книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Рис. 7.9. Структурная схема автодальномера

или после приведения подобных членов

Д„ [h + 1] = (1 — к) Д а [h] + кД [А].

(7.22)

Это линейное уравнение первого порядка в конечных разностях. В уравнении (7.22) входным сигналом является непосредственно полезный сигнал — дальность до цели. Однако в реальных устрой­ ствах всегда присутствуют помехи. Для учета влияния помех на процесс измерения дальности необходимо добавить в правую часть

уравнения (7.22) случайную функцию времени N [/г]. Тогда

Д п [1г+ 1 ] = (1 — к) Д„ [/г] + кД [h ] + kN [А]. (7.23)

Помехи в автодальномере обусловлены шумами антенны, гетеро­ дина, смесителя, а также фоном и флуктуациями сигнала, отраженного от цели.

Корреляционная функция суммарной помехи, обусловленной перечисленными выше причинами, на входе в автодальномер выра­

жается формулой		[29]
К м (т)			С2/ ! 2	2стш ((Тс +			ст|) е
		8л (сг2
			)
		a+ft
,	о г 2		I х I		-{- o^e		а т 1cos Рт -f-
+	2асафе		]/ cos fk
		+	4 —У1г I	^		Iх i	(7.24)
			+	афе

где а, b — коэффициенты, характеризующие затухание корреляцион­ ных функций отраженного сигнала и фона соответственно; р — ре­ зонансная частота фединга (см. п. 3.3); с — коэффициент усиления видеоусилителя; h — крутизна характеристики линейного детектора;

Ос, Ош, стф — дисперсии флуктуирующего сигнала, шума и фона соответственно на выходе УПЧ приемника.

Если считать шумы белыми с уровнем спектральной плотности 5 0, то дисперсия шума

ст“ ~ ~ТДТ~ BqSox а /,

(7.25)

где В 0 — коэффициент усиления УПЧ на резонансной частоте; х = = 0,7 -г-1,0— коэффициент; А /— ширина полосы пропускания УПЧ на уровне 0,707 по напряжению или 0,5 по мощности. В формуле (7.24) коэффициент у определяется соотношением

у — 10х2 А/2.

(7.26)

Если детектор видеоимпульсов приемника является квадратиче­ ским, то для определения корреляционной функции вместо формулы (7.24) следует пользоваться выражением

K n ( Т ) = С 2 / 2	2 с т 2ш (а2 + Стф) е	+		а-\-Ь	Y cos (к +
			2асафе ~2~
		■	п 2	2
+	асе4 - 0|т| cos |5т -f- Ошв		'т’ +	Цфе -Ь I т |	(7.27)

где I — параметр квадратичной характеристики детектора. Вычислим математическое ожидание ошибки автодальномера,

предполагая, что дальность до цели изменяется по линейному за­ кону, т. е.

Д (0 = До ~	vt,	(7.28)
где v = Д — скорость изменения	дальности.

В установившемся режиме математическое ожидание ошибки вы­ числяют по формуле (6.18)

со
/пв [/г ]= 2 CrtnYln],	(7.29)
r=О
где коэффициенты ошибок Gr определяют по формулам	(6.19) или
(6. 21).

Для проведения вычислений необходимо знать передаточную функцию автодальномера. Вводя разностный оператор периода по­ вторения импульсов (см. п. 6.4), запишем уравнение (7.23) в опера­

торной форме
	[А + ( k —	1)] Д„ [/г] =	кД III] +	kN [/г],	(7.30)
где k =	k 1k 2■ Отсюда	передаточная	функция	(при формальной за­
мене А	на z)
		Y (* ) = T + ( L В -			(7-31)

Автодальномер является следящей системой, поэтому передаточ­ ная функция требуемой системы равна единице. Для вычисления коэффициентов ошибок найдем

У (\) = 1- Г ( 1) =	—	Т т (1) = 1; Т;(1) = 0. (7.32)
Коэффициенты ошибок
С0 =	0;	(7.33)

Производные математического ожидания входного сигнала соот: ветственно равны:

Ш ц = До —vhT„\ т'я = —V , пгл = 0.

