книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Таблица 5.1

Таблицы функций Ф (z), Ф' (z) даны в приложениях 4, 5. Если математическое ожидание входного сигнала равно нулю, то, как это следует из формулы (5.11), математическое ожидание выходного сигнала также равно нулю. Дисперсия выходного сигнала

со

D u = J (и — muY~ fy (у) dy = р (/х + т„)й +
i
+ Р2 (I — таУ + ~ j (у — т„)2 fx ( — //) cly.	(5.12)
—i

Вычисляя последний интеграл для частного случая нормального закона распределения вероятности входного сигнала, получаем

D y =	Pi (* +	muY + Pi V -		tnB)2+	у ф	d L2m.,		l (, 1 r ~ T )		X
	(d~ mx ) \								id+ mxY
X	e	lar		2/Пу -f- / ^1				e	2cri-
		] 2л d							Л +
	d-	■tn„	2lniytnx			d— nir		L Q ) ( ± t j ! h L
										(5.13)
При нулевом среднем значении входного сигнала									пгх — 0,'	ту
= 0, Pi	= р 2,	и дисперсия		выходного		сигнала		ограничителя
						1		_
	Dy = 2piP + — т*- Ф (				i		е	2		(5.14)
						) Y-2л

Вычислим корреляционную функцию выходного сигнала огра­ ничителя. По определению корреляционной функции стационарного случайного процесса имеем

ky (т) =

j

(хJ) ср <(рхх) [, (х, хх) dx dxx

П 1у у

(5.15)

где индексом т отмечено значение входной переменной в момент времени t + т. Непосредственно использовать формулу (5.15) для вычисления очень сложно. Процесс вычисления существенно упро­ щается, если двумерную плотность вероятности нормального слу­ чайного процесса, имеющего нулевое математическое ожидание, представить следующим рядом [39]:

I (х. х,) = P r	(ZL) «,<*+•> ( а ) ф а ,	(5,16)
	к—О

142

где г (т) — коэффициент корреляции	входного	сигнала;
ф(Л) = /г-я производная функции
Ф (г) -	2 dt.			(5.17)
Подставляя выражение (5.16) в интеграл (5.15),			представим его
в виде
М х) =		+
СО		гк (т)	О
+ У				(5.18)
		й!	— ти.

* = 1

Но первый член в данном выражении есть квадрат математи­ ческого ожидания выходного сигнала, и формула для корреляцион­ ной функции принимает следующий окончательный вид:

	СО	Гк(т)
	-L j <р(х)Ф(*+'>(-£)с1х		(5.19)
		/г!

к~\

Интеграл удобно вычислять по частям. Обозначая ф (х) — и и

выполняя v-кратное интегрирование по частям с учетом того, что
при k нечетном ф(*+'> (оо) = 0 ,		ф(*-Ы) (0) = 0 , получаем следующее
тождество:
СО		с о
J ф (*) Ф<‘+1>	dx = (— a,)v	J фМ (х) Ф(^+!-'’)	dx.	(5.20)

Число интегрирований по частям v следует выбирать таким, чтобы ф(у) (х) превратилось в сумму 6-функций. В этом случае инте­ грал (5.19) будет выражен через производные функции Лапласа.

Для ограничителя двойное дифференцирование характеристики приводит к следующему выражению:

ф(~> (х) = ~ [6 (X + d) — 6 (х — d) ].

(5.21)

Следовательно, v = 2, и выражение для корреляционной функции выходного сигнала ограничителя принимает вид

ky (т) = ау2 £ akrk (т),	(5.22)
k=1
где коэффициенты ак вычисляют по формуле
1	(5.23)
[ « • « > ( £ ) ] k\ ■

143

Таблица Ь.2

Из этой формулы следует, что при к четном ак = 0. С увеличе­ нием к коэффициенты ак быстро убывают. Поэтому для вычисления корреляционной функции достаточно учитывать в сумме очень небольшое число членов (обычно не более трех).

