книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

При отсутствии взаимной корреляции спектральная плотность координаты

Sy (©) = 05ц (оо)	___ 4v (^*+ V*)_______	(9.62)
	[V2+ (“ — to2] [у2 + (со + l-02J

Наконец, при отсутствии параметрических возмущений полу­ чаем

г.М

.%<«•> =

При	(9.63)
GN	(9.64)
s y и (ш0—со)2(ш0+ со)2

Сравнивая формулы для спектральных плотностей, можно сде­ лать вывод о том, что наличие коррелированных аддитивных и па­ раметрических возмущений приводит к смещению резонансных ча­ стот. Из формулы (9.47) следует, что резонансные частоты в системах с параметрическими возмущениями уменьшаются.

9.3. Пеленгационное устройство

Рассмотрим прохождение радиосигнала, содержащего амплитуд­ ные шумы, через радиоприемник с типовой схемой. На рис. 9.5 показана структурная схема выделения сигнала угловой ошибки в радиолокаторе. Входной сигнал содержит фединговую составляю­ щую помехи, что отражено введением коэффициента амплитудной модуляции помехи £ (t). В результате конического сканирования диаграммы направленности происходит модуляция входного сигнала. На входе модулятора сигнал имеет вид

	«м = “о [1 + 1 (0J [1 +			т cos (co0t + ф0)] =
	= «о [1 +	I (t) + mcos (со0t +		ф„) +	(t) cos (co0t +	ф0), (9.65)
где	со о — частота	сканирования;	ф0 — начальная фаза			цели; т —
коэффициент модуляции.
	Сигнал после модуляции и усиления поступает на детектор.
	Выходной сигнал детектора		огибающей
	“д =	*дМ£ (0 + [! +	£(*)] ж cos (а>0* + ф0)},			(9.66)
где	kR— коэффициент усиления		детектора.

Рис. 9.6. Функциональная схема пелеигациоиного устройства

16 В. С. Пугачев

241

На фазовом детекторе осуществляется перемножение выходного сигнала детектора на сигнал сканирования (опорное напряжение cos cl> 0 / ) . В результате происходит преобразование сигнала из по­ лярной системы координат в декартову систему координат. Выход­ ной сигнал в одном канале фазового детектора

«Фд = клкфли0 (0 cos a0t + -^-т[ 1 -|- £ (0] cos (2сo0t + ф0) +

+ -j- tnl{t) cos ф0| .

(9.67)

Сигнал в другом канале фазового детектора получается перемно­ жением сигнала ил на опорное напряжение sin со0t.

В дальнейшем будем рассматривать только один канал.

Для фильтрации составляющей сигнала мфд с удвоенной часто­ той в схеме предусмотрен низкочастотный фильтр. Введем обозна­ чения

k = /гфд£ди 0\ [IА= т cosф„,

(9.68)

где А — угловая ошибка сопровождения; р. — крутизна диаграммы направленности в точке пересечения с равносигнальной линией; k — обобщенный коэффициент усиления. Используя обозначения (9.68) и учитывая фильтрацию удвоенной частоты, получим сигнал на выходе фильтра:

a(t) — k	4Г-5 (0 cosoy + A (1 + Е(0)	(9.69)

Таким образом, выходной сигнал фильтра есть результат про­ хождения сигнала через параллельное соединение звена с коэффи­ циентом усиления k и звена со случайным коэффициентом усиления kb, (/). К данному сигналу добавляется помеха

N = Г (0 cos оу .

(9.70)

На рис. 9.6 показана структурная схема формирования сигнала (9.69). Эта схема отражает процесс прохождения сигнала через нелинейную систему, изображенную на рис. 9.5.

Сигнал и (t) поступает на сглаживающий фильтр с передаточной функцией Фф (s) и исполнительное устройство с передаточной функ­ цией Фи (s) и далее через обратную связь сравнивается с входным сиг­ налом. Структурная схема сле­

	дящей	системы	изображена		на
	рис. 9.7. Данная система является
	стохастической		вследствие	нали­
	чия в	ней звена со случайным
	флуктуирующим		коэффициентом
	усиления k \ (t).		частный	случай
Рис. 9 . 6 . Структурная схема формировании	Рассмотрим
	системы,	г	Л Л Л 1 , „ „ п 1 т т 1 п	п	Г п о
сигнала фильтра		когда	соединение сгла-

242

N

Рис. 9.7. Структурная схема пеленгационного устройства

живающего фильтра и исполнительного устройства может быть пред­ ставлено интегрирующим звеном. Эта упрощенная модель приведена на рис. 9.8. Уравнение, описывающее работу системы, имеет вид

у + kkl ( i + | (*)) Y = kk1(l + t (t)) X (t) + ltlN (if),

(9.71)

где k — коэффициент усиления канала выделения сигнала ошибки; ki — коэффициент усиления исполнительного устройства.

