книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

ния для математического ожидания и координатных функций пере­ менной:

F (А, /г) 1пу (/г, е) + R (А, /г) ср0 = Я (А, /г) mA.(/г); (6.57)

Т7 (А, /г) г/у (/г, е) + 7? (A, h) kxlJj (/г, е) = Я (А, /г) Xj (Л). (6.58)

(/ = 1, • ■ Я)

Уравнения (6.58) для координатных функций любого номера оди­ наковы, но связаны между собой и с уравнением (6.57), что обуслов­ лено зависимостью ср0 и 1гх от ту и Dy. Поэтому полученные раз­ ностные уравнения необходимо интегрировать совместно, дополнив формулами

Фо =	Фо [Щ (h, е),	Dy (/г,	в)];
k x =	[m„ (/г, е),	(Л,	в)];
	n	_	(6.59)
А ,=	£ Яг/г/£(Л, s) г/, (/г, в).
	/=1

При интегрировании разностных уравнений (6.57) начальные условия должны быть заданы в виде математических ожиданий пере­ менной У и ее п — 1 разностей для начального момента времени. Начальные условия для уравнений (6.58) задаются и выбираются в соответствии с формулами (6.50).

Изложенный метод исследования точности .нестационарных диск­ ретных систем обобщается на многомерные системы и нелинейные системы со многими нелинейностями аналогично тому, как это сде­ лано в п. 2.5 и 4.4 для непрерывных систем.

6.5.Метод интегрирования уравнений моментов

Кдискретным линейным системам можно применить метод со­ ставления и решения уравнений корреляционных моментов. Для этого их уравнения должны быть приведены к форме выражения (1.18). Рассмотрим для упрощения обозначений дискретный выход

(в = °)

АУ, (А) = £ aki 0h) Уг (/г) + Ьк (/г) Vk (Л),

(6.60)

/= 1

(k = 1, • ■., п)

где Vk (/г) — дискретный белый шум, имеющий отличное от нуля математическое ожидание. Применяя операцию математического ожидания к уравнению (6.60), получим систему разностных уравне­ ний для определения математических ожиданий всех переменных

Атук (A) = £	aki (h) У; (А) + bk (К) V,. (/г).	(6.61)
t=1
(k	= 1, . . ., /г)

Для осуществления численного интегрирования этих уравнений должны быть заданы значения математических ожиданий всех пере­ менных в начальный момент времени, т. е. при /г = 0.

181

Путем почленного вычитания уравнений (6.61) из уравнений (6.60) получим систему разностных уравнений для центрированных случайных составляющих

AYl (A) = £ aki (/г) У? (/г) + bk (А) Vl (А).

(6.62)

1= 1

(/г = 1, . . ., п)

Пользуясь уравнениями (6.62), составим разностные уравнения для определения корреляционных моментов переменных. Как и для непрерывных систем, обозначим через

0// (А) = М [У? (Л) У/ (Л)]

корреляционный момент переменных У? (/г.) и У9 (/г) и запишем формулу первой разности для этого момента

А0,у (Л) = М [ДУ° (/г) У/ (/г) + АУ? (/г) У? (Л) +

+ АУ? (Л) АУ/ (Л)]•

(6.63)

(', / = К ■• »)

Используя уравнения (6.62) и подставляя выражения для А У? (/г) в формулу (6.63), получим

Д0,-у (А) = S [а/Г (А) в{/ (/г) + а/г (/г) 0Г/ (/г)] +

/•=1

+ bt (А) М [У? (/г) У? (/г)] + Ь,- (А) М [У? (/г) У? (А)] +

+ Ъ, (Л) М [У? (А) У/ (А)] + £	(А) а/р(А) 0гр (А) +
г, р=1

+bi (h ) £ air(h)M\Y°r (h)V0i(h)} +

Г= 1

+ 6, (Л) £ аip(li) М [Ур (А) У? (А)].	(6.64)
p = i

Значения выходных переменных физически возможной дискретной многомерной системы выражаются через входные переменные фор­ мулой

y°t(h) = t £ Ян (А, г) У? (г),

(6.65)

;= 1 г=о

где |f.; (/г, /-) — весовые коэффициенты дискретной линейной системы, соответствующие i-му выходу и I-му входу.