Спектральная плотность выходного сигнала ограничителя опре­ деляется преобразованием Фурье корреляционной функции:

00		со
Sy И = ol ^	ak	J rk (т) е -г“* dx.	(5.24)
Й =	1	— СО

По рассмотренной выше процедуре для ряда типовых нелинейно" стей вычислены математические ожидания и корреляционные функцин выходных сигналов для нормального входного случайного сиг­ нала с нулевым математическим ожиданием. Результаты расчетов сведены в табл. 5.2. Дисперсия выходного сигнала определяется значением корреляционной функции при нулевом значении аргу­ мента (т = 0).

Математическое ожидание и корреляционную функцию выходного сигнала безынерционного нелинейного элемента можно приближенно вычислить, пользуясь методом статистической линеаризации. В соот­

ветствии с этим методом нелинейность Y — cp (X) заменяется	при­
ближенной зависимостью
У = Фо (тх, Dx) + к, (тх, Dx) X» (t).	(5.25)

Используя это соотношение, получим следующие формулы для математического ожидания и корреляционной функции выходного

сигнала нелинейного	элемента:
	ту = Фо (тх, Dx)\		(5.26)
Кя (t,	t )	= й (тх, Dx) Кх (t, t),	(5.27)
где фо (inх, Dх)\ к г (пгх,		Dx) —■параметры статистической	линеа­

ризации, явные выражения которых для часто встречающихся нели­ нейностей приведены в приложении 3.

5.2. Релейная следящая система

Простейшая модель следящей релейной системы включает инте­ грирующее звено и релейный элемент с зоной нечувствительности в цепи обратной связи (рис. 5.2). На вход системы подается стацио­ нарный случайный сигнал с математическим ожиданием тх и корре­ ляционной функцией kx (т) = Gx 6 (т). Определим математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала, пользуясь методом ста­ тистической линеаризации.

Ю В. С. Пугачев

145

Уравнение системы
ТУ = к (X — U),		г/ = <р(У),
		У < — d	(5.28)
Ф (У) =	0	| У | < d
	1	Y > d .

Выполняя статистическую линеаризацию нелинейности, полу­

чаем
Ф (У)	=	/го (ту, Du) т.у +
+	к,	(niy, D„) У0,	(5.29)

где параметры линеаризации в соответствии с приложением 3 соот­

ветственно равны:
ко ('«у, Д,) =		Ф	/ d + ту \	Пл ( d — ту \ ] .
			) ~	\	Л ’
	I				‘‘- ту \
ki (%. Д,)					ау )
	ау У 2л

Подставляя выражение (5.29) в уравнение (5.28), после преобра­

зований получаем
ТУ + kk 0niy + /е/г! У0 = кХ (/).	(5.30)

Применяя операцию математического ожидания, получаем нели­ нейное дифференциальное уравнение относительно математического

ожидания выходной переменной:
Тпгу + kk0my — kmx (I).	(5.31)
Это уравнение можно решить, если известна	дисперсия Dy.

Для получения уравнения относительно этой дисперсии центрируем уравнение (5.30):

ТУ0 + kk xy° = kX° (i).

(5.32)

Применим метод уравнений моментов. В результате получаем следующее нелинейное уравнение относительно дисперсии выходного

сигнала:
Dy + ^ r kk, (my, Dy) Dy =	G,.	(5.33)
Совместное		интегрирование
уравнений (5.31), (5.33) при на­
чальных условиях
ту (0)	= Шу0,	Dy (0) = D,Jo
дает решение задачи. Рассмотрим
частные случаи.
Рис. 5.2.	Релейная	следящая система

146

В установившемся режиме получаем следующие уравнения:

т У = k 0 (т у* Dy) ' 2 T k L (гпу, Du) ' ( 5 ‘ 3 4 )

Данную систему целесообразно решать графически так, как это изложено в п. 4.3.

