книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

K„(t,t)=DyUi
2			0 , ю
			6„ = 0,05
		Л	А	4
		1	\ г
4	8	12	16	t,c
Рис. 5.5. Дисперсия выходной координаты
представлены графики	зависимости	дисперсии		выходной коорди­
наты от времени при	различных	значениях		интенсивности по­

мехи.

Анализ результатов вычисления показывает, что в данной системе после включения имеет место переходный процесс. Время переход­ ного процесса дисперсии и корреляционной функции существенно зависит от интенсивности помехи. При отсутствии возмущения (GN = = 0) переходный процесс по дисперсии затухает, а весовая функция

g n	0) описывает гармонические колебания частоты со = 1/7\
что	соответствует периоду колебаний Тп = 3,14 с; это непосред­

ственно следует из рис. 5.4. Таким образом, корреляционная функ­ ция К 11 {t, 0) при отсутствии случайного возмущения характеризует процесс развития автоколебаний в данной системе.

При действии случайного возмущения весовая функция g ^ (t, 0) затухает до нуля, причем время затухания тем меньше, чем больше интенсивность возмущения. На первый взгляд кажется странным что весовая функция статистически линеаризованной автоколебательной системы затухает, поскольку она является частным интегралом си­ стемы (5.51), не содержащей входного возмущения. Объяснение данному факту можно дать, если учесть, что коэффициент статисти­ ческой линеаризации зависит от математического ожидания и дис­ персии выходной координаты. Изменение этого коэффициента во времени в соответствии с изменением дисперсии выходной перемен­ ной (при расчете принято mN = 0) приводит к демпфированию коле­ баний в системе, и весовая функция g ^ (t, 0) стремится к нулю при t —>оо. Демпфирование тем сильнее, чем больше интенсивность воз­ мущения, поскольку это увеличивает дисперсию 0ц.

Рассмотрим далее установившийся режим работы системы для случая, когда математическое ожидание входного возмущения равно нулю. Определим дисперсию и спектральную плотность выходной координаты.

Передаточная функция статистически линеаризованной системы

к	(5.52)
Ф(«) = Т0т*& + 2Д7У- + T0s + kkx ’

151

где коэффициент статистической линеаризации k 1 в	соответствии
со второй формулой (5.47) при /?гх = 0 имеет вид
кх = 21/]^2поу.	(5.53)

Вычислим дисперсию выходной переменной, воспользовавшись формулой

СО
Оу = J | Ф (гео) |2 SN (со) dco.	(5.54)
Подставим в эту формулу значение частотной	характеристики

из выражения (5.52) и постоянную спектральную плотность белого шума SN — GN/2n. Воспользовавшись значениями интегралов от дробно-рациональных функций, приведенных в приложении 2, получаем

	kG,\r	(5.55)
	2T0kl — Tkk\

Решая уравнения (5.53), (5.55) относительно среднего квадрати­ ческого отклонения и коэффициента статистической линеаризации, находим

	_	kTl (1 - г ц) .	, __	2Т0	(5.56)
	а	T0 V Ш ’	1	^ ( 1 + Ю

где параметр ц характеризует интенсивность входного случайного возмущения,

р = nGN/2l2T.

.

(5.57)

Спектральная плотность выходной переменной

Sy (со) = |Ф (ш) |2Sn ( с о ) .

(5.58)

Подставляя в формулу для частотной характеристики значение коэффициента статистической линеаризации (5.56) и вычисляя квад­ рат модуля, получаем следующее выражение для спектральной плот­ ности выходного сигнала:

Sy (со) =	кЧ°-Т3		(5.59)
	„2Г 2	H -7
	Я Го (соГ)6 + 2 (соГ)4 +		(соТ)г +
		р+1	(1 +Юа

Исследуем зависимость спектральной плотности от частоты и па­ раметров системы. При со = 0 спектральная плотность

Sy (0) = /e W p (1 + p)2/4jx27l.

При со = оо Sy {оо) = 0. Спектральная плотность имеет мак­ симум на частоте сот , определяемой из уравнения (d,Sy/d(d)am = 0.

Выполняя дифференцирование и решая уравнение, получаем сле­ дующую формулу для частоты точки экстремума:

соm —

+1	Ч
	^

	2	1	- i / 2 5 + ц		при р,<;7,
			У
L	з	3		1 + ц .		(5.60)
	0				при р, >	7.

152

Максимальная величина спектральной плотности

S y (®ш) ---			27fe27'3/2p		(5.61)
	71 — р	_	р \ 7	54
2л27’п	1+ Р		/ 25 + ц У	+ (1 + Р )2
			Vн - р )

При	увеличении интенсивности помехи (р —>оо) максимум ча­
стотной	характеристики смещается в область более	низких частот,
а величина максимума увеличивается. При р > 7		максимум спек­

тральной плотности находится в нуле.

