книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

мальным значениям параметров; Уг = U — т1— отклонение па­ раметра от оптимального значения; I — число параметров;

Bt = (даJdUi)m-, Си = 0,5 (PaldU, dU,)m.

Применяя к выражению (8.76) операцию математического ожи­ дания, получаем среднее значение второго условного начального момента

M[a(V)] = a ( m ) + £ CuK ih	(8.77)
г, i=i
где Кц — корреляционный момент связи i и /-го параметров.	Если

параметры некоррелированы, то из выражения (8.77) следует формула

M [a(V)] =		a ( w ) + S CuDt,	(8.78)
		i=1
где D t — дисперсии	случайных параметров.
Из формулы (8.78)	следует,	что среднее значение второго началь­

ного момента больше его минимального значения а (т ). Действи- ' тельно, так как второй начальный момент ошибки имеет минимум, то в этой точке вторые производные являются положительными ве­ личинами Сн >■ 0. Дисперсии параметров также неотрицательные величины, поэтому сумма в (8.78) является положительной величи­ ной, что и доказывает неравенство М [a (V) ] > а (т).

Вычислим второй безусловный начальный момент критерия ка­ чества (8.76). Для этого возведем это выражение в квадрат и при­ меним операцию математического ожидания. В результате получаем

M [a2(K )]= a ’-(m )+ £			BtB,M [У£, V,] +
		*. /=1
+	S	CijCkhM(VlViVkVh] +
i,	/. k, ft=1
+ 2a (m) % CUM [VtVf] +			. £	BfijkM [VtVjVk]. (8.79)
i. /=i			i, i,	*=1

Для нормального закона распределения вероятности параметров

имеют место		соотношения
М [ В	д	= 0;	м [Vtv y kv h] =	K u Kkh +		/с а + K ihK ik,
поэтому из	выражения (8.79) получаем
		M [a2(F)] = a2(m) +		i,	£	+
					/=1
+		S	с £/с ЛЙ[/с,-Дм +		а д *	+ Д /Д /,] +
		/> й. л=1
			+ 2a (m) £	С;Д г/.		(8.80)
			/=1

221

При некоррелированных параметрах данная формула упрощается II принимает вид

i		I
М [ а 2 ( V ) ] = а (2т) + Е	Я ?А +	£{ С и С п + 2С 2и ) А А +
/=1	I,	/=Л
	/
4 - 2а ( т ) S		C A
	/=1

Дисперсию условного момента (8.76) получим вычитанием из соотношения (8.80) квадрата безусловного математического ожида­ ния. Возводя выражение (8.77) в квадрат и вычитая его значение из уравнения (8.80), получаем

Dа		1
		I
. /=i
i
у	[KutKjh	K i h K j k \.	(8.82)
I-. /, к. /1=1Cifikh

Для некоррелированных параметров безусловная дисперсия

критерия качества
Da = S B)Dt	2 S	(8.83)
/ = 1	i, /=i

Ухудшение качества системы за счет случайного разброса пара­ метров можно оценить по увеличению средней квадратической ошибки, вычисляемой по формуле

1] = у М [а2 (У)] — а2 (т).

(8.84)

Эта величина характеризует только влияние разброса параметров.

. Изложенное показывает, что методы теории чувствительности заключаются в построении для критерия качества автоматической системы ряда Тэйлора и вычислении безусловных характеристик точности системы. Наибольшую сложность и трудоемкость при этом имеют способы вычисления коэффициентов В;, Си ряда Тэйлора. Изложению этих способов посвящен следующий параграф.

Выражение (8.76) в общем случае можно не рассматривать как ряд Тэйлора, и, следовательно, не обязательно трактовать коэффи­ циенты В;, Сц как частные производные от критерия качества по параметрам в точке разложения. Это выражение в общем случае можно считать одним из видов аппроксимации истинной зависимости критерия качества от параметров. Поэтому вычисление коэффи­ циентов аппроксимирующей функции будет зависеть от вида аппро­ ксимации.

Как известно, существуют следующие способы аппроксимации: аппроксимация в точке; аппроксимация в ряде точек и аппрокси­ мация в области [12, 61, 72].

