книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

ренциальных уравнений относительно моментов первого порядка переменных:

mi = М [Л, {Y)],	mi (0) = mi0.	(8.39)
(t = 1,2,	. . . . п)

Здесь индекс /е заменен на i. Начальными условиями этого урав­ нения язляются математические ожидания переменных в начальный момент времени.

Для получения уравнений относительно вторых начальных мо-

ментов	переменных системы умножим обе части уравнения (8.33)
на yktji	и проинтегрируем по всем переменным в бесконечных пре­

делах. Проводя вычисления, аналогичные предыдущим, и изменяя индексы i = k, j = I, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вторых начальных мо­ ментов переменных системы:

«,-/ =	М [УД- +	У Д + 25,;],	(8.40)
(i,	j = 1 , 2 , . .	., n)

где M — оператор математического ожидания, осредняющий пере­ менные системы. Начальными условиями системы (8.40) являются зна­ чения вторых начальных моментов переменных системы. Уравне­ ния (8.39), (8.40) являются обобщениями уравнений, полученных в [18].

Аналогично вычисляют моменты произвольного порядка. Вы­

числим смешанный начальный момент N-vo порядка:
ar1rt ...rn = M[Y'1'Y ? Y '> ...Y rn],		(8.41)
где гъ г.2, . . ., гп — положительные	целые числа, такие,	что их
сумма равна величине порядка смешанного момента:
£ rv = N >	0.	(8.42)
V=1

Умножая обе части уравнения (8.33) на уг'у£ . . . угп и интегри­

руя по всем переменным в бесконечных пределах, получаем следую­ щую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относи­ тельно смешанных начальных моментов iV-ro порядка:

а,.,
1) М	B..Y-2	П У гр		+	Xl	rir	5..У г1Уг1П		Yrp (8.43)
[	“ 1 Р=1		р .		1 /=1		4 1	1 Р=1	Р
	1»	^2)	• •	•»	*а	9, 1,	2, . . .,	Л-),

где штрих над суммой означает отсутствие в ней членов при i = j. Уравнения (8.43) являются достаточно общими, сараведливыми для всех автоматических систем, для которых можно вычислить

14*

211

коэффициенты сноса и диффузии. Из уравнений (8.43) следуют урав­ нения для первых и вторых начальных моментов. Полагая гк = О, при i =j=k и >'i = 1 из уравнения (8.43) получаем уравнения для пер­

вых начальных моментов: mi = aooo...r1.=i...oo = М [Л(.]. Анало­ гично можно получить уравнения для вторых начальных моментов: полагая гк = 0, при i =j= k и к ф j и = /у = 1 из уравнения (8.43) имеем

а ц = а оо...г£= 1.../-/= 1...оо = М [ ^ И / 4 “ ^ i^i ~Ь 2 5 £;-],

что соответствует уравнениям (8.40).

В установившемся режиме моменты переменных определяются системой уравнений (8.43), в которой следует положить равными нулю производные по времени. В результате получаем систему в об­ щем случае трансцендентных уравнений относительно смешанных моментов N-го порядка

S гМ	[Л,УГ«+ BuY f	(rt - 1)] П У*	+
i=l	l	P — 1
+	2 '/ у . м a i	П Y rp = 0.	(8.44)
		0=1

Установившиеся значения моментов первого и второго порядка

определяются уравнениями (8.39), (8.40) при т1 = а £/- = 0.

Если нелинейные функции ср (у) могут быть представлены в виде степенных рядов

фik( y ) = S	1А 'У 2 ---УЪ	(8-45)
•••.	чп = о

то коэффициенты сноса и диффузии, как это следует из формул (8.23), (8.31), будут также являться степенными рядами переменных. Учи­ тывая, что в уравнениях (8.43) коэффициенты сноса и диффузии ум­ ножаются на переменные и далее осредняются применением оператора математического ожидания, можно отметить, что моменты в правой части уравнения (8.43) будут более высокого порядка, чем в левой части. Для определения этих моментов необходимо записать новые дифференциальные уравнения соответствующего порядка. Однако они вновь будут зависеть от моментов еще более высокого порядка. Следовательно, для определения всех моментов необходимо соста­ вить бесконечную систему уравнений. Частный случай этой системы уравнений, соответствующий отсутствию мультипликативных воз­ мущений, получен В. С. Пугачевым [57].

Рассмотрим линейные системы. Подставив выражения для коэф­ фициентов сноса (8.25) и диффузии (8.26) в уравнение (8.43) и приме­ нив операцию математического ожидания, получим следующую си-

212

стему уравнений относительно смешанных начальных моментов N-to порядка [76]:

“ Г1■■■гп ~

.