(7.34)

Подставляя в формулу (7.29) коэффициенты ошибок и производ­ ные математического ожидания входного сигнала, получаем

тв[А] = - ^ .

(7.35)

192

Таким образом, в автодальномере имеют место систематическая постоянная ошибки в измерении дальности.

Вычислим дисперсию ошибки измерения дальности. Поскольку полезная часть входного сигнала некоррелирозана с помехой, то дисперсия ошибки равна дисперсии выходного сигнала. Дисперсию выходного сигнала для установившегося режима вычислим по фор­ муле (6.31):

D>=> I К т ^ ) И ® Т Т 1 г ^	(7.36)

где ¥ — передаточная функция, в которой вместо аргумента г стоит аргумент (1 + ig)/(l — г'£); Pd (l£) — преобразованное значение спектральной плотности входного возмущения,

P d (%) = f — S d

1° i _

) •

(7.37)

Анализ корреляционной функции (7.27) показывает, что время корреляции входной помехи больше, чем типовой период повторения импульсов в автодальномере. В основном эта корреляция опреде­ ляется федингом. Расчет дисперсии выходного сигнала с использо­ ванием корреляционной функции (7.24) или (7.27) очень сложен. Поэтому рассмотрим простейший случай, когда входную помеху можно считать дискретным белым шумом с постоянной спектральной плотностью:

Sn H = - ^ 1,

(7.38)

где D — дисперсия импульсов.

В соответствии с формулой (7.37) преобразованное значение спек­

тральной плотности в данном примере
рd ^ =	- L -			<7-39)
Подставляя выражения (7.31)	и (7.39) в формулу (7.36),			получаем
А , =		2 2D		(7.40)
		2л	1 + I2
+ (А-1)

Преобразуем подынтегральное выражение к виду, удобному для применения таблиц интегралов, приведенных в приложении 2. В ре­ зультате получаем

п _ 2 №	° г ______________П-(ДГ-1 dt______________			/74П
2л	J [(tg)2 (2 —	£) + 2 ( g + i : ] [(— / |)2 (2 — /?)— 2 ( | +		£ ] ' 'Ч/ '
Используя	интеграл / 3,	для которого коэффициенты Ь0		=— i;
bx = 1; а 0 =	(2— /г); аг — 2; а.2 =		k, получаем
	р	kD	kxk2D	(7.42)
	U,J ~	2 — k ~	2 — kxk2 •

13 В . С. Пугачев

193

Из данной формулы следует условие устойчивости дискретной системы: k < 2.

Второй начальный момент ошибки автодальпомера

„2^2

« е =■ k"	kD	(7.43)
	2 — к '

Средний квадрат ошибки при оптимальном значении коэффициента усиления k0 имеет минимум, который определяется путем дифферен­

	цирования соотношения (7.43)	по /г и решения уравнения
	v-Tu	,	D	(7.44)
	к*	1	(2 — к)3
	Решая это кубическое уравнение, получаем оптимальное зна­
	чение коэффициента усиления.
	7.3. Следящий фазометр

Следящий фазометр представляет собой устройство для опреде­ ления угловых координат объектов в радиолокационных станциях. Функциональная схема следящего фазометра представлена на рис. 7.10 [411. Входным сигналом фазометра является последова­ тельность пакетов синусоидальных колебаний с частотой повторения импульсов, генерируемых передатчиком радиолокатора. Длитель­ ность пакета синусоидальных колебаний определяется числом при­ нятых импульсов в пачке. Пакеты синусоидальных колебаний про­ ходят через фазовращатель, который изменяет фазу сигнала в за­ висимости от угла отклонения диаграммы направленности радиоло­ катора от некоторого фиксированного положения. Таким образом, фаза входного сигнала является параметром, пропорциональным углу азимута или наклона положения цели в системе координат, свя­ занной с радиолокатором.