Выходной сигнал системы в соответствии с уравнением (9.71)

имеет вид
t	t	—
У (0 = [ g V, т) X (т) йт+	j	gi (t, т) N (т) (к,	(9.72)
б	о

где весовые функции системы соответственно равны:

Si (*. т) ~	К ехР — К Jt	Z (rj) dr]	(9.73)
	X
g (t, —	exp I— К J Z (rj) dr\		(9.74)

Подынтегральная функция в выражениях (9.73), (9.74)

Z(ii) = k [1 + |(л )].

(9.75)

Вычислим второй начальный момент ошибки работы следящей системы, принимая за требуемый сигнал линейно-изменяющийся сигнал с постоянными параметрами:

Ут = а + Ы.

,

(9.76)

Рис. 9.8. Упрощенная структурная схема пеленгационного устройства

16*

243

Ошибкой системы		является разность
		t	t
Е (0 = а I g it,			т) dx + b | Tg (t, x) dx +
		0	0
	+	Jt gi {t, T) N (t ) dx — (a + bt).		(9.77)
		о
Математическое	ожидание		ошибки
	t		t
m E {t) = a \ M [g (/, t)] dx + b J xM [g (t, x)] dx +
	о		0
	t
+	j	M [g* (t,	x) N (x)] dx— {a -f bt).	(9.78)
	о

Подставляя значения весовых функций в формулу (9.78), полу­ чаем

т Е (0 =	- а [ 1 - Р ( * , 0 + ^ V, 0)] —
— Ь j* [ 1 — Р (t,	О Н - J р {t, х) dxj + | K gtN (t, х) dx,	(9.79)

где введены обозначения

Р (t, х) = М ехр — К J z (ti ) dr\

(9.80)

X

KglN (t, x) — взаимная корреляционная функция весовой функции (t, х) и помехи N (х). Из формулы (9.80) следует, что Р (t, t) = 1.

Поэтому формула для математического ожидания ошибки упрощается и принимает вид

t	t
тв (t) —— аР (t, 0) —b j P(t, x) dx + j Ks,n (t, t) dx.		(9.81)
Для вычисления функции P (t, x)	и корреляционной	функции

в третьем члене выражения (9.81) необходимо знать характеристики случайной функции £ (t). Для нормально распределенной стационар­

ной случайной функции функция Р (t, х) имеет вид [69,			75]
Р (t, х) =	exp j—k0 (t — х) + 2kl	J 5Ш- ^ Г Т)/2 5 M	d(D) > (9'82)
	l	о	)
где k 0 = kk{,	S (со) — спектральная	плотность случайной функции

| (t), имеющей дисперсию о2.

Рассмотрим случай прямоугольного спектра с граничной часто­

той сог. Спектральная плотность
( а-	__
S (со) =	^	“ г’	(9.83)
[ 0	со >	сог.

244

Подставляя выражение (9.83) в формулу (9.82) и выполняя вы­ числения, получаем

Р (t, х) = exp{ - k0 (t- т) +	(t- т) IL ( -Юг(<~ т) )}, (9.84)
где
	(9.85)

Подставляя значение функции Р (t,x) в первые два члена формулы (9.81) и выполняя вычисления, находим следующие компоненты

	математического ожидания	ошибки:
	т в, (0 = — а ехр 1 -		’l —	яА0а2 Т (	Ц ;	(9.86)
				2сог М
		1
	т Ва (0 = — Ь | ехр !—	n k 0a	2 / (	сог (/ — т)
		2шг		2

В результате вычисления взаимной корреляционной функции весовой функции и помехи получаем следующее выражение для

третьего слагаемого в		формуле (9.81):
/Ив. (О=	2£ляа2 г
		цт - I	h К (* —Т))cos«о* х
X е х р { — [1 -		4 ш7	71( ,С0Г-~2 " - ~ ) ] М * - * ) } * »	(9.88)
где

(9-89)

О

Таким образом, математическое ожидание ошибки есть сумма

тЕ (t) = mEi (t) + mEa (0 + '«e, (0.

(9-90)

где составляющие вычисляют по формулам (9.86), (9.87) и (9.88). Анализ приведенных формул показывает, что система устойчива по математическому ожиданию ошибки, т. е. среднее значение ошибки не возрастает, если выполняется условие

nk0a2	j ( сort \	< 1.	(9.91)
"2^Г	)

При больших значениях t функция / х стремится к единице, поэтому условие устойчивости записывается в следующем виде:

^ < 1 .

