книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Уравнения (4.56) п (4.57) необходимо интегрировать при опреде­ ленных начальных условиях. Начальные условия выбирают анало­ гично тому, как это делается для линейных многомерных систем.

Таким образом, при использовании изложенного метода для анализа нелинейной многомерной системы необходимо совместно

и н т е г р и р о в а т ь

с и с т е-\м-N)qу =(1 ^1 + S qvV/ j

обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка при учете формул (4.53), (4.54) и (4.56), где q — число внешних входных возмущений и число уравнений в исходной системе; N — число членов разложения /-возмущения. При этом определяются математические ожидания ту. (/) и координатные функции yiv (t), входящие в фор­

мулу (4.55), а также корреляционные моменты.

Если для нелинейной системы по некоторым выходам задана идеальная операция, то аналогично тому, как это делается для линей­ ной системы, на основании формул (2.2) определяют систематические ошибки, а на основании формул (2.4) находят дисперсии ошибок.

4.5. Метод интегрирования уравнений моментов

Метод уравнений моментов, изложенный в и. 2.6 примени­ тельно к линейным динамическим системам, как приближенный может быть распространен на нелинейные динамические системы [1 ]. При этом уравнения нестационарной нелинейной динамической системы должны быть приведены к канонической форме

Yk = Фk(t, Y lt . . . ,	Yn)	+ bk (t)	Vk ((),	(4.58)
(k — 1,	• • •,	n)
где фА— нелинейные функции произвольного			вида: Vk (t) — гаус­

совы бс-лые шумы с заданными математическими ожиданиями и интенсивностями; bk (/) — известные функции времени. Заданы математические ожидания, дисперсии и моменты связи начальных случайных условий mUh (0), (0) (£, k = 1, . . ., /г).

Для применения метода моментов уравнения (4.58) необходимо линеаризовать. В общем случае при наличии произвольных функ­ ций ф/г применим их статистическую линеаризацию. В результате запишем уравнение в следующем виде:

К = Фло +	£			+	bkVu (0,	(4.59)
	r= 1
(/г =		1,	• • •,	п)
где
Фло = Ф*о (t, ту,	0,,),		!гкг = к,.г ((, ту, 0у),
тх — вектор математических		ожиданий;			0^— матрица	корреля­
ционных моментов переменных		Y t {().		Применяя операцию матема-

130

тического ожидания к уравнениям (4.59), запишем систему нелиней­ ных уравнений для математических ожиданий переменных:

mUk = Ф ао + Ькт„к.

(4.60)

(/г = 1, . . , я).

Эти уравнения следует интегрировать при начальных условиях

тУк (0), k = 1, . . ., я.

Уравнения для центрированных составляющих линейны и по­ лучаются путем почленного вычитания из уравнений (4.59) (4.60):

К = £ k krY°r +	buVl.	(4.61)
г= 1
(/е = 1, . . ., я).
К линейным уравнениям (4.61)	применимы	преобразования,

с помощью которых получаются уравнения для корреляционных моментов переменных. Применив эти преобразования, в соответ­ ствии с формулами (2.66)—(2.73) получим в рассматриваемом случае следующие уравнения для корреляционных моментов:

ё,у = S [А,А/ +	М г /] + М А у	(4.62)
г= 1
(;, / = 1,	. . . , п).

Уравнения (4.62) интегрируют при начальных условиях

0i/	(0)	=	М [У? (0) У/ (0)1.
	(i,	/ =	1,	. . ., /г).
В этих уравнениях	следует			учесть, что 0,у (0 = 0/,- (Л. Таким

образом, число независимых уравнений для корреляционных мо­

ментов	т = я (я + 1)/2, где я — число нормальных уравнений
(4.58)	первого порядка.

Полученные уравнения (4.60) и (4.62), общее число, которых равно я (я + 3)/2, являются связанными через функции срА0 и kkr, зависящие от математических ожиданий и корреляционных момен­ тов связи переменных. Поэтому к этим уравнениям необходимо при­ соединить выражения для фА0 и kkr:

Фао	аоФ (^»	6 / /k/tr) I	kkr (^>	6 у ) •
	(k, г =	1, . . .,	я).