Структурная схема следящего фазометра, описывающая динами­ ческие свойства элементов, представлена на рис. 7.11. На этой схеме фазовый дискриминатор представлен в виде вычитающего устрой­ ства, импульсного п нелинейного элементов. Исполнительное уст­ ройство — электродвигатель — изображено на схеме в виде последо­ вательного соединения интегрирующего и апериодического звеньев. Фазовращатель на схеме представлен безынерционным звеном с ко­ эффициентом усиления k3. Выходной сигнал фазометра есть изме­ ренная фаза ф„ входного сигнала.

I------------------------------------------ 1

Рис. 7.10. Функциональная схема следящего фазометра

J94

Рис. 7.11. Структурная схема следящего фазометра

Для составления разностного уравнения, описывающего работу следящего фазометра, примем допущения:

длительность импульсов мала по сравнению с периодом их сле­ дования и фазовращатель за время импульса не поворачивается; двигатель отрабатывает выходную фазу в промежутки между

импульсами; система является линейной.

Уравнение в конечных разностях для фазового дискриминатора

как линейной системы имеет вид
ыф [й] = ki	(ср	[/г] — ф„		[/г]).	(7.45)
Для интегратора
«! [/г + 1] =	ы,	[/г] + /г.Щф [h]			(7.46)
и для апериодического звена
и [h + 1] = и [A] e-v -f их [h +			1] (1 — e~v),		(7.47)
где у = T J T — отношение периода следования импульсов к постоян­
ной времени звена.
Для фазовращателя
Фп Hi] = kau [А].					(7.48)
Чтобы исключить величину		иг \1г +	11	из уравнения	(7.47),
запишем это уравнение для /i-го такта:
и [/г] = и [/г— 1] e-v + их[/г] (1 — e~v).					(7.49)
Вычитая из выражения (7.46) соотношение (7.49), получаем
и [h -f- 1] — и [/г] =	(и [h]— и [/г — 1]) e~v -f-
+ (и, [h + 1] -		их[/г]) (1 -		e-v),	(7.50)

но разность выходных сигналов интегратора для двух соседних так­ тов в соответствии с уравнением (7.46)

ил [Н + 11 — и1 [/г] — А, иф [А] =
= k xk a (ф [/г] — фи [А]).	(7.51)

Подставив это соотношение в формулу (7.50) и выполнив некото­

рые преобразования,	получим
u[h-1- 1] —a [ft] (1 + e-v) + W[A— l]e~v =
=	kxk2(1 — e-v) (ф [/г] — ф„ [/г]).	(7.52)

13*

1 9 5

Наконец, заменяя выходной сигнал апериодического звена на выходной сигнал фазовращателя с помощью соотношения (7.48), получаем следующее выражение:

Ф„ [Л + 1 ] + № (1 - е-19 - (1 + e - v )} Ф„ [/г] +

+ e-V(p„ [к - 1] = k (1 -	e-v) Ф [h +	1],	(7.53)
где введен обобщенный коэффициент	усиления	k =	^х/г2^3.

Приведем уравнение (7.53) к стандартной форме, сдвинув начало отсчета на один такт:

ф„ № + 2] + {А (1 — e -v ) — (1 + e - v ) } ср„ [к + 1 ] + e - v ср„ [к] =
— /г (1 — e~v) ф [h -f- 1].	(7.54)

Данное линейное уравнение второго порядка описывает динами­ ческие свойства следящего фазометра и связывает измеренное зна­ чение фазы с истинным значением этой фазы.

Для полного описания работы фазометра необходимо добавить в правую часть уравнения (7.54) к истинной фазе случайный сиг­ нал N [/г], характеризующий входные помехи:

Ф„ [Л + 2] + \k (1 - e - v ) - (1 +	e -v)}	Фи [к +	1 ] +
+ e-VcPlI [к] = /г(1 — e-v) {<р [к +	1] +	N [к +	1]}.	(7.55)

Рассмотрим условия устойчивости фазометра, характеристиче­ ское уравнение которого имеет вид

