книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Предположим теперь, что функция ср в уравнениях (4.14) может быть линеаризована статистически, т. е.

ср (X) = /го тх + kxX°,

где к0 = к 0 (тх, Dx)\ кг = k x (m„ Dx) — статистические коэффициенты усиления по математическому ожиданию и по случайной центри­ рованной составляющей. В этом случае из уравнений (4.14) получаем связанные между собой системы уравнений для определения мате­ матических ожиданий переменных:

F1 (р) ту = Нх(р) к0 (тх, Dx) тх\	F2 (р) тх = Я, (р) [ти— ту\		(4.20)
и для центрированных случайных составляющих
Fx (р) F° - Нх (р) kx (тх, Dx) Х°;	F2 (р) Х° =	Я2 (р) [V0 - П -	(4.21)
Уравнения связаны между собой через		коэффициенты к 0 и k lt

которые имеют конкретный вид для заданной нелинейности и зави­ сят от тх и Dx.

В установившемся режиме, если такой в системе существует, величины тх, D, постоянны. Следовательно, в установившемся ре­ жиме уравнения (4.20) и (4.21) стационарны и при постоянных задан­ ных к 0 и kx линейны. Применяя к этим уравнениям формально линейную теорию (п. 2.4), определяем передаточные функции для тц,

т ,, F0, У0:

Ф/ _ \ _____ Ну (s) Н2(s) /г0 (тх, Р х)________.

ои W ~ Fi (s) Ft (s) + Hl {S) h 2(s) * 0 (mx. Dx) ’

Ф/ ч __________H2(s)Fx(s)k0(mx. Dx)_______.

у одVs/ -		Fl (s) F„(s) + Ну (s) H2(s) * 0 (m„ Dx) ’
ф	M	Hy (s) H2(s) kx (mx. Dx)	(	>
	1УW -	Fi (s) Fi (s) + Их (s) H2(s) kx (/77,. Dx)	’
Ф	/ . \ _________H2(s) Ft (s) kx (m,. Dx)_______
	U- W -	Fi (s) (s) + Hi (S) (S) Ai (mje, £>,) •

На основании формулы (2.31) получаем выражение для математи­ ческого ожидания переменной на входе в нелинейность:

СО
тх = ^ 7Г	(0’ '”*• D-<)	(0•	(4-23)
г=0

Дисперсию переменной на входе в нелинейность вычисляют на основании выражения (2.41):

00

F>x= J | Ф1Л- (»“ ) I2 SN(со) da,	(4.24)
— 00

где Ф1Л- (/со) — частотная характеристика, полученная из выражений (4.22) заменой s = /со. Интеграл в формуле (4.24), как известно, при определенных условиях выражается через параметры системы и

120

спектральной плотности. Формулы (4.23) и (4.24) являются в сущности уравнениями, связывающими между собой величины тх и Dx. До­ бавляя к ним выражения для /е0 (тх, Dx) и k l (пгх, Dx) конкретных нелинейностей, получаете полную систему уравнений, определяющих эти вероятностные характеристики. Для их вычисления можно при­ менить метод последовательных приближений или в простейших случаях графическое решение. После того как будут найдены вели­

чины тх и D.v, а следовательно, /е0	и /гу, определяют	ту, гпе, Dy,
D е. При использовании метода	последовательных	приближений

необходимо задаться значениями коэффициентов k 0 и k x и по форму­ лам (4.23) и (4.24) определить тх и Dх в первом приближении. Затем воспользоваться формулами для /г0 (тх, Dx) и k x (тх, Dx) и вычис­ лить новые значения коэффициентов /г„ и /е:1, после чего повторить расчет тх и Dx во втором приближении. Вычисление можно закон­ чить, когда два следующих друг за другом приближения совпадут с точностью до погрешностей расчетов.

Для определения ту также воспользуемся формулой (2.31), записав ее в следующем виде:

СО
(0) т Г (/),	(4.25)
7^о

а для определения систематической ошибки — формулой (2.34), которая принимает вид

mE= Y i C rtn\P{t).	(4.26)
г=О

Заметим, что так как полезный сигнал ти (£) обычно можно пред­ ставить в виде полинома, а система имеет астатизм необходимого по­ рядка, то в формулах (4.23), (4.25) можно ограничиться первым чле­ ном разложения. Далее определяют Du по следующей формуле:

		СО
	А ,=	j | Фц, (йо) |2SiV(со) do),	(4.27)
		— СО
где	(гео) — частотная	характеристика, получаемая из выра­
жения (4.22) заменой s =		гео. Дисперсия ошибки в рассматриваемом

случае совпадает с Dy, так как требуемый выходной сигнал принят не случайным.