Вычислим корреляционные моменты М [ У9 (А) У9(А)], исполь­ зуя формулу (6.65):

М [У? (А) У/ (А)] = f

(А, г) М [У? (А) У/ (А)],

(6.66)

;= 1 г—0

(i, / = 1, . . . . /г).

182

Но функция У9 (/г) представляет собой случайную дискретную после­

довательность импульсов, у которой отсутствует корреляционная зависимость между ними. Однако между собой эти дискретные после­ довательности могут быть коррелированы, тогда корреляционные функции их имеют вид

ЛГ [W (Л) V?(Л)] = (Л) 6Аг,

(6.67)

где

1, h = r, б/,г — О, /г =/--■г,

Gtj — взаимный корреляционный момент связи дискретных белых шумов.

Подставляя выражения (6.67) в формулу (6.66), получим

М [У? (/г) У/ (/г)] = S	Gtj (/г)gn (/г, И) = 0,	(6.68)
([, у'=1,	. . ., я)

так как весовые коэффициенты git (h, h) = 0 при одинаковых зна­ чениях первого и второго аргумента [58]. Учитывая формулы (6.67) и (6.68), уравнения (6.64) для корреляционных моментов переменных дискретной линейной системы можно записать в следующем виде:

АМ Л) = 2 air{h)Qrj(!i) + air{h) Qri (h)
+ alr(h) Ц aip(h)Qrp(h) +	й,(/г)/;/ (/г) Gu (h).		(6.69)
p = i
В уравнениях (6.69) следует учесть,	что 0(/- (h) =	0/(- (/г).	Поэтому
число независимых уравнений равно 0,5/г (я + 1),		где п — порядок

исходной системы разностных уравнений.

При интегрировании разностных уравнений (6.69) следует задать начальные значения всех корреляционных моментов для /г = 0. В результате интегрирования уравнений (6.61) и (6.69) определяют значения математических ожиданий и корреляционных моментов связи переменных для последовательности дискретных моментов времени.

Для оценки точности по любой из переменных можно применить формулы (2.2) и (2.4).

Рассмотрим нелинейные дискретные системы. Нормальная форма разностных уравнений нелинейной дискретной системы имеет вид уравнения (1.17). Для упрощения обозначений рассмотрим систему

с дискретным выходом (е =	0).	Тогда уравнения можно	записать
в следующей форме:
А У* (/г) = ФА(/г,	Уlt	. . ., У„) + bk(h) Vk (h),	(6.70)

(/г = 1, . . ., я, h = 0, 1, . . .)

где фА— произвольная нелинейная функция.

183

Для анализа этих систем так же, как и непрерывных, применим приближенный метод, основанный на линеаризации нелинейностей ср,,. В общем случае следует осуществить статистическую линеаризацию функций срА:

9к (Л, Ylt .... Y„) == cp/;0 (/?., mu., 0(/) +
-1- fi kkr(h, mu., Qif)Y°r(h),	(6.71)
Г = 1

где tny. (h) — математические ожидания; 0f/- (li) — корреляционные

моменты связи переменных У° (t); (pft0 — статистическая характе­ ристика нелинейности; kkr — статистические коэффициенты усиле­ ния. Подставляя выражения (6.71) в уравнение (6.69) и формально пользуясь принципом суперпозиции, получаем нелинейную (в общем случае) систему разностных уравнений для математических ожиданий и линеаризованную систему для центрированных составляющих:

АтУк (/г) =	Ф*о (Л. тУ1, 0,,) -!- Ьк (/г) тщ (/г);	(6.72)
AYl (h) = £	К 0h, тц., 0t/) Y°r (Л) + bk (/г) V°k (li).	(6.73)