При уменьшении интенсивности помехи (р —>0) максимум спек­ тральной плотности смещается вправо и уменьшается до некоторого значения, а затем вновь увеличивается. При отсутствии случайного возмущения (р = 0) спектральная плотность превращается в 6-функ- цню в точках со = ±1/7\ В этом можно убедиться, анализируя выражения (5.59), (5.60), (5.61) при р —»0. Вычисляя неопределен­ ность в выражении (5.59) при р —>0, получаем

limS„(w)	6 W 2 б ( с о - ^ ) + б ( с о + ^ )	(5.62)
Ц->0	4лТ1

График спектральной плотности в относительных единицах при различных значениях параметра р в области положительных частот представлен на рис. 5.6. При интенсивности помехи = 0,1 и ука­ занных выше значениях параметров имеем р = 0,323. По формуле (5.60) резонансная частота а тТ = ±0,891. Таким образом, сдвиг частоты по отношению к частоте собственных автоколебаний, имею­ щим место при отсутствии шума, составляет А = +0,109.

153

Вырождение спектральной плотности в				б-функцию на		частоте
со = 1/Г означает,	что в системе при отсутствии случайных					возму­
щений существуют	автоколебания		с частотой	со =	1/Г. Чтобы		убе­
диться в этом, определим частоту			и амплитуду автоколебаний				си­
стемы с помощью гармонической линеаризации. Линеаризуя						нели­
нейность, получим следующую частотную характеристику:
сю (('со) = Г(1-р ((м):1+ 2Т0Т (ко)'- 4- Г '				(	’	(5.63)
где /ег — коэффициент		гармонической линеаризации,
		/гг = 4Ипа.				(5.64)
В этом выражении		а — амплитуда гармоники.			В соответствии

с методом гармонической линеаризации приравниваем к нулю дей­ ствительную и мнимую части характеристического уравнения и полу­ чаем два уравнения относительно частоты и амплитуды автоколеба­ ний:

— Т 0Г2со3 + Г 0со = 0;
— 2Г0Гсо2 + Akllna = 0.	(5.65)
Решая эти уравнения, получаем
о = 1/7; а = 2klTlnT0.	(5.66)

Подставляя значение амплитуды в формулу для коэффициента

гармонической линеаризации, получаем
kT = 2T jk T .	(5.67)

Сравнивая это выражение с выражением для коэффициента ста­ тистической линеаризации при р = 0, убеждаемся, что эти коэф­ фициенты совпадают. Это подтверждает известный факт, что гармо­ ническая линеаризация является частным случаем статистической линеаризации,.

Равенство коэффициентов статистической и гармонической лине­ аризации при отсутствии случайных возмущений позволяет выразить амплитуду автоколебаний через среднее квадратическое отклонение. Приравнивая коэффициенты статистической и гармонической лине­ аризации, определяем амплитуду автоколебаний как функцию среднего квадратического отклонения:

	а = Аау/]/г2л.		(5.68)
Как известно,	дисперсия	гармонического	сигнала,

тривать его как процесс со случайной фазой, распределенной в ин­ тервале 0 — 2я, связана с амплитудой сигнала соотношением

а2	=	а2/2.	(5.69)
Это выражение отличается	от	соотношения	(5.68),чтообъясн

погрешностью метода статистической линеаризации, постулирую­ щего нормальный закон распределения входного сигнала нелиней­ ности. В данном случае закон распределения гармонического сигнала

154

сильно отличается от нормального, однако различие в формулах

(5.68), (5.69) невелико.

Рассмотренный пример анализа автоколебательной системы с уче­ том случайных возмущений показывает, что нет необходимости в совместном применении статистической и гармонической линеари­ зации. Достаточно только использовать статистическую линеариза­ цию.. При совместном использовании двух линеаризаций в выходной сигнал включается гармоническая составляющая с частотой колеба­ ний. Из рис. 5.6 следует, что положение максимума спектральной плотности зависит от интенсивности помехи и не совпадает с резо­ нансной частотой без помех Поэтому детерминированная гармони­ ческая составляющая на данной частоте является фиктивной.

5.4. Ламповый генератор

Примером автоколебательной системы является генератор гар­ монических колебаний, одна из простейших схем которого пред­ ставлена на рис. 5.7. Колебательный контур включен в цепи анода. Величины сопротивлений конденсаторов Си С2 для переменной составляющей тока малы, а сопротивление R 1 велико, поэтому схема генератора может быть упрощена и представлена в виде схемы, изображенной на рис. 5.8. Эта схема составлена с учетом только пере­ менной составляющей тока.