Важное практическое значение имеет случай, когда в системе имеется один выход и т входов Ui (t), i — 1, . . ., in. Один из них Uх (t) является основным и на него подается неслучайный полезный

сигнал mUl, а также помеха Ni (t). Через остальные входы в систему

поступают помехи, не коррелированные между собой, с помехой N\ и имеющие равные нулю математические ожидания. В этом случае процедура расчетов в установившемся режиме в основном сохра­ няется. Для нахождения тх, ту, ше применяют формулы (4.23),

121

(4.25), (4.26), а для определения дисперсий Du и Dx используют сле­

дующие выражения:

гп со

А* =	2	1 I ф «/ (*«) |2S Nj (со) dco;		(4.28)
	/ — 1 — со
А ,	/7»	СО	И “ГS;V (co)rfco,
	=	2 ! ф 1у/1(		(4.29)
	/ = 1	— СО
где Ф1л.; (гео), Ф1у/ (/со)	—	частотные	характеристики	статистически

линеаризованной системы для случайных составляющих от входов N,- до выходов х и у соответственно в установившемся режиме. Формулы (4.23) и (4.28) также представляют собой уравнения относительно пгх и Dx. Эти уравнения могут быть решены в общем случае методом по­ следовательных приближений с учетом выражений для /г0 (inx, Dx) и /г, {тх, Av) или графически.

Графическое решение уравнений (4.23) и (4.28) состоит в построе­ нии в координатах тх, Dx кривых, соответствующих этим уравне­ ниям, и в определении точки их пересечения. При этом может быть применен следующий прием. Заменим уравнение (4.23) системой

z = тх,

(4.30)

2 = 2 з т Ф « г’ (°)т '(;) (/)-

г^О

Построим в координатах z, тх прямую 1 по первому уравнению (4.30) и серию кривых 2 по второму уравнению (4.30) при различных значениях Dx (рис. 4.2). Точки пере­ сечения кривых 2 с прямой 1 удов­ летворяют уравнению (4.23). Пере­ неся эти точки на плоскость пере­ менных тх, Dx и проведя через них кривую 3, получим первую зависи­ мость между переменными тх и Dx, соответствующую уравнению (4.23).

Далее для точек этой кривой вы­ числяем правую часть формулы (4.28) и строим вторую зависимость между тх и Dx (кривая 4). Точка пересече­ ния кривых 3 и 4 определяет искомые значения тх и Dx, так как она удов­ летворяет одновременно уравнениям (4.23) и (4.28). После определения этих величин вычисляют коэффициенты

/го (тх, Dx) и k y {тх, Ar)

и по соответствующим формулам определяют ше, Dv, D&.

Рис. 4.2. Графическое решение уравнений (4.23)

и (4.28)

В современном приборостроении, автоматике и других отраслях техники широко используются устройства, в которых возможен автоколебательный процесс при отсутствии внешних возмущений. Этот автоколебательный процесс в некоторых устройствах является полезным сигналом, в других он должен быть подавлен за счет внеш­ него более высокочастотного регулярного или случайного сигнала.

В таких случаях представляет интерес задача		анализа	колебаний
в нелинейной системе	при действии в общем	случае	полигармо-
нического и случайного стационарного возмущений.			автоколеба­
Допустим, что уравнение нелинейной стационарной
тельной системы с одним безынерционным элементом имеет вид
F (р) Y	= Н (р) [Z — ср (У, У) ],		(4.31)
где

F (Р) =	2 акРк\	Н (Р) = 2 Ь,р1,
	и=0	1=0
ср (У, У) — безынерционная		нелинейность гистерезисного	типа.
На нелинейную систему действует возмущающий сигнал:
		N
Z (t) =	тх -f- Х° (i) + 2 слsin		(4-32)
		Г = \

где тх, сг— постоянные величины; Х° (t) —■стационарный случайный процесс со спектральной плотностью Sx (со) и равным нулю матема­ тическим ожиданием. Задача состоит в изучении поведения дина­ мической системы при действии случайной и регулярной полигармоннческой составляющих, т. е. в определении вида решения в устано­ вившемся режиме, спектральной плотности и дисперсии переменной

у(О-

'Используем для решения этой задачи метод статистической линеа­

ризации. При этом будем рассматривать колебания как процессы со случайной фазой и относить их к центрированным составляющим

[27].

В установившемся режиме будем считать, что переменная

У (t) = ту + У, (0;

(4-33)

у±(0 = (0 + 2 drsin к* —1|>г),

г=1

где ту — математическое ожидание переменной Y (t) в установив­ шемся режиме, равное постоянному значению; УД (t) — центриро­ ванная составляющая, содержащая стационарную случайную функ­ цию У0 (i) и регулярную часть полигармонического типа с ампли­ тудами dr и случайными фазами фг.