Уравнения (6.73) служат для составления разностных уравнений, определяющих корреляционные моменты (li). Эти уравнения со­ ставляют аналогично уравнениям (6.69):

AQu (h) = £	k i f i r j	( h)	+	k j f i n ( h) +
Г=1
+ ^ i r Xi k j p ^ r p	(h )	+	bt (h) bj-Gij (li).		(6.74)
p = i
(i, / = 1 ,		.. .,		n)

Уравнения (6.72) и (6.74) в отличие от соответствующих уравне­ ний (6.61), (6.69) связаны между собой через функции cpft0 и kir, которые зависят от математических ожиданий и корреляционных мо­ ментов связи переменных Yk (li). Поэтому эти уравнения, число которых равно 0,5д (я + 3), необходимо интегрировать совместно, присоединив к ним выражения для срА0 и 1гкг. Для их решения не­ обходимо задать начальные значения математических ожиданий и корреляционных моментов связи переменных.

Путем однократного интегрирования уравнений (6.72), (6.74) определяют вероятностные моменты переменных в последовательные дискретные моменты времени. Если задан желаемый выходной сиг­ нал., то по формулам (2.2) и (2.4) определяют характеристики точности работы исследуемой нелинейной системы.

Г л а в а 7

Д И С К Р Е Т Н Ы Е СИСТЕМ Ы

7.1. Система стабилизации

Определим математическое ожидание и дисперсию ошибки в уста­ новившемся режиме для системы стабилизации нулевого значения выходной величины Y (рис. 7.1) с импульсным линейным корректи­ рующим устройством, содержащим 6-импульсный элемент, при дей­ ствии на систему стационарного случайного процесса X (t) — тх + + Х° (/) с постоянным математическим ожиданием тх и интервалом корреляции, величина которого меньше периода повторения Тл.

Передаточная функция разомкнутой системы определяется по таблице 2-преобразования и имеет вид

^ p (z) = T ^ T .

(7-1)

Передаточная функция замкнутой системы

¥(z) =	У Р (?)	кг	(7.2)
	1+ Т р (г)	(1 + / г ) г - Г

Математическое ожидание ошибки ту определим по формуле (6.17):

ту = т.щ0 = mxXf (1) = тх.

(7.3)

Перейдем к определению дисперсии ошибки стабилизации. Так как рассматриваемая система содержит импульсный элемент, период повторения импульсов которого больше интервала корреляции слу­ чайного процесса, то на вход системы подается последовательность случайных некоррелированных импульсов (импульсный белый шум) с периодом повторения Тп. Спектральная плотность стационарной последовательности некоррелированных импульсов — величина постоянная:

od	ТпР
6д: ~	2я ’
где D — дисперсия импульса.

Рис. 7.1. Дискретная линейная система

185

Переходя по формуле (6.28) от переменной Sd к переменной z, введем спектральную плотность'.

d	2п D.
Yv

Затем применим ш-преобразование, перейдя к переменной w от переменной z в формулах (6.30) для XF (z) и v^.. В результате получим

(ш)	*(1+ц>)		.	И =	V*		(7.4)
	(2 + к) w-|- к		’
Подставив выражения (7.4) в формулу					(6.31)	и сделав	замену
w = г£, получим
n _ _ L Т		I *0 + *£)			2D	dl.	(7.5)
у ~	2л J	| (2 +	k ) i l + k		1+6*

Выражение (7.5) приводится к стандартному табличному интег­ ралу, который можно вычислить. В результате получаем

kD	(7.6)
Dу ~ к + 2

Рассмотрим нелинейную систему. Определим математическое ожи­ дание и дисперсию ошибки системы стабилизации нулевого значе­ ния (рис. 7.2).с б-импульсным нелинейным корректирующим уст­ ройством релейного типа <p (X) = I sign X в установившемся режиме при действии на систему стационарного случайного возмущения вида N = тп + №, интервал корреляции которого меньше периода повторения Тп, и с постоянным математическим ожиданием.