Уравнения токов и напряжений имеют вид

		J (/, +	1
L ^ r + R	I - ±		/др - I ) d t = ETi (/);
		О	(5.70)
и = М	+	ДТ2 (0;	/ а = Su — Spu3,
+ 0

155'

где приняты следующие обозначения: L, R, С — параметры коле­ бательного контура; М — взаимная индуктивность катушек; / а — постоянный анодный ток; I — ток через индуктивность контура; i — дробовой шум; ETl — э. д. с. теплового шума сопротивления потерь R контура; Ег„— э. д. с. теплового шума активного сопро­ тивления катушки обратной связи; 5 — крутизна характеристики лампы; [} — коэффициент нелинейности; и — напряжение на сетке

лампы.

Разрешая систему уравнений (5.70) относительно напряжения, получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

- g ------к - g - + + i - V2 4 г Ф («) = “ о т (5-71)

где
к =	= со5 (MS-Я С );		« 5 = -^ -;	у2 =	3co^MSp; (5.72)
	м_	d2ET	9 di	d-ET 2		+
£ (0 =	- ^ L	dt-		d?
	+	dET.	0)qEt			(5.73)
		dt

Нелинейность имеет вид кубической параболы ср (и) = и3. Вследствие малости параметра 0 можно считать, что MS ^ RC,

поэтому приближенно индуктивность М = RC/S. С учетом этого случайное возмущение (5.73) можно представить в следующем виде:

Е (/) = —4	PC	d-ET	р	dinrt
	LS	dt2	' SL	dt “г
ш0
+				(5.74)

Для выполнения расчетов возмущение, описываемое формулой (5.74), можно рассматривать как белый шум с постоянной спектраль­ ной плотностью SE (со0). Для вычисления данной величины примем, что

(со) = 2е/0Г2;	STi (со) =	4kTR\
ST! =	4kTRc,	(5.75)

где Rc — сопротивление цепи обратной связи; е — заряд электрона;

Г — коэффициент депрессии	дробового	шума; k — постоянная
Больцмана; Т — температура	резистора,	одинаковая для R и Rc.

В соответствии с формулой (5.74) спектральная плотность суммарного возмущения

SE (со) = bQ+ &2со2 + Ь4со4,

(5.76)

156

где

			b0 =	4kTRc\
b-2	1	R2	-2сой	4A77?C+ 2е/0Г2 ( - ^ - ) 21;
	9	L2
	“о			(5.77)

4£7V?c + 4jfe77?(-g-)2' .

Полагая в уравнении (5.76) со = со0, получаем следующее выра­ жение для уровня спектральной плотности:

$е К ) —	г 4kTRcR*		4kTR	jj2Q2 _j_	qT^R^C	(5.78)
	9 г 9	I	S-L2	‘	S*L
	“oL~

Приближенно можно считать, что отношение сопротивлений

	Rc___RC		(5.79)
	R ~ SL	-

Подставляя значение R c из данного равенства в первый член фор­ мулы (5.78), получаем

	SEК )	4kTR	Г,		Q2	e!aT-Q- I	(5.80)
		SZQ	L	"Г	5Z	2kTS J ’
где Q =	Lu>0/R — добротность		контура; Z = L/7?C — резонансное
сопротивление контура. При Q =				100, / 0 =		10 мА, S = 3 мА-В-1,
Г2 = 0,2,	Т = 300° К соотношение				членов	в квадратной скобке

выражения (5.80) составляет 1 : 333 : 1,3-10s. Следовательно, основ­ ной вклад в спектральную плотность вносит дробовой шум. Если учитывать только дробовой шум, то уровень спектральной плот­ ности составляет SE (со0) = 2eI0r 2R/S2Z ^ 7- 10~21В2-с.

Проведем статистическое исследование лампового генератора с помощью метода статистической линеаризации. В рассматриваемом случае математическое ожидание входного сигнала равно нулю, а нелинейность нечетная и симметричная. Поэтому математическое ожидание напряжения на сетке лампы также равно нулю (напомним, что учитываются только переменные составляющие). С учетом равен­ ства нулю математического ожидания входного сигнала нелиней­ ности представим ее уравнение разложением

ср (и) — k xii,		(5.81)
где k\ = За2 — коэффициент статистической	линеаризации	(при­
ложение 3, нелинейность 6); а~и — дисперсия напряжения.
Подставляя выражение (5.81) в уравнение	(5.71), приведем его
к следующему виду:
[р~ + (Т2°н — V.) р + щ] и =	®1Е,	(5.82)
где р = d/dt.

