книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

6.3. Метод передаточных функций

Условия применения метода передаточных функций для дискрет­ ных систем такие же, как и для непрерывных. Дискретная система должна быть стационарной и устойчивой, действующие возмущения стационарными.

Прежде всего рассмотрим дискретную одномерную линейную систему (рис. 6.1), состоящую из линейных дискретных и непрерыв­ ных частей, на вход которой действует непрерывный сигнал U (t), имеющий в дискретные моменты времени t = НТП значения U (к)

при /г = 0, 1,2, . . .:

U (Л) = ,пи (/г) + N (/г),

где ти (h) — полезный неслучайный сигнал; N (/г) — случайная стационарная помеха, имеющая постоянное математическое ожидание. При этом будем считать, что дискретная часть включает импульсный элемент или цифровое устройство с входными и выходными преобра­ зователями.

В установившемся режиме выходной сигнал дискретной стацио­ нарной устойчивой системы в общем случае для непрерывного мо­ мента времени t = НТП+ гТп, 0 ^ е ^ 1 выражается формулой

(см. п. 1.5)

СО
Y(h, е )= 2 и»(/, е) и (/г — /),	(6.11)
1=0

где w (/, е) — весовая функция (весовые коэффициенты) дискретной стационарной системы для смещенного (непрерывного) момента вре­ мени.

Предположим, что задана идеальная линейная операция над входным полезным сигналом mu (t), характеризующая желаемый (теоретический) выходной сигнал i/T(t), t — hTn\

Ут(/г) = L [mu Щ = £ - L Ф<Л) (0) m(ur) (h),	(6.12)
r=0 ri

<D‘r) (0) — г-я производная передаточной функции идеальной системы, в частых случаях Ф|0) = 1, ФтГ) = 0, г =j=0 для следящей системы,

Рис. 6.1. Структурная схема дискретно-непрерывной системы

171

ср'11 =	1, Ф^г) =	0, г Ф 1 для дифференцирующей системы, Ф|0)	= 1,
фф> =	1, ф<г) =	0, г =j=0; 1 для упреждающей системы, т\Р —	про­

изводные /'-го порядка функции ти (/).

В соответствии с формулой (2.1) мгновенная ошибка дискретной

системы
Е (/г, е) = У (/г, е) — уТ (/г, е),	(6.13)

где Y (/г, е) и ут (/г, е) определены формулами (6.11) и (6.12) соот­ ветственно.

Применив операцию математического ожидания к выражениям (6.11) и (6.13), получим математические ожидания выходной перемен­ ной и ошибки

гпу (/г, е) =	Е w (/,	е) [т„ (/г— 1) -f mjV];	(6.14)
	1=0
mE(/г, е)=	(/г, е) —	£ тг фтГ) (0) »1,(Г) (/г).	(6.15)

Полезный сигнал ши (/) обычно является медленно меняющейся функцией времени, и его можно представить в виде выражения (2.27). Для дискретного аргумента формула (2.27) принимает вид

СО

пги (/г — /) = ^ (—1)Гyj- m(ur) (Л).	(6.16)
г^О

Подставляя выражение (6.16) в формулы (6.14) и (6.15), получим

	со
my (h, е )=	] § ( —l)r 7 j- \ir (г) m{ur) (h) + mNn0(e);				(6.17)
mE(h, e )= £		С г ф т ^ М + 'ЯлдоДе),			(6.18)
	л=0
где введены обозначения
			СО
	!д (е) =		£	^ (*,е);
			1=0
	(/• =	0 , 1 , 2 , . . . )			(6.19)
е д	= ( - 1 ) г ^ г (рл(е)-Ф <0 (0));
	(/• =	0,	1,	. . ., п)

Сл(е) = ( - 1 )'^ - М е ) .

(г = я + 1, я + 2, . . .)

172

Величины Сг по аналогии с непрерывными системами называются коэффициентами ошибок [44, 50, 73]. Входящие в выражения (6.19) моменты весовой функции рг (е) выражаются через передаточную функцию дискретной системы.