На основании метода статистической линеаризации нелинейности запишем

Ф (У, У) = Фо + kiYi + К У 1,

(4-34)

123

где функции

Фо = Фо(|Н„ . D i/.’	ki =	k\ (ту> D yt, D yx)\
^2 ^	^2 (^//> ^У\ r	^!/i )

имеют конкретный вид в зависимости от типа нелинейности; Dyi — дисперсия; D • — дисперсия производной функции Y х (I) в устано­

вившемся	режиме.		и (4.34) в уравнение (4.31)
Подставим выражения (4.32), (4.33)
и учтем,	что ср0 =	k 0my для нечетной	нелинейности. В результате

получим уравнения для определения математического ожидания и случайной составляющей:

	F (р) ту = Я (р) [тх — 1г0ту]\					(4.35)
		N	sin соrt — kxYx— ItipYj			(4.36)
F(p)Y1 = H(p)		Х°
Из уравнения (4.35) для установившегося режима получаем
т„	Я(0)					(4.37)
	F (0) + каН (0) т■л-;		К ~ К ( ту> Dy i ,		D'y ,).
Полигармонический		сигнал	N	можно	рассматривать
			°r s'n
			Г=1	[27 ]
как процесс со спектральной плотностью
		N
	S(co) =		(О— со,.) -f- 6 (со + (О,)],
где б (со ± сог) — дельта-функция.
Дисперсия Dyl и D		в установившемся режиме в рассматривае­

мом случае вычисляют по формулам линейной теории (п. 2.4), при­ нимающим вид

			та			N	^
		DUl =	J	I ф ( К О )	|* Sx (со) dco +	^	IФ (Ч ) I* ±		;	(4.38)
		та	— СО			Г = 1
						N
		D-t = Г | Ф (too) UоI2 Sx (со) da +				V	| Ф (toor) |2 со?		?	(4.39)
где
СВ(ко) = - ■,. . .			Н	|	,---- частотная характеристика					ста-
v	'	F (ш ) +		(ко) [kx +	/г2ш]		r	г

тистически линеаризованной системы от входа Z до выхода Y. Выражения (4.37), (4.38), (4.39) являются уравнениями, которые

связывают величины ту, Dyi, Ь • . Для их определения необходимо эти уравнения решить совместно, учитывая формулы для /е0, k x,

К-

124

Случайный процесс Y (t) в установившемся режиме имеет вид

N

у (0 = ту + У0 (/) + £ cr IФ (ког) | sin (соrt — -фг);

Г=1

ФЛ= arg® (ко,.).

Спектральная плотность этого случайного процесса

N

Sy И = I Ф ( И Г S* (со) + ^

1Ф (иог) |2 [6 (со — еог) + 6 (со + сог)].

г=1

Из последней формулы следует, что спектральная плотность со­ стоит из непрерывной и дискретной частей. Непрерывная часть может иметь экстремум иа частоте, определяемой из уравнения

dSy (со) _ а

дш ~

Дискретная часть имеет 5-функции на частотах сог, совпадающих с частотами внешнего полигармонического возмущения. Изложенная процедура расчетов может быть обобщена на другие структуры и многомерные системы с одной нелинейностью.

Аналогично решается задача при наличии в системе нескольких нелинейностей. Заменив нелинейности линейными безынерцион­ ными зависимостями с соответствующими статистическими коэффи­ циентами усиления и выразив при помощи формул типа выраже­ ний (4.23), (4.24) или (4.28) математические ожидания и дисперсии входных сигналов всех нелинейностей, получим необходимые урав­ нения для определения этих неизвестных. Для решения уравнений в общем случае следует применить метод последовательных прибли­ жений. В результате решения этих уравнений определяются мате­ матические ожидания и дисперсии входных сигналов нелинейностей и соответствующие статистические коэффициенты усиления. После этого по формулам типа (4.25), (4.26), (4.27), (4.29) определяют мате­ матические ожидания и дисперсии выходных переменных и ошибок системы.

4.4. Метод интегрирования уравнений системы

При решении основной задачи анализа точности нелинейных си­ стем непосредственно использовать метод интегрирования уравне­ ний системы невозможно. В этом случае предварительно проводят линеаризацию нелинейностей любым способом, после чего можно применить метод интегрирования уравнений системы, изложенный в п. 2.5.