Рассмотрим второй частный случай, когда математическое ожи­ дание входного сигнала равно нулю. Поскольку нелинейность в дан­ ной задаче симметричная, то математическое ожидание выходного сигнала в установившемся режиме также равно нулю. Поэтому для

определения дисперсии достаточно решить уравнение	(5.33):
b y + -Y kk1(О, Du)Dy = ^ f ,		(5.35)
где
21
МО, D„) = -ау V 2л
Если зона нечувствительности равна бесконечности		(d = о о ),
что соответствует размыканию обратной связи, то k x =	0,	и произ­
водная дисперсии выходного сигнала постоянна. Поэтому
Du = ^ i - ' r D y a.		(5.36)

С течением времени дисперсия неограниченно возрастает.

Если зона нечувствительности равна нулю {d = 0), что соответ­ ствует случаю идеального реле, то коэффициент статистической ли­

неаризации	по случайной		составляющей
	М °.		Dy)		21
					оу У2л
Подставляя это значение в уравнение (5.35), получаем
	Ц у +		4/е/		VD u=	k*Gx	•	(5.37)
		T V 2 л				Т2
Введем	новую переменную
	_		Akl	V D y		k-Gx	•	(5.38)
	2	Т	У 2 л			Т'1
Тогда уравнение (5.37)		принимает вид
		k~Gx \		dz	__	A k 4 i		(5.39)
		Т Ч )		d t	~	я Г -	’

это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл данного уравнения имеет вид

Т3	1п — :	- -(5.40)
	2„	л Т 2 ^

10*

147

где zQ— начальное значение переменной; t0— начальный момент времени. Переходя с помощью соотношения (5.38) к старой перемен­ ной — среднему квадратическому отклонению выходного сигнала и преобразовывая уравнение (5.40), получаем окончательное решение:

				ЛТ1 (<Уи-<Ууа)	4г
а =	kGx У 2 л	ATI	е	kOx У 2л	nG,
	— —-----
у	477	kGx У	2 л

где gUo— начальное значение среднего квадратического

ния. При аУ ф kGx |/2л;/477 имеет место асимптотический ный процесс к установившемуся значению

_	kGx V 2 л
а Усо —	4Т1

V - U )

(5.41)

отклоне­ переход­

(5.42)

Если	начальное значение равно этой	величине, то	движения
в системе, описываемой уравнением (5.37), нет.			при уста­
Для	рассмотренного частного случая	(mx = d = 0)

новившемся значении выходной переменной известно точное решение для плотности вероятности, полученное В. С. Пугачевым с помощью теории марковских случайных процессов. Точное значение среднего

	квадратического отклонения	для	рассматриваемого	примера при
	k — Т = Gx = I
	.т			(5.43)
	>JcD		I У2
	Относительная ошибка вычисления среднего квадратического
	значения по формуле (5.42) при		k — Т — Gx = 1,	обусловленная
	приближенностью метода статистической линеаризации,
	т		__
	T) = ..-V - - ^	=	1 - ] / - ^ - ~ 0 ,1 1 4 ,	(5.44)

что составляет около 11%. Учитывая неточность исходных данных, всегда имеющую место при инженерных расчетах, следует признать полученные результаты удовлетворительными.

5.3. Автоколебательная система

Рассмотрим задачу определения вероятностных характеристик выходного сигнала нелинейной автоматической системы, структур­ ная схема которой изображена на рис. 5.3 [27, 28]. К данной схеме можно привести некоторые следя­ щие системы, имеющие чувствитель­ ный элемент релейного типа. На входе системы действует случайное возмущение типа белого шума с ма­ тематическим ожиданием mN и интен-

. Рис. 5.3. Автоколебательная система

148

сивностью Gn. Исследование проведем методами статистической линеаризации и уравнений моментов (см. п. 4.8).