Если функция дискретной физической возможной системы свя­ зана с весовой функцией формулой (1.57), то для вычисления момен­

тов р,г (е) могут быть использованы формулы			[44, 73 ]
14 (е) =	'с1гФ (s,	е)
	dsr	s=0
(г = 0, 1, 2, . . .)			( 6.20)

Эти формулы могут быть переписаны в другой форме, более удоб­ ной для вычислений, если учесть формулы (1.60) [44, 73]:

р0(8) = ¥ (г,		е) |г=1 =		4я (1,	8);
14 (е) =	[Тпг ^ И	- ] г=1 = V			(1,	8);
14 (в) = [ Пг 2		+ Я *			г=1 =
= T l Y ( 1,		е) +	Г -¥ '(1,		е);	(6.21)
.. / „ \ _	42¥ (г, е)		| гр	,d3X±¥ (г, е)		,
М-з (в) —	[7 п2 -------------Г 1			п2-------------Г
I ^3,d¥(z, е)		z=i = t I Y ( 1, в) +
п	[dz
+	П [Т '(1 ,	8) +	Г (1 , В)].
Передаточная функция Ф (s,		е) или ¥ (г,			е), г = еsT"определяет?
ся по обычным правилам (см. п.		1.6),	если заданы разностные уравне­

ния всей системы или передаточные функции отдельных ее частей. Вычитая почленно выражение (6.14) из выражения (6.11) и (6.15)

из (6.13) с учетом формулы (6.12) для случайной составляющей вы­ ходной переменной и ошибки системы, получим зависимость

СО
Е° (Л, е) = У° (/г, в) = 2	ш'(/, в) № (/г— /),	(6.22)
( = 0	'

где № (/г — /) — дискретный случайный процесс на входе системы. Представим центрированную дискретную случайную функцию

№ (/г— /) в интегральной канонической форме [59]:

Я - "

№ (h — l)= J	: . . (6.23)
Л
~4Г
'(ft — I = 0; ±1,	. . .)

173

где Vd (со) — белый шум с интенсивностью, равной спектральной

плотности S°n (со) стационарной случайной последовательности

№ ( h — l).

Подставляя выражение (6.23) в формулу (6.22) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

Я

т

У0 (h, е) =	J	Vd (со) Ф (ко, е) eUo/lT"dco,	(6.24)
	Я
	~1тм~
где введено обозначение
ф ((‘со,	е) =	цу (/, е) е ш,тп-	(6.24)
		1=0

частотная характеристика дискретной системы. Далее, пользуясь общим правилом определения дисперсии случайной величины, вы­ числим

П	П
Dy = J	j Ф (ко, е) Ф (—/со", е) k Vd(со — со') е,А<(0~ш,) dcoс/со'.

(6.25)

Но корреляционная функция белого шума Vd (со) имеет вид

kVd(со — со’) = SdN б (со — со ).

Подставляя это выражение для корреляционной функции в фор­ мулу (6.25), получим

Я

Тп
Dy = J |Ф (/со, е) f Sn (со) dco.	(6.26)
я

Для вычисления интеграла в формуле (6.26) выполним некоторые

преобразования. Прежде	всего	перейдем к переменной	z = еги7п
в формуле (6.26):
Dy = 4 -	ф | Т	(г, е) |2 vdN (z) 4 - dz,	(6.27)
| г |=1
где учтена формула (1.60) и введено обозначение
y%(z) = ± S dN ( - ~ \ n z ) .			(6.28)

174

Интегрирование в формуле (6.27) осуществляется вдоль единич­ ной окружности. Чтобы свести этот интеграл к табличному, проведем дальнейшую замену переменных z на w по известной из теории функ­

ций комплексного переменного формуле

1+ W

Z = -1г—-1—W .

При этом окружность единичного радиуса, по которой осуществ­ ляется интегрирование по z, превращается в мнимую ось, так как

при z =^е'шГп переменная

w —					sC	Я )
а формула (6.27) принимает вид
D U =	-	/со		9NКИ	8)Г dw,
		f	J I				(6.29)
где							(6.30)
V (w, е) = ¥			е) ,	pdN(ш) = vdN ( - Щ ) ■
Заменив w = tg	в	выражении		(6.29),	окончательно получим
		СО
Dy =		J	|Y*(i£, е	) ^ ®	^	d\.	(6.31)

Функции ¥* и рм являются дробно-рациональными относительно переменной £, а их коэффициенты — действительными числами. В этом случае подынтегральное выражение в формуле (6.31) может быть представлено в следующем виде:

	gk (iI)			(6.32)
	hk № hk(—fg) ’
где
1ц (г1) — ао (%)k +	ai (*’?)* 1 +	*• • +	ak\
gk № = b0 т - к- г +	b, (ig)2*-4+	• • • +	bk. 1.

В результате формула (6.26) приводится к известным уже выра­

жениям (2.46):.
gk (tj)	d£.	(6.33)
D.. = 2л/Му ' . = Т г 1 hk (i£) A* (— *‘6)

Эти интегралы вычисляют с помощью таблиц, приведенных в при­ ложении 2.

Для определения вероятностных характеристик ошибок на каж­ дом выходе многомерной линейной дискретной системы, имеющей несколько входов и выходов, служат формулы, аналогичные форму­ лам (6.17), (6.23). При этом необходимо учитывать реакции на рас­ сматриваемом выходе от всех входных сигналов.