Рассмотрим существо и особенности применения метода интегри­ рования уравнений так же, как и в п. 2.5, предварительно для одно­ мерной системы с одной нелинейностью. Пусть уравнение такой

динамической нестационарной системы имеет вид
F (t, р) Y + R (t, р) ф (У) = Н (t, р) X ,	(4.40)

125.

где

F (t> P) =	S ar ( 0 Pr Я (*.	P) = 2 j	cr ( 0 pr;
	r—0	г—0
	m
	н (t, p) = S	( 0 P r .
	r=0
Ф (^) —• нелинейность	произвольного	вида;	X (/) — случайный

в общем случае нестационарный процесс с заданным математическим ожиданием и корреляционной функцией. Начальные условия для уравнения (4.40) являются случайными, для которых заданы мате­

матические ожидания и дисперсии величины		У (0) п производных
У(г) (0) до я-го порядка:
ту (0), . . . , /и]?-15	(0), Dy (0), . . . ,	£>,(!.-» (0).
Случайную функцию Y (t)	представим в виде выражения Y (t) =

= niy (/) + У0 (I). Пусть ср (У) является гладкой,дифференцируемой нелинейностью и допустима обычная ее линеаризация:

ср (У) = ср (niy) + ср' (ту) У0.

(4.41)

Подставляя выражение (4.41) в уравнение (4.40) и пользуясь принципом суперпозиции, из линеаризованного уравнения полу­

чаем уравнения для математического ожидания					и	центрированной
составляющей переменной:
F (t,	р) ту +	R	(t,	р) ср (niy) = Н (/,	р)	тх\	(4.42)
F (t, р)	Y° -г R	(t,	р)	ср' (яд У° = Н (t,		р) Х \	(4.43)

где тх — математическое ожидание;

X й— центрированная составляющая случайной функции X (t). Уравнение для математического ожидания (4.41) является нели­ нейным и интегрируется при заданных начальных условиях для ти (0) и я — 1 ее производных. После его интегрирования определяем ту и ср' ( n i y ) . Уравнение (4.42) — линейное с переменными параметрами. Для его интегрирования и определения Dy полностью применим

метод, изложенный в и. 2.5.

В общем случае нелинейность ср (У) всегда может быть линеари­

зована статистически:
ф (Y) = ср0 (niy, Dy) + /г 1 (niy, Dy) У0.	(4.44)

Подставляя выражение (4.44) в уравнение (4.40) и пользуясь прин­ ципом суперпозиции, из линеаризованного уравнения получим урав­ нения для математического ожидания и случайной центрированной

составляющей		переменной			У:
F (t,	р) ту +		R	(t,	р) Фо (ту, Dy) = Н (t, р) тх\	(4,45)
F (t,	р)	Y° +	R	(/,	р) к, (ту, Dy) Y° = Н (t, р) Х \	(4.46)

где тх (t) — математическое ожидание; Х° (t) — центрированная со­ ставляющая случайной функции X (t).

126

Уравнение (4.45) следует интегрировать при заданных начальных условиях ту (0), . . , т ^ п_Х) (0). Для уравнения (4.46) заданы

начальные дисперсии переменной Y и ее производных У(г) до п— 1-го порядка. Это уравнение может быть проинтегрировано методом канонических разложений. Для этого представим случайную функ­ цию Х° (/) каким-либо разложением:

	х° (0 = S	V,X, (О,	(4.47)
	/=i
где Xj	(t) — координатные функции; V,- — случайные величины с ну­
левым	математическим ожиданием	и корреляционной	матрицей

Ru = M \ V lV,\.

Решение уравнения (4.46) также будем изыскивать в виде разло­

жения по тем же случайным величинам:
(t) = 2 Vitji ((),	(4.48)
/=i

где tjj (t) — неизвестные координатные функции разложения. Подставив выражения (4.47) и (4.48) в уравнение (4.46) и выпол­

нив необходимые преобразования, для определения координатной функции tjj (/) получим

F (t, р) tjj + R (t, р) k x (ту,	Dy) tjj = Я (t, р) Xj.	(4.49)
( / = 1 , . . . .	ло

Уравнения (4.49) для координатных функций связаны между собой и с уравнением (4.46) через функции ср0 и k x от ту и DtJ. По­ этому полученные уравнения необходимо интегрировать совместно, дополнив следующими формулами для ср0, k x и Dy:

Фо = Фо (ту, Dy); k 1 = k 1 (ту, Dy)\

(4.50)

Du= Ъ RijVi ( 00/ ( 0-

t. i = i

Уравнения (4.49) необходимо интегрировать при определенных начальных условиях для координатных функций. Однако в рассмат­ риваемом случае заданы начальные дисперсии переменной Y и ее п — 1-й производной, как и в задаче, рассмотренной в п. 2.5. Поэтому для определения начальных значений координатных функций вос­ пользуемся темн же рассуждениями и выкладками. В результате начальные условия для первой координатной функции у х при раз­ ложении по действительным координатным функциям имеют вид

где D, = R lt = M [Vi\.