В результате совместного однократного интегрирования уравне­ ний (4.60), (4.62) при заданных начальных условиях определяются математические ожидания и корреляционные моменты, в том числе и дисперсии всех переменных как функции времени.

9*

131

Изложенный способ вероятностного анализа нелинейных неста­ ционарных динамических систем приводит к необходимости совмест­ ного однократного интегрирования большого числа линейных обыкно­ венных дифференциальных уравнений для моментов. Его можно сравнить с методом интегрирования уравнений для координатных функций, при использовании которого для анализа нелинейных систем также необходимо совместно интегрировать большое число дифференциальных уравнений. Объем вычислений определяется главным образом порядком совместно интегрируемых уравнений. Из этого сравнения вытекает, что число совместно интегрируемых уравне­ ний в методе моментов получается больше или меньше, чем в методе координатных функций, в зависимости от выполнения неравенства

.»	2	<	N	’
		==■

где п — число уравнений в исходной системе (4.58);

N — число случайных параметров во внешних возмущениях. Если исследуемая система стационарна и устойчива, а случайные

возмущения являются стационарными белыми шумами, то, прирав­ нивая в уравнениях (4.60) и (4.62) правые части к нулю, получаем систему уравнений для определения моментов в установившемся режиме:

фАо	+ bkmVk= 0;
У) [/г,.А , +	А/А<] + btbjGti = 0.	(4.63)
г=1	/= 1, . .., п ) .
( к , i,

Эти уравнения в общем случае могут быть решены методом после­ довательных приближений.

Точность системы по любой из переменных оценивается также по формулам (2.2) и (2.4).

Рассмотренный метод анализа применим и в том случае, когда входные сигналы Vk (t) представляют собой линейные многочлены со случайными параметрами. Соответствующие уравнения могут быть получены с помощью процедуры, описанной в п. 2.6. Однако полу­ чающиеся уравнения необходимо также интегрировать совместно, так как они связаны через функции срА0 и статистические коэффи­ циенты усиления kkr.

4.6. Метод статистических испытаний

Изложенные методы вероятностного исследования нелинейных систем являются приближенными. Они основаны на использовании приближенных уравнений, описывающих процессы в системе, по­ этому нуждаются в оценках получаемых результатов с точки зрения их точности и достоверности. Кроме того, в некоторых случаях, когда система или ее часть представлена реальной аппаратурой или

132

неизвестны характеристики возмущений, методы, основанные на анализе уравнений, не применимы.

В этих случаях может быть использован метод статистических испытаний, который состоит в непосредственном моделировании системы в условиях, близких к реальным, с учетом всех случайных возмущений. В качестве модели системы может быть использована частично или полностью реальная аппаратура или математическая модель — дифференциальные уравнения, решаемые на математи­ ческой машине. При этом на входы системы подаются реализации случайных возмущений от специальных генераторов случайных процессов. Результаты многократного эксперимента с моделью под­ вергаются обработке методами математической статистики с целью получения оценок для вероятностных моментов и законов распреде­ ления переменных.

Метод статистических испытаний может быть применен как к нелинейным, так и к линейным системам. При использовании этого метода для анализа нелинейных систем в каждом испытании следует учитывать всю совокупность действующих возмущений, так как для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется.

Пусть на каждый вход некоторой нелинейной системы в каждом опыте подаются реализации случайных функций и выполняются измерения реализации выходных переменных.

Рассмотрим одни выход случайной функции Y (t). Проделав п опытов, можно плучить п реализаций yr (t) случайной функции Y (t) на выходе системы. Пользуясь известными формулами математиче­ ской статистики, получим для выходной переменной Y (t) оценки

математического ожидания ту (/) и дисперсии Dу (/):

S [lJr{t)— my {t)Y.

Точность получаемых оценок математического ожидания и дис­ персии зависит от числа п проведенных опытов. Она характеризуется средними квадратическими отклонениями оценок на основании формул математической статистики:

где Dy (t) — истинная дисперсия функции Y (t). Заменив в фор­

мулах (4.64) неизвестную величину Dy (t) ее оценкой Dy (t), получим абсолютные средние квадратические отклонения оценок.