S

+

+ ~2 Gfqqk) <Zrv ..ri-:l.. .rk+l.. ,rn +

+ ^~2 bkqG jkq

+

b t k t n f 'j a ri...

r f—l-

...rnJ +

- J .

t r i (r I

'— 1) [G fk iq 'X

ari...

r.-2...

rk+l...

rq+l

...rn + 2Gfkqb£qari...

rk+i...

ri-2

...rn +

г

1

" ,

H- b i j t b iq G kqCCr

.,

_ 2 .

. . r }

4 “ ~FT

i j

t i ? j

{ G i k j q X

X

. .r(—1.■■rj—1■■•r/.+I- ■•r9+[- • -Ot "Г" (Gikqbjq -f- Gjfcqbiq) X

Хау-.гь+1.-гг 1-..Г/-1".гл +

bikbiqGkqar^

...r-—I.. ,r;—I. ••/•„).

(8.46)

(rj, r 2, . .

rn =

0, 1, . .

N)

Знак штрих у суммы означает отсутствие слагаемого i =

/. Если

в системе отсутствуют мультипликативные возмущения, то из си­

стемы (8.46)		следуют уравнения
		П		,k+i rn + biltm^arv..r.-i	rn) +
К	-	ri ( ^ r 1..,i- i ..
		+ Т S й ( й - 1 ) ^ Ь ц Х
		^ i ,	k , q—l
X G k q C l r		г - 2 . . . Г + 4	IS'	nrjbibbjfikjXr г 1...Г 1 .	. , . (8.47)
		*	i , j , k, <7=1	'

Для моментов первого и второго порядка из системы (8.46) полу­ чаем

^	[ ( a‘ft	m‘k Т	mk 4~
ft, <7=1
+ - у b k q G f k q + biktrLk			(8.48)
acj= У] [(a ;A+ mfA+	у Gfw^	ос/г/+	+ ) m 7+
ft, <7=1

4 ” ^ a /ft 4"" m /ft 4 “ -g G j q q k ' j a fti 4~

b k q G j k q + b j ^ t n ’k ^

/I

+ y X

X ^

\ ( G i l i j q

G j k i q ) Clkq

( G i k q b j q

G j b q b i q ) П 1 к _ - \ - b i k b j q G k q ] - (8.49)

ft, <7=1

Анализ уравнения (8.48) показывает, что коррелированность ад­ дитивных и мультипликативных возмущений приводит к появлению

213

эффекта детектирования, т. е. при отсутствии математического ожи­ дания аддитизного возмущения = 0 математическое ожидание

выходного сигнала не равно нулю в установившемся режиме, а про­ порционально взаимной интенсивности аддитивных и мультиплика­ тивных возмущений. Таким образом, воздействие параметрических возмущений, коррелированных с аддитивными возмущениями, при­ водит к появлению систематических ошибок выходных переменных. Это явление в частности наблюдается в измерителях при недостаточ­ ной жесткости конструкции измерителя, в системах с переменной структурой и самонастраивающихся системах. Уравнения (8.48), (8.49) являются обобщением уравнений для моментов [79] на случай параметрических возмущений.

Возможность получения конечных систем уравнений относительно моментов для линейных систем дает основание применить стати­ стическую линеаризацию для нелинейных систем. При статисти­ ческой линеаризации необходимо знать только первые два момента переменных. Следовательно, уравнения для первых двух моментов образуют замкнутую систему. Представим нелинейную функцию разложением

П
Ф/Л- (у) = Фо,А + Y kikp (Ур — тр),	(8.50)
р=1	завися­
где ср0гй, kikp— параметры статистической линеаризации,

щие от первых и вторых моментов переменных. Подставляя это вы­ ражение в формулы (8.24), (8.31) и далее подставляя коэффициенты сноса и диффузии в уравнения (8.39), (8.40) и применяя операцию

математического

ожидания,

получаем

П

Л

ПТ-i = Yli^ik

9

kikp

\^0PqGikPq

Ь pqGi)tq\ -{-

k = l

z

k , p, q—I

+

t b ikmN(ty,

(8.51)

п

Г

A=1

n

aij = Y i an +

niu)

фоп/п/+

Y

kUp (api — mpmj)

+

i=i

L

p=i

Yl

kilP

ф0Pqfftj

Y

k pqr (a

r j —

n i r i r i j )

G u Pr +

~2

G fiNpm } j

+

l, p .q = l

■r —l

mkЩ +

Y

( au + n4i)

фоцтк +

£

kjip (aPi — rriptrii) +

i=i

9 =

1

+

Y

kjtq

ф0pqfll-i

“i- 9

Yi

k pqr (pCr i

t1lrtH i)

G jlp r +

-o-Gy/p/Hi

f +

l. P. <7=

I

r= l

+

m fn ii+

S

фопфо/г +

Y

kiipkjrq {ctpq — mpmq)

G i ljr H~

l. r= 1

l L

p , q—l

Gifjfpou -j- Gju"фо//1+ Gij.