Применим статистическую линеаризацию нелинейности (прило­ жение 3):

ф (X) = /г о (rnx, Dx) tnx -\- k x (mx, Dx) X°,

(7.7)

где	О

После линеаризации исходную систему заменяют двумя линеа­ ризованными, структурные схемы которых представлены на рис. 7.3.

Рис. 7.2. Дискретная нелинейная система

186

В)

Рис. 7.3. Статистически линеаризованная дискретная система:

а — для математического ожидания; б — для случайной составляющей

Определим передаточные функции для этих линеаризованных си­ стем. В данном случае необходимо определить передаточные функции ¥*0 (2), ¥ у0 (г) по структурной схеме на рис. 7.3, а для выходов тх и ту, а также функции ЧСх (2), Чгух (г) по структурной схеме на

рис.	7.3, б для выходов Х° и Y 0 в установившемся режиме. Приме­
нив	z-преобразование, получим

Гг,о(г)

(г)

2 — .

(1 + k k 0) z — 1

(1 4- k k 0) z —

wxl (z) =	(1 +АЛ1)г- 1	(7.8)
(*) =	kkyZ	(7.9)
	(1 + k k j) z — 1

По формулам (6.39) и (6.40) с учетом формул (6.21) находим

т. 0; т„ т„

(7.10)

Таким образом, в данном случае ту определяется достаточно про­ сто, а коэффициент k x зависит только от Dx, так как тх = 0.

Преобразуем формулу для гГЛ.1, перейдя к переменной w:

	'I'a* (w)	2w		(7.11)
		[ 2 + ^ i ( D J l w + k k ! (Dx)
	Спектральная плотность дискретной случайной помехи			(пи) =
— D/2п, где D — постоянная дисперсия случайных импульсов. За­
меним в формуле (7.11)		w = fg и подставим выражения для		(it)
и	в формулу (6.43):
		с о	2D
				(7.12)
		[2 + A*il	1+ I 2 d t
	Вычисляя интеграл в формуле (7.12),		получим
		2D_______		(7.13)
		[2 -(- kkx] [1 + £&il ’

187

где

21

ki — V 2лDx

Из уравнений (7.13) определяем Dx:

кЧ*

D*=l-^k+V°+ 8л

Для определения Dy вычислим

¥ ,* (и>) — _____kklW_____.
У1 ' '	(2 + klii) w+ kki_

(7.14)

(7.15)

Заменяя в выражении (7.15) w = ig и подставляя в формулу

(6.44), находим

kki (1 -г it) D* = Т Г (2 + kkj) il + kki

После вычисления интеграла получим

D	— D —ккх ■
у	kki + 2

7.2. Автодальномер

	2D_	(7.16)
	+ £:

Для решения различных задач необходимо знать дальность до объектов, наблюдение за которыми осуществляется радиолокаторами. Если радиолокатор работает в импульсном режиме, то дальность до цели можно определить, измеряя временный интервал между моментами излучения и приема отраженного от цели одного и того же импульса. Поскольку скорость распространения электромагнитных волн постоянна, то время от момента излучения до момента приема импульса равно удвоенной истинной дальности до цели Д, поделен­ ной на скорость света:

к =

(7.17)

Для автоматического измерения дальности в радиолокаторах имеется специальное устройство — автодальномер. Принцип работы автодальномера заключается в следующем. С момента излучения импульса начинается отсчет времени. Отраженный от цели импульс воспринимается приемником, и фиксируется время его прихода. Однако определение момента прихода импульса обычным способом дает большие ошибки. Для повышения точности используют метод деления видеоимпульса пополам. Идея этого йетода заключается в соз­ дании следящей системы, вырабатывающей два полустроба, которые накладываются на отраженный импульс, и сравнении площади пере­ крытия левого и правого полустроба с импульсом от цели [41, 51]. Разность площадей перекрытия полустробов и импульса цели яв­ ляется управляющим сигналом для смещения во времени полустро-

188

189

	7 'Л
	и	_ _ L
	ш
	ш	t
Рис.	7.4.	Иллюстра-	Рис. 7.5. Блок-схема автодалыюмера
цня	метода стробиро­
	вания

бов таким образом, чтобы импульс от цели располагался строго сим­ метрично относительно полустробов (см. рис. 7.4).

