

Наконец, при отсутствии параметрических возмущений получаем

т1 — т2 « 1 2 = 0 ;-	(9.38)
gn
«п — 6ц — 2t > «22 — ®2	4to0£
4a»Si

236.

Поскольку математическое ожидание производной Y в устано­ вившемся режиме равно нулю, то величина 022 есть дисперсия про­ изводной в установившемся режиме. Дисперсия координаты опре­ деляется вычитанием из второго начального момента квадрата ма­ тематического ожидания. Для установившегося режима

GN (2(og - Gfa) + 2Gf% 2ЛГ (2со* - Gf2) - GfO?"’

(9.39)

(2“ o — G f 2) 2 [(2co0£ — Of) (2(0q— Gf2) — Gf]

При отсутствии взаимной корреляции возмущений имеем

--N	(9.40)
Д ,=
у 2со*(2со01 - G i) -	Gf ’ .

Вычислим теперь вторые начальные моменты. Эти моменты опре­ деляют по формулам (8.70):

		k=I	при ?	> t,
	г „ ((, 0	=
				(9.41)
		1	при t	>

где gtk (t, О — весовые функции системы, а функции вычисляют по формулам

2 /'

F, (*', 0 =	S	J 8ik (Д Л) К (А ) +	Gfn (h)] dh	t > (,
	ft. i=i t
	2	t
Fi (t, 0 =	S	J ^ (*. Л) К (Л) +	G|h (A)] dh	t >

ft. /=i <'

Z7,. ((, (')

(9.42)

Для рассматриваемого измерителя при (' > t начальные моменты соответственно равны:

Гц ((', 0 =	g.n (/', t) 0ц (/) +	£i2 (Д	0	0U +	m, (О Д (Г, /);
г « ( Л	о = £ я ((',	о£ 2 20 и( Д(/)00+12 +			mL{t) F 2 (t\ 0;	(9.43)
Г22 (/'. о =	g2i ((', t) 021(О +	£22 (/',	0	022 +	/па (О F2 (Г, t).

Весовые функции определяются системой уравнений

(r>0 + 6 ( f - 0 ;

(9.44)

^ '■ „ 0 ^ g 22 ( /',/) ;

237

	— ^2cOo£----g-G2^ gil (t , t)',
	ф ± = _	(ш*о _ 4 -	(9.44)
^			cf2) g a (t, t) -
—	(2co o £----- y	Gf ) g 22	» О 4 - 6 — t ) .

Дифференцируя четвертое уравнение системы (9.44) по f и исклю­ чая с помощью второго уравнения производную весовой функции

g 12 (t t ) ,

получаем

d^

d% ' t]

=

-

(со0 - 4

§ 2 2 {t, t) -

- (2co<£---- TX

Gf)

+

6 (t

- i).

(9.45)

Интегрируя это уравнение при t' > t и

> Г и

учитывая, что

go2

(*',

/)

=

g22 (t,

t'), получаем

g 22 (Л 0 =

[4 (соI -

4

0?2) -

(2со0Е ---- y

G?)

]

X

XГ ^

^

0|)1 1 {- (2Ш,5 —i. Gf) X

X

sin

j^-^- "|/ Г 4

( coq----- Gf2) — (2(o0| ; --------- ^ - G2 )

I * — *

+

+

} ^ 4

(c o g - 4

Gf2) -

(2co0| -

4

G2 )2 X

X

cos

4

]

Л

(co^----- G?2)

—

(2co0|

--------- i - G 2 ) 2 1 / — t

(9.46)

или,

вводя

обозначение

,=

'|/ Л^ ( С0°-----g- Gf2) — (2соо^---- g-G2)

,

(9-47)

будем

иметь

£ я (* '.0 =

1

-4 -(2 ш0t - ±-в%)1 t-t' I

4 е

X

X

(2сооЕ ----- y

G2 )

sin v U — ^ I +

V COS V 1 1 — t

(9.48)

236'