(9-92)

245

С увеличением времени первая компонента математического ожи­ дания ошибки (9.86) для устойчивой системы стремится к нулю. Второе (9.87) и третье (9.88) слагаемые стремятся к установившимся значениям. Установившееся значение второго слагаемого харак­ теризует установившуюся ошибку по скорости. Установившееся зна­ чение третьего слагаемого определяется спецификой взаимодей­ ствия помехи с флуктуирующим параметром, в результате которого возникает эффект детектирования. Эффект детектирования выра­ жается в том, что при нулевом значении математического ожидания помехи выходной сигнал имеет ненулевое среднее значение. Прибли­ женно при больших значениях t третье слагаемое

X

X [со0 sin (O0t + (1 —

) k0cos co0zf] .

(9.93)

»• Как следует из формулы, третья составляющая ошибки изме­ няется по гармоническому закону с максимальным значением

(9.94)

Вычислим дисперсию ошибки. Для этого предварительно вы­ числим второй начальный момент ошибки. В соответствии с формулой ошибки (9.77) второй начальный момент ошибки

ГЕ (0 =г, (0 + Г2(0 +Г3(О + (а + btf + 2Г,(t) + 2Г6(t) -

— 2 (a -f bt) a Jt M[g (i, t )] dx -f 2Г„ — 2 (a -+- bt) b x

о

	t	t
	где	о
		t M [g (t, t) g (t, t ')] dx dx';
	Гх(/) =a2J Jt
	0	0

1 t

Г2(t) = b2J j xx'M [g (t, t) g (t, t ')] dx dx';

о 0

r 3 (0 =	Jt Jt M [gl (t, x) gl (l, x') N (x) N (t ')J dx dx';
о 0		Jt
Г4(0	= ab Jt		xM [g (t, t)g(t, x')] dx dx';
	0	0

246

	I t
r 5 (0 =	a J	f M [g (t, x) g(/, t') N (t')] dx dx';
	0	0
	/	t
Го (0 = b j		JtM [g (/, x)		(t, x') N (x')] dx dx'.
	о 0
Введем вспомогательную функцию
Q (t, t\ "c, x') =	M	exp	— kl J Z (r)) drj — ! h \ Z (ii) dr)j
		l	x	x'	)

В результате вычисления математического ожидания получаем

следующее	выражение:		9	9
			Jt /?q (T
Q (t, t', x, x') =		exp — k0 (t — x) — k0 (f — x') +	2сог X
X	« ~ т ) h (	(<~ 2т)с0г) + ( Г - х ) / ^ - ^	т) ) +
+ (t ~ т') /х ( (0г(г ~- ^ ) + (Г - Т') / х (				-
		шг (х— т')
		2

Используя вспомогательные функции Q (t, f , х, х') и Р (t, х),

запишем составляющие второго начального		момента
	t
Г, (0 = cPQ (t, I, 0, 0); Г2 (t) = b°-	t — |	Q (t, t, t, x) dx
L	о

	Г 3(0 =	J J c o s	co0x c o s0xco' ( a2 1S° rm(rT(l ~				^	} +
	ll1	о о		l		r
	п2кУ
+	[2h K	{t ~ T)) ” 4		(c°r (T “	T'))] 1212(c°r			~ T,)) ~
— /2((0г (т —x'))]Jexp|— [l — "				71 7i (	Mr(2~ T)- )]		ko(t — T)} X
	X exp {— [ 1 — i ^		A (	^ ^	) ]	60 V -	x')} X
	X exP { - ^	7i ( ЮГ(Т2~Т ) ) *< (T “ T')} dT dX’’
	Г4(0 =	ab |f[Q (t, t,		t, t) — Q (t, t, t, 0)] -
	t			t		1
	— j <? (/, t, t, x) dx + J Q (t, t,					0, x) dx .

247

В установившемся режиме Г а = Г4 = Г5= 0, а составляющая

Г ° W = Я: : °

ЦСОг

X ехр

JJ J cos с°от [; а (“ г (т — т')) — 2/я К (/ — т'))] X

q

т Ч 0 Т ( сог (I — т) у /г0 (^ — т) —
V 2	) \
поЧо	/г0 (t — т') —
соГ Д М - * ') )

Остальные интегралы в формуле (9.95) соответственно равны:

	Jt М [£ (t, т)] dx = P (t, t) +Р (t, 0);
	О
t	t

J тM [g (t, t)] dx = P (t, t) t — | P (t, t) dx.

о о

Интеграл в последнем члене выражения (9.95) вычисляют по формуле (9.88).