При аппроксимации в точке истинная и приближенная функции совпадают точно только в одной выбранной точке. К этому виду аппроксимации и относится способ разложения критерия качества

222

в ряд Тэйлора по параметрам. Аппроксимация в ряде точек преду­ сматривает совпадение функций в нескольких, определенным обра­ зом выбранных точках (узлах). При аппроксимации в области истин­ ная и приближенная зависимости в определенной области измене­ ния аргумента отличаются не более чем на фиксированную величину. В следующем параграфе рассматриваются способы вычисления коэф­ фициентов разложения (8.76) при аппроксимации в одной точке.

8.7. Вычисление коэффициентов

Для вычисления коэффициентов выражения (8.76), рассматри­ ваемых как частные производные от критерия качества по параме­ трам, можно применить два способа. Первый из них заключается в дифференцировании по параметрам исходных уравнений автома­ тической системы. Полученные уравнения для частных производ­ ных переменных системы по параметрам следует рассматривать как дополнительные уравнения, описывающие работу автоматической системы. Для определения критерия качества и производных от него по параметрам можно применить изложенные ранее методы (см.

гл. 2, 4, 6 и 8).

Второй способ вычисления производных критерия качества по параметрам заключается в использовании приращений: производ­ ная приближенно равна отношению приращения функции к при­ ращению аргумента. Рассмотрим последовательно оба способа.

Пусть нелинейные автоматические системы описываются диффе­

ренциальными уравнениями			вида
	Yt = v t (t,Y,		U ) +	Е М * . U )N ,■((),			(8.85)
				i=i
где	У,- — переменные	системы;		<pt. (.) — нелинейные			функции,
дифференцируемые по вектору параметров U\					Ьц {t,	U) — коэффи­
циенты, дифференцируемые по вектору параметров U\						N,- (t) — вход­
ные	возмущения.	соотношение (8.85)			по k-му		параметру.
Продифференцируем

Меняя местами дифференцирование по времени и по параметру, получаем

d	dYt	_<3Ф,■(/, V, U)	,	\ л	.дЬц((, U)	д, /л	(8.86)
dt	' dUk	dUk	1	Z j	dUk	i K>

/=i

Данное уравнение необходимо решать при нулевых начальных условиях совместно с уравнением (8.85). Это следует из того, что производная нелинейной функции по параметру зависит от значения вектора переменной Y .

Продифференцируем уравнение (8.86) по /г-му параметру. В ре­ зультате получаем

d	d2Y t	д2Ф,- (t. К, V)	,	2	д2Ьц (t, U)	(8.87)
dt	' dUk dUh	dUk dUh	т		dUk dUh М О ;
				i=i

223

это уравнение также зависит от переменных У., поэтому его необхо­ димо решать совместно с уравнением (8.85).

Для вычисления коэффициентов ряда Тэйлора необходимо знать значения производных в точке, соответствующей математическим ожиданиям всех параметров. Поэтому уравнения (8.85), (8.86), (8.87) решают совместно при математических ожиданиях параме­ тров Ui = mv

В частном случае линейных систем уравнение (8.85) принимает

вид
Y , = l 1ai i (t,U )Y j +	S Ьц (t, U) Nj (t).	(8. 88)
/=i	i=i■ '

Соответственно уравнения (8.86) и (8.87) преобразуются к сле­ дующему виду:

	d	дУ;	V	*	и	г r\ dYi I
	w	m	= L	a'iV. "> зщ +
	п		/=i
			U)
	бац {t,
	+ Е	dUk
	/=i
	d	&Yl				d2Yi	f
	dt dUk dUh		/-i	'I '	’	' dUkdUn

п

дан (t, U)

- 2 - dUh

/= i

п

	V	дац (i, U)
		dUk
	2 j
	i=i

		Li	д-ац (t, U) Y	,
	'		dUkdUh	' _1~
		/=i
d	_i_	V d"b‘i V ’ u \ N		■(t)
'h	i	LJ	dUkdUh	i [ >'

/=i

(8.89)

(8.90)

Из уравнений (8.89), (8.90) следует, что частные производные по параметрам можно рассматривать как выходные переменные неко­ торой дополнительной системы. Входными сигналами этой дополни­ тельной системы являются выходные переменные исходной автома­ тической системы. Если принять эту трактовку частных производ­ ных, то достаточно легко можно определить частные производные от моментов переменных автоматической системы с использованием изложенных в предыдущих главах методов анализа. Покажем это на примере первых двух моментов.