127

При разложении по комплексным координатным функциям на­ чальные условия для первой координатной функции должны быть взяты в формуле

Re г/{г) (0) =	/ и Лг)		0.
	у	Imr/{r) (0) =
(г = 0, 1, . . ., п — 1)
Начальные условия для	координат функции		других номеров
(/ ф 1) должны быть взяты равными нулю.				анализа точ­
Таким образом, подставленная		основная задача
ности нелинейной нестационарной		системы сводится		к совместному

интегрированию нелинейного уравнения (4.45) для математического ожидания, N линейных уравнений (4.49) для координатных функций при определенных начальных условиях с учетом конечных соот­ ношений (4.50). Особенность применения рассмотренного метода к нелинейному исходному уравнению состоит в необходимости совмест­

ного интегрирования полученных уравнений в отличие от		линейного
исходного уравнения, рассмотренного в п.	2.5, или нелинейного, но
допускающего обычную линеаризацию. При интегрировании пере­
численных уравнений определяются ту (t)	координатные	функции
Hi (0> /= 1, . . ., N и дисперсия Dy (t).	Одновременно	с интегри­

рованием уравнений может быть вычислена корреляционная функ­ ция по формуле (2.61) или (2.62).

Если для рассматриваемой системы задана некоторая идеальная операция над полезным входным сигналом тх (t), то по формуле (2.34) могут быть рассчитаны ошибки в системе.

Изложенный метод исследования нелинейных систем применим также к многомерным системам со многими нелинейностями.

Пусть многомерная нелинейная система задана уравнениями вида

Уi =	Ф, {t, Y lt	■•	Уя)	+	bt (t) Л'„	(4.51)
	( t= 1..........Я)
где ф£— нелинейные функции произвольного вида;						статистикой,
Х[ — случайные	функции	времени		с	заданной
которые можно представить в виде какого-либо разложе­
ния по случайным параметрам:
			Ni		(0,
X £ (t) = /П,. (t) +
	(/= 1 ,		. . . . q)			(4-52)

где Vtj — случайные коэффициенты, имеющие равные нулю матема­ тические ожидания, заданные дисперсии и корреляцион­ ные моменты связи;

Хц (I) — известные координатные функции.

128

Нелинейные функции ф; необходимо линеаризовать. Применим статистическую линеаризацию как более общую и включающую обычную линеаризацию в качестве частного случая. В результате уравнения (4.51) принимают вид

Yi = Ф,-0 +	Е blr Y°r + bLX h	(4.53)
	Г = 1
(1 =	1, ...,< ?)

где статистические характеристики нелинейностей ф(-0 и статисти­ ческие коэффициенты усиления kir определяются конкретными фор­ мулами, зависящими от вектора математического ожидания тц и корреляционной матрицы 0,,:

			Фео = Ф ;о (t,				ту, Qy)\			(4.54)
			kir		kir (t,		Шу,	9y).
			(Г =		1, •	•	••	Ф-
Пронумеруем случайные параметры Н(/-									и функции Хц в формулах
(4.52)	порядковыми номерами от 1					до N =			о
									S N,- и введем обозна-
чения	Vv, xv (l), v	=	1, . . .,		N.				/=!
Как и в п. 2,5,		решение для Y t будем отыскивать в форме разло­
жения	по случайным		параметрам				Vv	с неизвестными		координат­
ными	функциями	yiv (/):
		Y,	(t) =	ти (t)		+	S	Vvyiv (/)■		(4.55)
							v = l
			(t	=	1, •	■.,		q)

Подставляя соотношения (4.52), (4.55) в уравнения (4.53), учи­ тывая принятую нумерацию случайных параметров и координатных функций в выражении (4.52), на основании принципа суперпозиции получаем нелинейные уравнения для математических ожиданий и линейные уравнения для координатных функций:

Щу =	ф/0 + Ьупх.\	(4.56)
	Я	(4.57)
Уlv =	Е kirlJrv + b tXv .
	г—1

(t = 1, . . , q\ v = 1, . . ., N).

Уравнения (4.56) и (4.57) связаны между собой, поэтому их необходимо интегрировать совместно при учете формул (4.54) и формулы для компонентов матрицы коэффициентов корреляции

% У ,(0=	Е Ki!/iv(0 ~Уц (О-
1 1	V, f= l

9 В. С. Пугачев

129