Уравнения системы имеют вид

			у г =			У2 =	(5.45)
	=	Уа-	, _L. Y	2	■	k
			pZ J			т-т0 Ф(П) тзт0 N ( t) ,

где нелинейная функция есть идеальная релейная характеристика

Ф (y i) = I sign Y v

Выполняя статистическую линеаризацию этой нелинейности, заменим ее выражением

Ф (У{) = kami	+ h У°ь	(5.46)
где коэффициенты статистической	линеаризации	в соответствии

с приложением 3 определяются формулами

2

(5.47)

Подставляя значение нелинейной функции (5.46) в уравнения (5.45) и применяя к ним операцию математического ожидания, полу­ чаем

			т х = т 2;		т 2 =	та;			(5.48)
	т.	2ki	Ф	"h_ \	та	2т3 ,	k	^
		Т2Т„		Кеи )	р2	р '	T QT Z		•

Уравнения для корреляционных моментов составим на основе уравнения (2.73). В результате получаем

	0 ц	=	20	12>		012	—; 022	0 is;
013	=	023 ----		С1	^ 1 0 Ц		^2012	^з01з!
023	=	0 з з	—	С1		j0 2 2	С 20 2 2	с 302з;	(5.49)
				0 22		= 2 0 2з;

=- —2 с 1&10 1з 2 с 20 23'— 2 с 30 3з +

где сх = k/T0T 2\ с2 = 1/Г 2; с3 = 2/Т.

Корреляционные функции переменных системы (5.45) можно

определить по	формуле
K t, (t,	П = gn (U Г) о17 (О +		gi2 (t,	П 02;. {Г) +
	+ Я(-э (/,	О 03/ (О-		(5.50)
	(t, j =	1, 2,	3)

149

K»(t,0)

Рис. 5.4. Сечение корреляционной функции

Корреляционные моменты в данном выражении определяются при совместном интегрировании систем (5.47), (5.48). Весовые функции в (5.50) вычисляют путем интегрирования системы уравнений

	У1 — У-2, Уз — Уз\							(5.51)
	Уз = — cji 1 (mjQu) у 1— с,у3~ с 3у3.
При задании начальных условий у г (У)						= 1; у г (У) — у 3 (У) = 0
интегрирование уравнений			(5.51) дает весовые функции					gn (t, У)
(t = 1,	2, 3), непрерывные по первому аргументу и фиксированном
втором	аргументе. При	начальных условиях у г (У) = у3 (У) = 0,
у 2 (У) =	1 в результате	интегрирования				системы	(5.51)	получаем
весовые функции gl2 (t,		У)	(t	= 1, 2,	3).	Наконец,	при	начальных
условиях Ух (У) = у з (У)		=	0,	у з (У)	= 1	получаем	весовые функ­

ции giз (t, У) {i — 1, 2, 3). При вычислении весовых функций для различных значений второго аргумента следует начинать интегри­ рование в момент У, что практически осуществляется сдвигом пере­ менных коэффициентов на это время.

Поскольку в систему уравнений (5.51) входит коэффициент ста­ тистической линеаризации, зависящей от математического ожидания и дисперсии выходной переменной, то эту систему необходимо инте­ грировать совместно с уравнениями (5.48) , (5,49).

Перемножая весовые функции gn (t, У) на величины 01;- (/') и суммируя произведения, получаем корреляционную функцию Кц (t, У) в области t > У. Используя свойство симметрии, нетрудно по­ строить корреляционную функцию в области У > t.

В качестве примера по данной схеме рассчитано одно сечение кор­ реляционной функции КXI (У 0) в области t )>0 при mN = О. Слг —

=

var, k =

5, 770 =

1 с, Т = 0,5

с, 7 = 1

и начальных

условиях

0 Ц (0)

=

lj

0 12

(0) =

0 13

(0)

—

023

(0)

=

022

(0) “

^33

(0) =

0,

тг (0)

=

т 2 (0) =

т3 (0) =

0.

На

рис.

5.4

представлены

графики

сечения корреляционной функции /СХ1 (t,

0) при значениях GiV=

0,

GN =

0,05,

Gn =

0,1.

Поскольку

Qlf (0)

=

0

при i =f= 1,

j =j= 1

и

0n

(0)

=

1,

то данное сечение корреляционной функции

совпадает

с

сечением

весовой функции

K ±i (У 0)

=

£ и

(У 0)-

На

рис.

5.5

150