(8.52)

(i, / = 1 , 2 , . . . ,

n).

214

Нелинейные уравнения (8.51), (8.52) являются обобщениями урав­ нений для моментов [1]. Нелинейность уравнений (8.51), (8.52) обусловлена зависимостью параметров статистической линеаризации от первых и вторых моментов переменных.

Уравнения для начальных моментов переменных нелинейных автоматических систем имеют бесконечный порядок. Ограничить порядок этой системы уравнений каким-либо конечным значением не представляется возможным, поскольку значимость высших мо­ ментов, вообще говоря, ие уменьшается с увеличением порядка .мо­ мента.

Удобно построить систему уравнений относительно кумулянтов переменных. Число уравнений для кумулянтов в случае нелиней­ ных систем также будет бесконечным. Однако с увеличением номера кумулянта его значимость уменьшается, поскольку высшие куму­ лянты характеризуют отклонение закона распределения вероят­ ности от нормального. Для получения системы уравнений N-ro по­ рядка достаточно положить равными нулю кумулянты N + 1-го по­ рядка. Точность решения задачи анализа систем с параметрическими возмущениями можно оценить, если вычислить дополнительно N + 1-й кумулянт.

По определению, кумулянтом N-ro порядка случайного вектора

называется величина
	(8.53)
где g (к; t) — одномерная характеристическая функция перемен­
ных системы, гъ г2, . . .,	гп — положительные целые числа такие,
что их сумма равна N >	0.
Как известно, кумулянт первого порядка совпадает с математи­

ческим ожиданием. Кумулянт второго порядка равен второму цен­ тральному моменту. Поэтому из уравнений (8.39), (8.40) получаем

«i =	М Д ];	(8.54)
( i = l , 2, . . ., п)
= М [У Д + У Д +	2В„] - xtM [А,] - щМ Д ] .	(8.55)

Уравнения (8.54), (8.55) образуют совместную систему. Аналогичным образом можно получить кумулянты высших поряд­

ков. Так, для кумулянтов третьего порядка получаем следующее уравнение:

В данном уравнении производные по времени от кумулянтов первого и второго порядков в правой части можно исключить, поль­ зуясь уравнениями (8.54), (8.55).

215

8.5.Корреляционные функции систем

спараметрическими возмущениями

Для линейных систем с параметрическими и аддитивными воз­ мущениями в виде белых шумов, описываемых уравнением

Yt = t [aik (t) + Zlk {i)]Yk +	t bik(/) Nk (0,	(8.57)
k=i	k=i

можно вычислить вторые моменты и корреляционные функции вы­ ходных переменных [27], если известны весовые функции и корре­ ляционные моменты. Для установившегося режима стационарных систем можно также определить спектральные плотности выходных сигналов.

По определению, второй начальный момент связи /г-й и l-й пере­ менных

Tkl(t,	i') = M[Yk (i)Yl {t')] =
СО	со
= J (2п)	J	UkViUAy,	t\	y,t')dydy,	(8.58)
-СО	-00
где у — вектор переменных		системы,	а	через ijt обозначено значе­

ние l-й переменной в момент времени t'. Двумерную плотность ве­ роятности можно выразить через одномерную плотность вероятности

и условную плотность	вероятности:
h (у, t\ ~У, П = h (у, 0 f (У, Г Iу, t). ;			(8.59)
Подставляя это соотношение в формулу (8.58), получаем
	00	со
г u (t,t')=	J	(п) J ijkh (у, о пц (у) dy,	( 8.60)
	— СО	— со
где условное математическое ожидание l-й переменной
	СО	00
Щ {у)= J (п) J Уif 6> v I У’ 0 dy-			(8 .6 1 )

Это условное математическое ожидание можно вычислить интегри­

рованием уравнений (8.39):
Р	= М1А,1			(8.62)
(/= 1 ,		2	....... п)
при начальном условии /пг-	(t)	=	ус.