Сравнение импульса от цели с полустробами осуществляется во временном дискриминаторе. Выходной сигнал временного дискри­ минатора поступает в управляющее устройство, управляющее вре­ менем задержки полустробов относительно генерируемого импульса. Общая структурная схема автодальномера показана на рис. 7.5.

При изменении дальности по некоторому закону последователь­ ность отраженных импульсов на входе будет иметь временную моду­ ляцию (см. рис. 7.6). Таким образом, радиолокатор осуществляет временную импульсную модуляцию: входной сигнал в виде даль­ ности до цели модулирует последовательность импульсов путем сдвига их на 4 относительно фиксированных моментов излучения.

На вход автодальномера поступает последовательность импульсов. Полезная информация о дальности закодирована в смещении импуль­ сов относительно моментов излучения зондирующих импульсов. Автодальномер вырабатывает по дискретным значениям дальности непрерывную функцию в виде постоянного напряжения. Это напря­ жение пропорционально дальности и может быть использовано для решения различных задач автоматическими системами.

Структурная схема автодальномера как импульсной системы представлена на рис. 7.7. На входе системы стоит импульсный эле­ мент, осуществляющий временную модуляцию. Этот элемент описы­ вает работу радиолокатора в импульсном режиме. Далее в схеме

включены		фиксатор,			усили­
тель-преобразователь и ис­
полнительное			устройство. В
обратной связи есть импуль­
сный	элемент		с	временной
импульсной			модуляцией.
Фиксатор		запоминает			значе­
ние 4 на время периода сле­
дования		импульсов.				Дан­
ную схему можно преоб­
разовать		к более		удобному			О	Т 2Т ЗТ « Г 5Т 6Т t
для	исследования			виду		(см.
рис.	7.8).	Импульсный				эле-	Рис. 7.6.	Временная модуляция импульсов от цели

Рис. 7.7. Функциональная схема автодалыюмера

мент в дайной схеме одни. На этот элемент подается разность фак­ тической и измеренной дальности.

Дальнейшее преобразование схемы автодальномера проводят с учетом динамических характеристик элементов. На рис. 7.9 пока­ зана структурная схема автодальномера с одним интегратором и вре­ менным различителем с нелинейной характеристикой. Линейная схема автодальномера может быть получена из предыдущей схемы, если сигнал рассогласования не выходит за границы линейного участка характеристики временного дискриминатора.

Найдем уравнение, связывающее измеренное Д , и истинное значение дальности. Измененное значение дальности в h-\- 1-й такт, равно значению этой же дальности в /t-й такт и приращению даль­ ности за один такт:

Д п [ к + \) = Д п [1г] + 8Д Иг].

(7.18)

Приращение дальности есть нелинейная функция разности истин­

ной и измеренной величин дальности:
6Д = к<рЩ — Д„),				(7.19)
где k — k tk 2— коэффициент усиления прямой цепи.
Подставляя выражение	(7.19)	в (7.18), получаем нелинейное
уравнение в конечных разностях,		связывающее	истинное	и изме­
ренное значения дальностей:
Д я [h + I] = Д ,	[/г] +	к<р (Д [h] -	Д, [/г]).	(7.20)

Рис. 7.8. Преобразованная схема автодальномера

Если аргумент нелинейной функции изменяется в пределах ли­ нейного участка характеристики, то вместо уравнения (7.20) можно записать

Ди [h + 1 ] = Д , lh] + кД [/г] - кДл [/i]

(7.21)

190