По определению математического ожидания имеем

тв1 (0 = MI Y, (*)],

(8.91)

где М — оператор математического ожидания. Дифференцируем это выражение по /е-му случайному параметру. В результате полу­ чаем

дтУ 1 - м	Гак''(/)1	(8.92)
dUk —	L dUk J

224

Поскольку производная в правой части есть выходная перемен­ ная системы (8.86), решаемой совместно с системой (8.85) [или соот­ ветственно систем (8.88), (8.89)], то математическое ожидание можно вычислить на основе изложенных выше методов. Аналогично опреде­ ляют вторую производную математического ожидания по k-му и /г-му параметрам:

	д-'п!П ( 0	м Г d-Y; ( 0 1	(8.93)
	dUk dUh	L dUk dUn .

Рассмотрим производные от ij-го корреляционного момента пе­ ременных:

дв					о	<
	LL	= М	__i уО		I уи	dUk	(8.94)
dUk			дик г '	"Г r i
Вторые производные
д Ю ц _ М			Г э-уЧ		V»	дУЧ	дУ°.
			дик dUh			dUk	L.+
дик дик							dUh
		дУЧ	дУЧ		д2У°,		(8.95)
+		_	__ L _1_ V -		________
		dUk '	dUk Г	1	dUk dUn

Производные от выходных переменных системы есть переменные дополнительных систем. Поэтому моменты первого и второго поряд­ ков по формулам (8.92)—(8.95) вычисляют точно так же, как и для обычных автоматических систем, описание работы которых дается уравнениями (8.85), (8.86), (8.87) и уравнениями (8.88), (8.89), (8.90)

для линейных систем.

Применительно к нелинейным системам с использованием методов статистической линеаризации и уравнений для моментов данная процедура рассмотрена в [25]. Для линейных систем с использова­ нием метода весовых функций процедура вычисления частных про­ изводных от моментов по параметрам разработана в [24].

Рассмотрим теперь основанный на приращениях способ вычисле­ ния производных от моментов по параметрам. Для определенности рассуждения проведем для второго начального момента, представ­

ленного формулой
a(V) = a(m) + £	BiVi +	' S	C^V.Vj,		(8.96)
/=1	_	i. /=1
где V[ = Ut — 'ml — центрированные значения				параметров.
Дадим k-му параметру приращение		Vk =	Аь	а остальные па­

раметры будем считать равными своим математическим ожиданиям.

Обозначим	значение второго		начального		момента,	вычисленного
с учетом приращения только одного k-vo параметра,						через a (А*).
Очевидно,	что формула	(8.96)	для	этой величины примет вид
	а (А*)	= а (т) +		Вк Ак +	Скк А*.	(8.97)

1 5 В. С. Пугачев

2 2 5

Далее дадим этому k-му параметру отрицательное приращение

—Ak и вычислим второй начальный момент при математическом ожи­ дании всех остальных параметров. В соответствии с формулой (8.96) будем иметь

а (—д а) = а М — Bk Ak + Ckk д а-

(8.98)

Вычитая из равенства (8.97) соотношение (8.98) и деля получен­ ную разность на удвоенное приращение, получаем величину коэффи­ циента

	Вь	а (Д^) — « ( — Дк)	(8.99)
		2Л*

Если имеется алгоритм вычисления второго начального момента при фиксированных значениях параметров, то правая часть соотно­ шения (8.99) определяется двукратным повторением вычислений величины а при положительном и отрицательном приращении k-то параметра.

Для определения коэффициентов Ckk необходимо сложить ра­ венство (8.97), (8.98), из полученной суммы вычесть 2а (пг) и резуль­ тат поделить на удвоенное приращение:

_ а (Ак) + « (—Aft) — 2а ("О

Скк — 2Д*

Нетрудно показать, что коэффициент Ckh можно формуле

а (Ак , А;,) — а ( Ak) — « (Ah) - f а М

ГиА/1— 2А/[Ал

(8. 100)

вычислить по

( 8. 101)

Формулы (8.99), (8.100), (8.101) дают приближенные значения производных. Точность вычисления зависит от вида функциональной зависимости второго начального момента от параметров и величины приращения Ак. Обычно в качестве приращения берут величину среднего квадратического отклонения параметров. Существуют ре­ комендации по выбору величины приращения, равной двум средним квадратическим отклонениям [48].

Рассмотренный способ определения производных достаточно эффективен как по точности вычисления, так и по его трудоемкости, поэтому он получил широкое распространение на практике.