Подставляя значение коэффициента сноса (8.25) в уравнение (8.62), получаем

			z	т„
£ - 2		« < .+ ”* + - * ■ 2	Iqqp
	L
p = i		<?=i
+	^	[~2- bpfijpq -f- biplllp		(8.63)

p, q=l

216

Решение данного уравнения можно выразить в интегральной форме

m t { t , у )	=	2	п	t'J gip	(* \ т)	X
X 1 bliqtfhq +	ft. p.17=1 1
	bphtHu +			6^5 (t — T)		tlq (t )	dx.	(8.64)
где 6W —■символ Кроиекера,		равный			единице при		одинаковых

индексах и нулю при различных индексах. Учитывая свойство 6 функции, получаем

п г

т, (Л у) = 2	gip (Л ф р (0 + 2	\ S ip it	t) X
р= 1	р. ft, q— 1 /
X	b,lqGzpuq bpHtnuj	dx.	(8.65)

Весовые функции в приведенных формулах вычисляют интегри­

рованием	уравнений
	dgiP {t', т )
	dt'
	П
=	^ \^alh /?ifft + ~2 G%qh ghp {t , т ) + 8!p6 (t — t) (8.66)
	ft , <7=1

при нулевых начальных условиях.

Подставим значение условного математического ожидания (8.65) в формулу для второго начального момента (8.60). В результате

получаем
Г« (t,	П = f	gu, it',	t) 0** (0 +	mk (() Ft (/', t),	(8.67)
	/1=1
где введены обозначения
		со	со
	0ла( О =	J (п)	J УиУкЬ (У, t) dy;		(8.68)
F, it', t) =	2	i' ЯJ/.Р (*', t) [ 4		+ bpntnt] dx.	(8.69)
	ft, p, q=l l

Проведенные рассуждения справедливы, если t' > t, так как условное математическое ожидание, вычисляемое по формуле (8.65), имеет смысл именно при этом условии. Аналогичные рассуждения можно провести, поменяв местами переменные в момент t и f в фор­ мулах (8.59), (8.60). В результате можно получить формулу для вто­ рого начального момента, в которой аргументы должны поменяться

217

местами. Таким образом, окончательное выражение для второго начального момента имеет вид

п

	S	glh (l',t)Qhk(t)-\-m.k	t) i ' > i ,
Tkl( t ,n =	/t=l		(8.70)
	п

/ 1 = 1

Рассмотрим установившийся режим. В этом случае 0hk = const, весовые функции зависят только от разности аргументов glk (/' — /), а функции Ft (Г, t) равны математическому ожиданию:

1Щ(О = Ft (/', — оо) ==

		и		/'					->ZN	dx.	(8.71)
							~lj-
								bhqGphq -f- Ь p l,nil,
		A, p, <7=1		—со
	В результате		второй		начальный			момент
				il	S7/i		— 0 0/i/i +		п1к (0 т1(О f	^
		Г« (/,/')	=	/ 1=1							(8.72)
				S	glh V — О 0/.Л+				(0 (0 * > *'■
				/ 1=1
	Очевидно, что оба случая можно объединить одной записью, если
математические ожидания постоянны и весовые функции											зависят
от	модуля разности			|т |		= | t — t'		\:
			Г«(тО=			! j	ёш (|т I)0ла“г >nkmi-				(8.73)
						л=1
	Для установившегося режима легко вычислить также корреля­
ционные		функции					к gin (М ) Dhkt
				Кы (т) =							(8.74)
							/1 = 1
где	Dhk =	0/,* — тктк.									Фурье
	Спектральная плотность определяется преобразованием

псо

Sw(co)= 5	] D/ i * i	J ёГ//1(Iт I)е ,сот dx.	(8.75)
/ l =	l	— СО

8.6. Методы теории чувствительности

Представление автоматических систем как систем со случайными параметрами находит широкое применение при вероятностном иссле­ довании. Модель систем со случайными параметрами описывает разброс параметров, обусловленный случайными отклонениями тех­ нологических режимов в процессе производства, а также явлениями старения и износа в процессе эксплуатации.

218

Для вероятностного анализа систем со случайными параметрами можно использовать методы теории марковских случайных процес­ сов [26]. Однако эти методы очень сложны и не получили широкого распространения. В настоящее время для исследования эффективности автоматических систем со случайными параметрами в инженерной практике широко применяют методы теории чувствительности. Эти методы позволяют оценить влияние разброса параметров на критерии качества систем. Рассмотрим подход к решению задачи анализа, используемый в теории чувствительности [36].