а оФн \к	2] + «хф,, 1к +	1 ]	+
+ а,сри [/г] = 0,				(7.56)
где а0 = 1; ах = k (1 — е~у) — (1 + e_v); а 3 =			e-v.
Критерий Рауса—-Гурвнца для дискретной системы второго ПО'
рядка дает условия устойчивости
а0 + а1 + я 2 > 0 ; ао— ах + а 2 > 0;				(7.57)
	а0 — а 2 > 0 ,
или, подставляя значения	коэффициентов,	получим
1 + k (1 — e-v) — (1 + e-v) + e-v > 0; '
1 — k (1 — e-v) + (1 -f e-v) +		e-v > 0;		(7.58)
	1— e -v > 0 .

Первое условие соответствует положительности обобщенного коэффициента усиления. Последнее условие выполняется тожде­ ственно, если период повторения импульсов отличен от нуля, т. е. у > 0 . Из второго неравенства следует условие для коэффициента усиления:

k < 2	(1+е~У)	(7.59)
	1- e-v

196

Если период повторения импульсов более чем в 4 раза превосходит постоянную времени инерционного звена (у ^ 4), то можно не учи­ тывать динамические свойства этого звена. При этом e-v «=* 0 и условие устойчивости системы, содержащей импульсный -элемент с одним интегратором, имеет вид

k < 2.

(7.60)

Вычислим математическое ожидание ошибки в установившемся режиме. Вводя разностный оператор сдвига А на один такт, запишем уравнение фазометра (7.55) в операторной форме:

{Д2 + [/г (1 — e-v) — (1 + е-т)] A - f e-v} <ри =
= /г (1 — е-v) А (ф + ЛО.	(7.61)

Осуществляя формальную замену разностного оператора на пара­ метр z, получаем передаточную функцию системы

	я|) (г) =	k (l — е v) z	(7.62)
		[k (1 — e- v ) — (l + e_v)] z + e“ v
	22+

Предположим, что полезный сигнал изменяется по линейному закону во времени

Ф = Фо + ФоЯТ’ п-

(7.63)

Производные входного сигнала

ф' = Фо’> ф" = 0.

(7.64)

Вычислим производные передаточной функции по г при г — 1:

¥ ( 1 ) = 1 ;¥ '( 1 ) = - 4 -

(7-65)

Требуемая передаточная функция и ее производныерассматри­ ваемой следящей системы соответственно равны:

Тт (1) = 1; 1Тт(1) = 0.

(7.66)

Вычисляя коэффициенты ошибок, получаем

С0 = 0;

=

(7.67)

Используя соотношения (7.63), (7.64) и (7.67),поформуле (6.18) вычисляем математическое ожидание ошибки следящего фазометра:

(7.68)

Вычислим дисперсию ошибки, считая помеху дискретным белым шумом со спектральной плотностью:

SdN ( « > ) = ^ .

(7.69)

197

Для вычисления дисперсии ошибки представим передаточную функцию (7.62) в следующем виде:

	¥	1-1- « | \ _		d(l +	i l ) ( l - i l )			(7.70)
		1 — *‘Е	(/i)= (i +	d0 - d,) +	2ig (i - d0) + 1 +	д +	д
	где
	d = jfe(l_e-v);		dx =	k(\ — e-v) — (1 + e -v );		d0 =	e~v. (7.71)

Дисперсию вычисляем по формуле (6.31), которая в данном слу­ чае принимает вид

2Dd-

А , 2л

l(l+»'£)(l-<£)l3d£

I Об)2 (1 + Д - Д ) + 2£i (1 - d o ) + 1+ Д + Д |2 (1 - Г-)

(7.72)

Вычисляя этот интеграл с использованием таблиц приложения 2, получаем следующую формулу для дисперсии ошибки следящего фазометра:

Dk{ 1 + e~v) ____

(7.73)

2(1 + e _v) — k (1 — e- v )

При у 5 =4 можно пренебречь величиной экспоненты по сравне­ нию с единицей. Тогда формула (7.73) упрощается и принимает вид

	=	2 — /г '	(7.74)
Средний квадрат	ошибки следящего фазометра
	• о	Dk{ 1+ e ~ v)
	Фо		(7.75)
«Е =	— Т1- 2(1 +	е_ v) — /г (1 — е~v) ‘

Данная величина имеет минимум по коэффициенту усиления.