Из полученных формул можно найти также относительные сред­ ние квадратические отклонения:

U _	• .	2	(4.65)
УЩЩ ~	y h ’	п — 1■

133

Более полная оценка точности статистических результатов может быть получена на основе вычисления доверительных вероятностей

различных отклонений оценок ту (/) и D*y (t) от соответствующих истинных вероятностных характеристик. Эти вероятности могут быть оценены приближенно при условии, что законы распределения самих оценок близки к нормальным, по следующим формулам:

ai = Р (| niy (t) — ту (t) | < ei) = 2Ф /

\ т'у

а 2= Я ( |д ; (0 — Dy (t) | < &>) = 2йУ

где а х, а 2 — доверительные вероятности; 8lt е2— заданные гра­ ницы отклонения оценок. Подставляя в формулы (4.66) выражения (4.64) и вводя обозначения для относительных отклонений

V, = V Dy (/) ’	V , =	(4.67)
		Dy (О
получаем выражения для доверительных вероятностей
а ± = 2 c D ( vУ‘п ) \	а 2 =	2 Фj / '^—2у — j •

В табл. 4.1 и 4.2 даны числа испытаний п в зависимости от задан­ ных доверительных вероятностей а х и а 2, характеризующих надеж­ ность полученных результатов, и относительных отклонений va и v 2, характеризующих их точность. Таблицы показывают, что с повыше­ нием требований к точности и надежности результатов необходимое число испытаний резко возрастает.

Таблица 4.1

\VI

0 , 2 0 ,1 5 0 ,1 0 0 ,0 5 0 ,0 1

а ,

0,6	18	31	70	281	7 000
0,7	27	47	108	431	10 800
0,8	41	73	164	651	16 400
0,9	68	121	272	1090	27 200

134

				Таблица 4.2
	0,2	0,15	0,10	0,05	0,01
ССз
0,6	37	63	141	563	14 000
0,7	55	95	217	863	21 600
0,8	83	147	239	1300	32 800
0,9	137	243	545	2180	54 400

В тех случаях, когда требуется оценить закон распределения выходной переменной У (/) системы, результаты испытаний под­ вергаются дополнительной обработке. Весь диапазон наблюдаемых значений Уделят на интервалы (разряды), и при каждом фиксирован­ ном значении времени t подсчитывают число mi значений, приходя­ щихся на t-й интервал. Это число делят на общее число наблюдений. В результате получают частоту появления величины, соответствую­ щей данному разряду (i/,., y i+1)\

Таблица вычисленных частот по разрядам называется статистаческим рядом, а графическое ее изображение — гистограммой. Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают разряды, и на каждом из разрядов, как

на основании Ду = yi+1— y t, строят прямоугольник, пло­ щадь которого равна частоте разряда (рис. 4.3). Из гисто­ граммы следует, что площадь, ограниченная гистограммой, равна 1.

При увеличении числа опы­ тов величину разрядов можно уменьшить, а число их увели­ чивать. При этом гистограмма будет приближаться к некото-

Рис. 4.3. Гистограмма

135

рой кривой, которая представляет собой график оценки плотности

распределения fy (t, у) функции Y (i) при фиксированном t.

Для получения достаточно достоверных оценок функции распре­ деления требуется еще большее число опытов по сравнению с числом опытов при определении оценок математического ожидания и дис­ персии заданных точности и надежности результатов.

При обработке результатов статистических испытаний следует учитывать также ошибки самой модели, т. е. для получения надеж­ ных оценок необходимо еще большее увеличение числа опытов.

Несмотря на универсальность метода статистических испытаний, он имеет ряд недостатков. Основными недостатками являются гро­ моздкость модели, включающей также генераторы случайных воз­ мущений, и необходимость большого числа испытаний и, следова­ тельно, большая трудоемкость. Все это ограничивает применимость метода.

Г л а в а 5

НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

5.1. Безынерционные нелинейности

Рассмотрим процедуру вычисления вероятностных характеристик выходных сигналов безынерционных нелинейностей на примере звена с насыщением (ограничителя), характеристика которого изобра­ жена на рис. 5.1. На вход нелинейного элемента поступает случай­ ный процесс, имеющий математическое ожидание tnx(t), корреля­ ционную функцию К х (t, f) и одномерную плотность вероятности

О- На рис. 5.1. показано прохождение реализации случайного про­

цесса через ограничитель. Непосредственное графическое построение реализации случайного процесса на выходе показывает, что имеет место существенное изменение выходной реализации. Уменьшается математическое ожидание выходного сигнала, деформируется плот­ ность вероятности и корреляционная функция.