Пусть автоматическая система содержит случайные параметры и на нее воздействуют случайные возмущения. Зафиксируем пара­ метры системы и вычислим моменты выходных переменных. Для этого в зависимости от вида системы (линейная, нелинейная, ста­ ционарная, нестационарная, дискретная непрерывная и т. п.) при­ меняют соответствующие методы, изложенные в гл. 2, 4, 6 и 8. В ре­ зультате вычислений получаем моменты выходных переменных при фиксированном значении параметров, т. е. условные моменты.

Условные моменты являются функциями параметров системы. Если известен явный вид зависимости условных моментов от пара­ метров, то, используя вероятностные характеристики параметров, нетрудно вычислить безусловные моменты выходных переменных. Однако получение явной функциональной зависимости моментов от параметров возможно только при анализе простейших автомати­ ческих систем. В подавляющем большинстве практических задач зависимость условных моментов от параметров может быть получена только при фиксированных значениях этих параметров.

В случае, когда требуется получить зависимость моментов от одного или двух параметров, можно применить способ перебора зна­ чений параметров, вычисляя моменты для отдельных значений па­ раметров. Используя вычисленные точки, строят графики функции моментов от параметров. По данным графикам рассчитывают без­ условные моменты осреднением по случайным параметрам. Описан­ ный прием широко используется в инженерной практике.

При анализе сложных автоматических систем число параметров обычно более двух, поэтому построение моментов как функций мно­ гих переменных путем перебора возможных значений параметров становится не наглядным н очень трудоемким. Возникает необхо­ димость построения достаточно простых аналитических выражений, аппроксимирующих зависимость условных моментов от параметров.

Для построения аппроксимирующих зависимостей моментов от параметров наибольшее применение находит способ разложения условных моментов в многомерный ряд Тэйлора по параметрам. Практическая реализация этого способа требует решения следующих вопросов: во-первых, сколько членов ряда учитывать, во-вторых, как рассчитать коэффициенты ряда и, в-третьих, как определить точку разложения в пространстве параметров.

При выборе числа членов разложения в ряд Тэйлора следует руководствоваться следующими соображениями. Правильно выбран­ ный критерий качества, характеризующий степень выполнения авто­

219

матической системой основного назначения, должен содержать в про­ странстве параметров экстремальную точку, т. е. существует зна­ чение вектора параметров, обеспечивающее экстремум критерия качества. Это значение вектора параметров определяется в процессе проектирования системы и реализуется в ее конструкции. Вслед­ ствие отклонения технологических режимов от расчетных значений вновь созданное устройство имеет разброс параметров относительно оптимальных значений. В процессе эксплуатации автоматических систем явления старения и износа приводят к увеличению разброса значений параметров. Отклонение параметров от оптимальных зна­ чений приводит к ухудшению качества работы системы, поскольку критерий качества по множеству систем становится случайным и его средняя величина уже не соответствует экстремальному зна­ чению.

Система остается работоспособной лишь при сравнительно не­ больших отклонениях параметров от расчетных значений. При боль­ ших отклонениях параметров система выходит из строя, поэтому вопрос о точности ее работы ставить в данном случае бессмысленно. Вопрос о точности работы автоматической системы возникает при небольших отклонениях параметров от оптимальных значений.

Таким образом, при рассмотрении вопроса о числе членов ряда Тэйлора необходимо принять во внимание факт наличия экстремаль­ ной точки в пространстве параметров и сравнительно небольшой разброс параметров относительно этой точки. Установлено, что

вряде Тэйлора достаточно ограничиться квадратичными членами.

Врезультате зависимость условных моментов от параметров аппро­ ксимируется поверхностью второго порядка. .Одновременно стано­ вится ясным, что за точку разложения целесообразно выбрать рас­ четные значения параметров, соответствующие экстремуму крите­

рия	качества.
Для вычисления частных производных от критерия качества
по	параметрам, представляющим собой коэффициенты разложения

в ряд Тэйлора, можно применить различные методы в зависимости от вида автоматической системы. Заметим, что для линейных систем коэффициенты разложения могут быть вычислены принципиально точно, тогда как для нелинейных систем их можно получить только приближенно.

В результате построения ряда Тэйлора по параметрам несложно вычислить безусловные моменты критерия качества. Проиллюстри­ руем, как это осуществляется на примере второго начального мо­ мента. Пусть условный второй начальный момент зависит от вектора параметров. Представим эту зависимость в виде ряда Тэйлора, ограничившись квадратичными членами

a(V)=a(m) +	2 В Д +	2	(8-76)
	1=1	i, /=1
где а — второй начальный момент ошибки; т — вектор			математи­
ческого ожидания случайных	параметров, соответствующий опти­

220