8.8. Применение статистической линеаризации

Случайные параметры входят в систему, как правило, неадди­ тивно. Поэтому, как было уже сказано, система со случайными па­ раметрами является нелинейной. Предположим, что уравнения ее движения приведены к виду

У* =

У, С) + Хь

(8.102)

(/г = 1, . . ., п)

226

где фА— в общем случае		произвольные		нелинейные	функции;
Ук — переменные системы;		0 — случайные параметры			(величины);
Хк (t) — случайные	функции — белые		связанные шумы со взаим­
ными корреляционными		функциями
' KXpXq (t, t )	= М [Х°р (0 X°q (Г)] =			Gpq (t) б ( t - t ) .
:	{р, q = \ , . .		п)

Для анализа рассматриваемых систем, имеющих гладкие диффе­ ренцируемые нелинейности, может быть применен метод обычной линеаризации. При наличии в системе существенных нелинейно­ стей следует воспользоваться методом статистической линеаризации. Однако все методы линеаризации при наличии множительных эле­ ментов дают удовлетворительные результаты при малых уровнях дисперсий случайных параметров.

Применим статистическую линеаризацию нелинейностей. На основании формулы для многомерной нелинейности запишем

Ф а = Фа о + t	k kiY°i + S lkhVh,	(8.103)
;=i	/i=i
(k	n)
где Vh — Uh — tnh — отклонение	случайного параметра	от сред­
него значения.

Согласно формулам статистической линеаризации статистические

характеристики cpA0 и коэффициенты kki					зависят от вероятностных
моментов первого и второго порядков входных функций							Y к и слу­
чайных параметров		Vk:
	ф*о	= Фао (*,	ту, т „ ,	0,	Q,	£>);	(8.104)
	&А,’	kki	Шу*	Q»		k)),
	^A/i	^ А Л ( ^ »	Mm	Q »		D),
где my, tnu— совокупность математических ожидании							переменных
Y,	U, а 0 и Q — матрицы корреляционных моментов связи перемен­
ных Y и U\D — матрица корреляционных моментов связи случайных
параметров U. В формулах (8.104) приняты следующие обозначения
для	вероятностных	моментов:
	myk(t) = M[Yk (t)Y, т и/ =				М[Д,];
	Qpq(t) =	М [Y°p (t) Y'q (/)];		Dvh=		M [VvVH]\

Qvl (t) = M [VvY°i (/)].

Моменты mul и Dvh должны быть заданы. Подставляя выражения (8.103) в уравнения (8.102) получим систему

Yk = фас + S kkiY°i + S hhVh + Х к.		(8.105)
i= l	h= 1
(к =	1........п)

15*

227

Применяя операцию математического ожидания, из системы (8.105) выделяем уравнения для математических ожиданий переменных:

тУк =	ср/;0 +	т.ч..	(8.106)
(/е =	1, ....	п)

Вычитая почленно уравнения (8.106) из уравнения (8.105), полу­ чим линейные уравнения для центрированных составляющих:

y°k — \ j kkiYi	/1=1	I k h V h X k ’	(8.107)
i=l

(k= 1, • • •> п)

На основании системы уравнений (8.107) можно получить уравне­ ния для корреляционных моментов 0/,,р, Qvl. Для этого воспользуемся процедурой преобразования, уже примененной в гл. 2, п. 6. В ре­ зультате получим

п I "1

[kitflip + kpfiik] +		/1=1	UkhQhp + lphQ.hk\ + Gkp,
i= I	n		l		(8.108)
Q v k —	iLl k k iQ k i +		ll=i		k t P v h ■
	i—\
(k, p =	1 ,.. ., П,	v =		1, . . ., t)

Присоединяя к уравнениям (8.107), (8.108) формулы (8.104), получим систему уравнений для определения математических ожи­ даний и корреляционных моментов переменных Yк. Интегрируя их при заданных начальных условиях, определяем искомые вероят­ ностные характеристики.

Линеаризованная система уравнений (8.107) позволяет также со­ ставить уравнения для корреляционных функций переменных. Эти уравнения могут быть составлены аналогично тому, как это сделано в гл. 2, п. 6 или в гл. 4, п. 5.

Уравнения (8.106) и (8.108) могут быть использованы для оценки устойчивости решений для моментов.

Если в системе существует установившийся режим, то постоянные значения вероятностных моментов для этого режима можно опреде­ лить из уравнений (8.106) и (8.108), если приравнять их правые части к нулю. В результате получим систему нелинейных (8.106) и линей­ ных (8.108) уравнений для моментов. Их решение может быть полу­ чено любыми известными способами.