Вычислим одномерную плотность вероятности выходного сигнала ограничителя, воспользовавшись результатами п. 4.2. В соответ­ ствии с общей формулой имеем

[у (у) = JСО fx (х) б (у — ф (х)) dx.

(5.1)

Характеристика ограничителя описывается выражением

	— I	х < — d,
Ф (х) =	х	\х\	(5.2)
	I	х >	d.

Подставляя в формулу (5.1) выражение (5.2), получаем сумму трех интегралов:

—d		+<г
fy (У) = j	fx (х) б (у + /) dx + J fx (х) б ( у ---- -- х )		dx +
— со		— d
	+	fxJ (х ) 5 (у — I) dx.	(5.3)
		+ d

137

Рис. 5.1. Прохождение реализации

случайного сигнала через ограни­ читель

Первый и третий интегралы в данном выражении соответственно равны:

- d

fx (х) б (у +

Р 1 6 (у

Н- /);

j

1) dx =

— со

2б (f/

соJ

/л- (X) б ( у —

I)

dx =

р

-

/),

(5.4)

где

+d

—Jd

Pi =

fx (x) dx;

p 2 = соJ

fx (x)

dx.

(5.5)

•—co

-\-d

Второй интеграл в формуле (5.3) преобразуем с заменой перемен­

ной | = у — Ixld;

dx — —(dll)

+d

(u -

-f*)

y+l

(4 (»-

a)6®Щ-

<5-6>

J/, w e

=

4 -

J

—d

y —l

При у - l <

i <

У + l

подынтегральное

выражение

равно

плотности вероятности входного сигнала. Учитывая свойство б- функции, получаем

	-\-d	т fx (~T y)	\ y \ < 1	(5.7)
	j
		dx =
	-d	о	\ у \ > 1.

Таким образом, плотность вероятности сигнала на выходе огра­ ничителя представляет собой сумму двух б-функций, приложенных

138

в точках у — ± / и непрерывной части — плотности вероятности входного сигнала на интервале — I < !/< < /:

PiS (У+ I) + Р2б (У— 0 +	- у f* ("У у)
!у\У) =	(5.8)
О	Р |> ^ -

Рассмотренный процесс вычисления плотности вероятности сиг­ нала на выходе нелинейности может быть выполнен графически. Для этого необходимо воспользоваться формулой

fu (У) = fx (Ф (У))

(5.9)

где ф (у) = ф-1 (у) — обратная зависимость между входным и вы­ ходным сигналами нелинейности. Вычисления по формуле (5.9) выполняют графически. В табл. 5.1 показана процедура графического вычисления для различных нелинейностей. По данной нелинейности строят обратную функцию (в табл. 5.1 вычисления осуществляются слева направо). Далее вычисляют модуль производной обратной функции непосредственно графическим путем. Затем перемножают графики плотности вероятности входного сигнала и модуль произ­ водной обратной функции. В этой таблице приведены вычисления плотности вероятности выходного сигнала для десяти типовых нели­ нейностей, часто встречающихся в инженерной практике.

Рассмотрим задачу вычисления моментов выходных сигналов нелинейных безынерционных элементов. Проиллюстрируем процесс вычисления на примере ограничителя. Используя формулу для плотности вероятности (5.8), определяем математическое ожидание выходного сигнала:

СО I

ту = \	yfy (у) йУ = { У fPi 8 (У +	0 + Ра 5 (У —J) +
— СО	— I
	+ - у /* ( “Т 'у) dy = l{ p 2— p 1) +
	I	dy.
	+-у J y f x (-у у )		( 5. 10)

-1

Вчастном случае при нормальном законе распределения вероят­ ности входного сигнала математическое ожидание

ш , = / (а ■- Л ) + 4 - {*, [ф -	) - ф ' ( У	д )] +
+ т ф ф ( ^ )	+ ф ( ^ ± Ь ) ] 1 .	(5.11)

139