[—у sin v I т 1+ Vcos v I т |],

Подставляя в третье уравнение системы (9.44) весовую функцию

g2l (f, t)	из первого уравнения, получаем уравнение								относительно
весовой	функции	(t',	i):
- ( 2coo?---- L Gi)		dg» (/	’ 0	+ 6 {t	-	t) +	( 2co0E	—4	Gi ) 6 (f' - *)•
										(9.49)
Интегрируя это уравнение и учитывая,							что^ц (С, t)		— gll (t, £'),
получаем
			1	- 4 - ( 2t°o ^ T -°22) 1'- ''				X
	£п (Л 0 = -гг-е
	X [^2(0о|---- y G2 j			sin v | / — t		| -j- v cos V		i t ----t		(9.50)
Аналогичным		образом		можно	вычислить			весовые		функции
gl2 (t', t) и gil ( f ,		t). Выражения для этих функций имеют вид
	gu (*', 0						sin v 11		V |;	(9.51)
			- 4 - ( 2“ os- 4 - o f ) I * - / '

( “ о- 4	“ °и)
Функции Fx (t',	0 и F2	(t t )
F\ (/', 0 =		—

sin v | ^ — V |. (9.52)

находят интегрированием:

г

j ga {t, h) dh,

t

(9.53)

t*

f 2 (t, t) = - G i N J g2l (t\ h) dh.

Аналогичные выражения можно записать и для случая, когда

Рассмотрим установившийся режим.			В этом режиме	т2 =
= а 12 = а 21 = 0 и моменты соответственно			равны:
		а VI XI
Гц (т) — а11 (°°) ■ v [у sin v | т |			v cos v | т |]
+	G2N т1 (оо)	e-V !хI	v cos v | т |)	(9.54)
	y2 + 'v2	(Y sin v | т |
Гм(т) = —a u		( “o — ^ Gf2)
		(oo)4------- -------- 1 e - v lH Sin v |T | +

G f% (o o )(^ ----L Of2)

+7“ +v-

_Yj x | r 22(t) = aa2 (oo) —

r>~VI X

(y sin v| т | + vcosv | т |) ; (9.55) (9.56)

239

где nii	(°°)> a ii С00). а 22 (°°)		определяются формулами		(9.36).
Величина
		' = ф ( 2 < о , 1 - ^ С |) .			(9.57)
При	отсутствии	взаимной корреляции между аддитивными и
параметрическими		возмущениями Gf.2 =		>ZN	Тогда
				GfN = G£N = 0.
	’ =	| / ю о —	------ )	= P - '	(9.58)

В этом случае начальные моменты превращаются в корреляцион­

	ные функции	-V I XI
	К у у (т) = Э ц (оо)
		[Т sin р |т | -f pcos р |т |];

Р
4
Ку'у (Т) = —0ц (00) — e-v I т1sin р| т |;	(9.59)

Куу (т) = 02"22(°°)V' / 4jj,- e_V ' т 11—'Ysin р | т | +

+pcosp |т|].

При отсутствии		мультипликативных					возмущений		у — со0ё,
р, = со0 У \ —	| 2 и	корреляционные				функции		принимают вид
К у у ( х ) =		G t		I2	[g Sin CD0 К		1 —	g2 I -Г 1 +
		40)gi V 1-
	+			cos co0 y r = f			IT |];
Kyi (T) =		-	r N -	<£>„Ъ I X I			-------------		(9.60)
			G9C1/T. ==- sin ffl0 ] / 1					%l |t |;
		4®Jg V l - E 2
^	,	Gwe	~ 1T1		[—S Sin со0| Л —1 2 \ t \ +
		4co0|	V l — Is
						1—i2M]-
	+V 1—£2cos co0 Y

Из этих формул следует, что в установившемся режиме коорди­ ната и ее производная в один и тот же момент времени некоррели-

рованы (t = t', т = 0, к и£ (0) = 0).

Спектральную плотность координаты вычислим, применив пре­ образование Фурье к выражению (9.54). В результате получим

Sy И = ССц (о о )	02глЧ (со)		4у ('V2 + V2)	Y27 +
	у 2 +	V2	[у 2 + (со — V)2] [у 2 + (СО +	V)2]
	G%Nml (00)
	+	у2 + V2	6 (со).	(9.61)

240