Дисперсию ошибки определяют как разность второго начального момента (9.95) и квадрата математического ожидания (9.90). Анализ устойчивости системы относительно дисперсии показывает, что устой­ чивость по этому параметру достигается при более жестком условии, чем устойчивость по математическому ожиданию. Это условие имеет вид

n k 0a 2 r ( s>Tt \ ^ ,

При больших t функция / i (оо)		= 1, и условие устойчивости
сводится к выражению
n k 0а 2	^	j
сог	^

Полученные выше результаты можно распространить на случай, когда процесс | (t) является белым шумом. Для этого необходимо выполнить предельный переход ©г —>оо и о2/2сог —>G, где G — интен­ сивность белого шума.

9.4. Нелинейная система со случайным параметром

Пусть следящая стационарная система имеет структуру, изобра­ женную на рис. 9.9. Объект управления имеет случайный коэффи­ циент усиления п и постоянную времени Т. Система управления имеет коэффициент усиления л 0 и ограничение, характеризуемое функ­ цией ср. На систему действует входной сигнал Z, состоящий из по­ лезного регулярного сигнала г0 = а0 + axt с постоянными коэффи-

248

Рис. 9.9. Структурная схема системы со случайным параметром п

циентами и стационарной случайной.помехи N (t) со спектральной плотностью

5лгИ = 50[(Г0со2+1)(7’со2+1)]-1

и равным нулю математическим ожиданием:
Z = z0 (t) + N (t).	(9.96)

Задано среднее значение тпи дисперсия Dnслучайной величины п. Будем считать ее не связанной с помехой N.

Определим математическое ожидание и дисперсию ошибки сле­ дящей системы в установившемся режиме.

Уравнения системы, если воспользоваться структурной схемой,

представленной на рис.	9.9, имеют вид
(Гр2		+ р) Y	= /up (X);
X =	п 0	(Т0р +	1) [ Z - У].	(9.97)

Для решения поставленной задачи проведем статистическую ли­

неаризацию нелинейности			ср (X):
		Ф (X)	=	k 0mx +	^ Х 0,		(9.98)
где	l
kn -
	(1 +	»0'®		) “	(1 -	"О ф ( - Т Г 1 )'
	Л-	г _ J . /'Ч дМ 2			_ i ( b z 'J h Y
		g	2 \	o, ' ___g		2 \ CT,	'

1 \^2л

m1	m x .	n _	V Dx
	d ’	1—	d •

Далее мультипликативную нелинейность nф (X) также заменим статистическим линейным эквивалентом:

mp (X) = тпк0пгх + /гД^ -f- k0mxn° + т п/гаХ°,

(9.99)

где

0^ = М[л°Х°(О]-

п° = п — тп.

249

Подставив выражение (9.99) в уравнение (9.97), получим свя­ занные системы уравнений для математических ожиданий и центри­ рованных составляющих:

		СГр2 + Р) ту = mnk0mx +							(9.100)
		тх =	п0 (Т0р + 1) (z0 — пгу);
		(Гр2 + р) У° = тЛ Х » + /г0т Лд°;							(9.101)
		Х° = п0(Г0р -}- 1) (Л/ — F0).
В установившемся режиме						уравнения		(9.100) имеют решения
		т Л- =			«1/1*0		тпк0 ’		(9.102)
		ту = а0		—т— +			- * Ф -	+	(9.103)
					/«Л*0«0		"1/1*0»0
На основании уравнений (9.101) для установившегося режима
можно записать
Ц ,=	I	(Т0/со -(- 1) (Тш +					1) £со
		Т (но)2 +	[1 +		m^iioTo] ш -|- n0l<imn SN(со) с/со -)-
					font
						0'“х			(9.104)
						О . О Dn^ П у
					mnkI
D ,=	J		m„nakl (T„/со +				1)	(со) f/co
		Г (/со)2 +	[1 +
					mn*i/i0Tо] /со + /i0*i«!,i
				+		*оЧ A i;			(9.105)
				0,,v =		*0mx Г)			(9.106)
						1«Л*1	“
Подставляя		в формулы		(9.104) и (9.105)				выражение для	S N (со)

и вычисляя интегралы (приложение 2), получаем формулы для дис­ персий:

		S„n;		,2 2
	Dr =	о“о	+	lr0mx	D„		(9.107)
		2Т (1 -|- ШпПак.Т0)		2 ,,2
			mnkl
г)	______ cS0(1 -г Т -f- Т0с)______				I I I		(9.108)
					k0mx	п
У	2 (1 +	СГ0)[14-Г + С(Г+Г„)]			2„2,,2	и П’
					K'Wi

где с = mniigki.

250