157

Вычислим дисперсию напряжения по известной формуле

	а~„ — щБе	</й>	(5.83)
		(у"0н —* ) ' ш + “ о |2'
	| (im)" +

В результате вычислений с использованием таблицы интегралов приложения 2 получаем квадратное уравнение относительно диспер­ сии. Решая это уравнение, получаем

а" = "2у^^ ^	^ ^	(5.84)
где введены параметры
(.1 = 2соо/х2;	v — 2я5яу2.	(5.85)

Спектральная плотность переменного напряжения на сетке лампы

определяется формулой
Su (co) = |Ф M | 2Se,	(5.86)
где частотная характеристика линеаризованной системы
Ф (tco) = ___________ “ о___________	(5.87)
(ш)'2 + (у2а2 —к) /со + С05

Вычисляя квадрат модуля частотной характеристики и подстав­ ляя значение дисперсии напряжения в соответствии с формулой (5.86), получаем следующее выражение для спектральной плотности сеточ­ ного напряжения генератора:

		2 я у 3 / с о \ 4 2/ ш	1		(5.88)
	5 Ы(<*>)		1	(1 -1 Л + vp)2
					+ 1
			4ц

График этой зависимо­ сти при j . i = l и v = var представлен на рис. 5.9. Спектральная плотность имеет максимумы на ча­ стотах ± ыт. Дифферен­ цируя спектральную плот­ ность по частоте, прирав­ нивая производную к ну­ лю и решая уравнение от­ носительно частоты экст-

Рис. 5.9. График спектральной плот­ ности сеточного напряжения гене­ ратора

158

ремума, получаем
± Ш0 ] / 1—	(1 — / 1 + Vfj,)2	V < 4 (1 — У |р ) *
со,,			(5.89)
	0	^	4 ( ' - у г ) '
Максимальная величина спектральной			плотности
Sa {®т)	V		(5.90)
	2яу3
			V 1+ vp)2 2

Естественную ширину спектральной линии генератора, обу­ словленную собственными шумами, можно определить, приравни­ вая спектральную плотность к определенной величине. Удобно в ка­ честве такой величины рассматривать половину максимального зна­ чения спектральной плотности. Приравнивая выражение (5.88) к половине максимального значения Su (со,,,), получаем биквадратное уравнение, определяющее четыре значения частоты, соответствую­ щие точкам пересечения кривой спектральной плотности с прямой, параллельной оси абсцисс:

г4 — 2z2	- 1	+
+ 2	= 0,	(5.91)

где z = co/co0.

Поскольку спектральная плотность симметрична относительно оси ординат, то для определения уширения спектральной линии

генератора достаточно		рассмотреть	только	разность		двух корней
		AQ = z2— z±=
= l / " 1 - ' i (l	+	v^ 2+ V	1	И 1 — Z	1 +		vn)2]'
— If	/ l	+ v|x)2— ] / ! — [■! —		(1— Z l		+	vji)2] 2.
							(5.92)

При уменьшении интенсивности помехи резонансная частота спектральной плотности стремится к частоте со0, а высота пика воз­ растает. Спектральная плотность имеет вид узкого пика с пьедеста­ лом небольшого уровня. При увеличении интенсивности шума ре­ зонансная частота колебаний генератора отклоняется в сторону меньших частот от частоты <в0. Одновременно при этом увеличи­ вается ширина спектральной линии. При отсутствии шума спектраль­ ная плотность вырождается в 8-функцию на частотах ±со0.

159

5 .5 . С истем а ст а б и л и за ц и и угл а крена

Линейная модель системы стабилизации летательного аппарата по крену была рассмотрена в п. 3.5. В действительности углы откло­ нения элеронов всегда ограничены. Кроме того, вследствие конечной мощности привода ограничена также максимальная скорость вра­ щения элеронов. Наличие ограничений приводит к необходимости применения нелинейной модели, что особенно существенно при боль­ ших возмущающих моментах, действующих на летательный аппарат. Расчет системы стабилизации при использовании линейной модели в этом случае значительно отличается от результатов анализа нели­ нейной системы.

Рассмотрим анализ системы стабилизации летательного аппарата по крену при учете только ограничения по углу отклонения элеронов. Движение летательного аппарата по углу крена у описывается урав­ нением

У + ахху	= — ахэ ср (б) + X (0,	(5.93)
где ф (б) — характеристика	нелинейного элемента,	учитывающая
ограничение по углу отклонения элеронов.
	5 < ~ d ,
Ф(6)	| 6 | < d ,	(5.94)

/8 > d .

Вуравнении (5.93) ахх, ахъ — коэффициенты, характеризующие динамические свойства объекта; X (t) — внешнее возмущение в еди­ ницах углового ускорения, имеющее нулевое математическое ожи­ дание и постоянную спектральную плотность Sx.

Всостав системы стабилизации входят измерители угла крена и его производной, усилители мощности и привод. Динамические свойства всех перечисленных элементов достаточно хорошо описы­ ваются уравнением

Гб + б = /е6 (кгу + k 2y),	. (5.95)
где Г, /еб — параметры привода; k x, k 2— параметры	измерителей

и усилителей. Структурная схема системы стабилизации приведена на рис. 5.10.

Рис. 5.10. ьСхсма системы стабилизации крена

160