Уравнения (8.107) могут быть использованы также для определе­ ния спектральных плотностей переменных Yk в установившемся

режиме на основании	формул
Ч и =	Ц	CV , М (IV v (-»■“>) %>	(8-109)
	/./=1
где Ф|/Ад-г (/со)— частотная характеристика системы от входа			х1 к вы­
ходу Ук> определяемая	по	уравнениям (8.107).

Г л а в а 9

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е СИСТЕМ Ы

9.1. Формирующий фильтр

Рассмотрим задачу построения формирующего фильтра, обеспечи­ вающего получение случайного процесса с одномерной плотностью вероятности, принадлежащей к классу зависимостей, описываемых уравнением Пирсона [62], Как известно [39], класс законов распре­ деления вероятности, описываемых уравнением Пирсона, очень ши­ рок и включает следующие законы: нормальный, %2, Стьюдента, Фишера, Парето, бэта и др.

Формирующий фильтр описывается линейным дифференциальным

уравнением первого порядка
Y + (а + Z (t)) Y = kN (t).	(9.1)

Входными сигналами фильтра являются случайные функции Z (t) и N (^-гауссовскйе коррелированные белые шумы с математическими ожиданиями mz (i), mN (t), интенсивностями Gz, GN и взаимной интенсивностью GZN.

Покажем, что выбором значений интенсивностей белых шумов можно получить случайный процесс Y (t) с одномерной плотностью вероятности, принадлежащей семейству кривых Пирсона. Для этого вычислим коэффициенты сноса и диффузии и составим уравнение для плотности вероятности выходной переменной уравнения (9.1).

В соответствии с формулами (8.25) и (8.26) для		данного	случая
а1Х = —a; Z1X = —Z;	Ьц = к, при этом получаем
А1 = — (а-\-	---- g -G ^ +	lfem";	(9.2)
2 5 г1 =	Gzy2 — 2kGZNy + k2GN.		(9.3)

Из этих формул следует, что апериодическое звено, описываемое уравнением (9.1), является примером физической системы, для ко­ торой коэффициент сноса является линейной функцией переменной у, а коэффициент диффузии — квадратичной функцией этой же пере­

менной	[37].
Подставляя коэффициенты сноса и диффузии в уравнение (8.13)
для одномерной плотности вероятности, получаем
§	■	=	{ [	(	“1e z +) ■y ™z+ 4—- kг a z “
		+ - r : i p -		I P	V - 2W y + Ж » 1f\.	(9.4)

229

Рассмотрим установившееся решение этого уравнения при dfldt = 0. Полагая, что при бесконечном значении аргумента одно­ мерная плотность вероятности и ее производная обращаются в нуль, получим из выражения (9.4) линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно стационарного значения плотности

вероятности, которое представляет собой уравнение				Пирсона:
		0.		(9.5)
Решение уравнения (9.5) имеет вид				(9.6)
f(y,	оо) — С ехр |х (*/)},
где С — нормировочная	постоянная, а	функция
а+ш/	+ 2 km" ■		.ZN
In 12В,		k (а + mz ) G		X

,Gzu — kGZN

к (у) -■			x г г arclg		v t	при A >		0
	а+нЦ							(9.7)
					k (a + mz ) G'ZN
In I 2B,		a*		km"
							X
				X Gz y — kGZN		при A = 0,
где		A = k2 {GNGZ — GZN).						(9.8)
Общий вид графика плотности вероятности при							А >• 0,	tnN =
= mz = 0,	GZN > 0,	а >	0 приведен на рис. 9.1.			Функция		имеет
максимум,	смещенный в		область	отрицательных		у	при GZN >• 0
и положительных у		при GZN < 0 .		При	уменьшении		корреляцион­

ной связи между аддитивным и мультипликативным возмущением происходит деформация кривой распределения и при GZN = 0 максимум расположен в точке у — 0 (см. рис. 9.2).

Несимметрия кривой плотности вероятности при GZN =j=0 при­ водит к появлению математического ожидания переменной у. С физи­ ческой точки зрения это объясняется нелинейным эффектом детекти­ рования, возникающим в линейной системе с аддитивным и мульти­ пликативным возмущением при наличии корреляции между ними.

Рис. 9.1. График плотности вероят­	Рис. 9.2. График плотности
ности	вероятности

230