Г л а в а 8	МЕТОДЫ АНАЛИЗА
	СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

8.1. Стохастические системы

Динамические системы со случайным оператором преобразования входного сигнала называются стохастическими системами. К ним относятся системы, у которых случайным образом меняются сзязи между отдельными частями в зависимости от внешних условий или от вида и интенсивности входного сигнала: например, системы со случайно перестраиваемой структурой, некоторые биологические системы [54]. К ним также относятся системы с постоянной структу­ рой, но со случайными параметрами. Стохастические системы по­ следнего вида имеют важное практическое и теоретическое значение, так как к такой модели можно привести большое число автомати­ ческих устройств из-за неизбежного случайного разброса их пара­ метров. Это можно объяснить наличием допусков производства, не­ однородностью деталей и материалов, а также старением и износом элементов системы. Вследствие этого операторы однотипных систем получаются в некоторых пределах различными.

Оператор каждой конкретной системы данного типа является реализацией случайного оператора системы. Полагая оператор од­ номерной в общем случае нелинейной системы случайным, пред­ ставим выходную случайную функцию У (t) через входную случай­ ную функцию в виде

Y (t) = Ar [t, X (1)],

(8.1)

где Ах — случайный оператор.

Для многомерной системы, имеющей п выходных случайных пере­ менных Y . . ., У„ и т входных случайных функций Х г..........Х п , запишем

Yt(f) = A xl [t, Xi (т),	...,	Хш (т)],	(8.2)
(i = 1, • • •.	п),

где А ‘Т— случайные операторы.

В общем случае случайные операторы АТ и А{ могут зависеть от входных сигналов.

Если система линейная и одномерная, то выходную переменную можно представить в виде

У (t) = Аг (t) X (т).

199

Соответственно для многомерной линейной системы выходные переменные выражаются через входные суммой

м

Y](t)= S 4 (О В Д -

/=1

(i = 1..........n)

Линейные стохастические системы линейны по отношению к вход­

ным переменным X t (t). Однако, если случайные операторы А х рас­ сматривать также как дополнительные входы, то системы оказы­ ваются нелинейными.

Для вероятностного анализа стохастических систем в общем слу­ чае необходимо иметь совместные законы распределения входных переменных и операторов. Только для линейной системы со случай­ ными операторами или случайными параметрами оснозная задача оценки точности может быть решена с использованием лишь мсментных характеристик для входных сигналов и операторов.

8.2. Корреляционные функции систем со случайным оператором

Рассмотрим общий случай нелинейной одномерной системы, для которой связь между выходной и входной переменными имеет вид выражения (8.1). Пусть известен закон распределения переменной X (t) и оператора Ах. Тогда математическое ожидание выходной пере­ менной получим, если к выражению (8.1) применим операцию мате­ матического ожидания:

mu[t) = M \A x [t,X{x)\\,

(8.3)

где операция математического ожидания М должна быть взята по переменной X и случайному оператору Ах.

Корреляционную функцию переменной Y (I) вычисляют по фор­ муле

Ky {t, f) = М \АХ[t, X (т)] • Ах, [ГХ (т')]}- ти (t) ,пи (/'), (8.4)

где операция математического ожидания М применяется по перемен­ ным X (т), X (т') и операторам Ах и А х-, а чертой обозначены комплекс­ но сопряженные величины.

Формулы (8.3) и (8.4) можно легко обобщить на многомерный слу­ чай. Математическое ожидание и корреляционные функции пере­ менных для многомерных систем определяют по следующим форму­ лам:

=Xi (т), .. .,Хт(т)]);

Kyiiij (^i t ) = М [Ах [£, Xi (т), . . ., Хт(т)] X

X А‘Х' [/', Х ^ т ')........Х,п(х')\\ — mu.{i)my. (/').

(t, j = 1, . . ., я)

200