175

Перейдем к анализу нелинейной дискретной системы. Рассмотрим одномерную стационарную дискретно-непрерывную систему, имею­ щую дискретные части с передаточными функциями г1гд1 (г), Ч'д2 (г), непрерывную часть с передаточной функцией гРи (г) и одну безынер­ ционную нечетную нелинейность ср в непрерывной части, как изо­ бражено на рис. 6.2. Входной сигнал системы U (t) имеет полезную неслучайную составляющую ти (t) и случайную стационарную ад­ дитивную помеху N (/). Для дискретных моментов времени t = hTn, h = 0 , 1 , . . . входной сигнал

U (/г) = ти (/г) + N (/г).

Пусть идеальная операция L, характеризующая желаемый вы­ ходной сигнал уТ (/г, е), в общем случае для непрерывного выхода имеет вид выражения (6.12). Мгновенная ошибка определяется фор­ мулой (6.13).

Для анализа дискретной нелинейной системы применим метод статистической линеаризации. В рассматриваемом случае на основа­ нии формул, приведенных в п. 1.8, нечетную нелинейность предста­

вим в следующем виде:
Ф W = ka (tnx, Dx) + kx(mx, Dx) X \	(6.34)

После такой замены нелинейности рассматриваемая дискретная система формально может быть описана линейными разностными урав­ нениями и охарактеризована двумя структурными схемами по отно­ шению к среднему и случайному сигналам (рис. 6.3). В установив­ шемся режиме в стационарной системе, имеющей необходимый поря­ док астатизма, в дискретные моменты времени величины пгх и Dx являются постоянными. В этом случае рассматриваемая дискретная система характеризуется стационарными весовыми и передаточными функциями. Пользуясь соответствующими структурными схемами (рис. 6.3), определяем передаточные функции дискретных систем при е = 0 от входа U до двух выходов X и Y для математического ожидания и флуктуирующей центрированной составляющей. Эти передаточные функцииимеют вид соответственно: для пгх и ту

Ч'л-о (2) =	1+	Тд1 (г) Удг (3 У (г) k0 (тх, Dx) ’	(6 ‘35)
ш / . Ч _	! +	ФД1 (г) Ф„ (г) к0 (тх, Рх)	(6.36)
у0 Кг) ~		Тдг (2) Фд2(2) Фн (г) ('«*. Dx) '

Рис. 6.2. Нелинейная дискретно-непрерывная система

176

и для Х°,		7°	ТД1
		(*) = !+ *				(6.37)
			Д 1 (г) '^ Д 2 (2)	(г) k1 (Wjj, ОдД.) ’
			Тдг (2)	Т„ (г)	Д ’	(6.38)
где z =	sГ„
	eJ
Для	определения математических ожида				д. и ту	получаем
формулы,		аналогичные выражениям (6.17):

CD

>пх = 2		^ Т Г	I1" " 1'0 (/г) 4		о .
					Цо.1->
	г=О
					0
где	г
о	^Чо(е5?~п)		.0	/Уио (е Гп)
Цг.с	dsr	s= (f •И-гу =		dsr	s=0
Пусть сг — коэффициенты			ошибок,	которые	в данном
вычисляют по формулам

(6.39)

(6.40)

случае

сг = (	7 f ^Lr//	ctr ;
(г =	0, 1, ....	л)
		(6.41)
Сг = {— 1)гу г Л
(г =	л + 1 , ...)•

Ф

Рис. 6.3. Структурные схемы линеаризованной	системы:
а — для математического ожидания; б — для случайной составляющей
12 В. С. Пугачев	177

Математическое ожидание ошибки тЕ выражается зависимостью, аналогичной формуле (6.18):

СО

mB = crm(r) (h) -f /ПдгЦо^-

r=0

Дисперсии Dx, Dy = DE определяются формулами, ными формуле (6.31):

00
2	4 ;
{ h r;, ((g)iV v№ )
1 +	I 2

— со

(6.42)

аналогич­

(6.43)

00
2	dl,	(6.44)
\ I 'IV № Г PN № ■1+ fe2
— со
где
Ч*х1(11) = у х1( ± ± ^ у у

- Щ г );

p A f ( ' i ) = - f ^ S V ( l r 7 l n 1 — i \ ) ’

Sjv — спектральная плотность дискретного стационарного случай­ ного процесса №.

Интегралы в формулах (6.43) и (6.44) вычисляют с помощью таб­ лиц и выражают через параметры дискретной системы и коэффи­ циент (пгх, Dx).

Формулы (6.39) и (6.43) являются уравнениями, связывающими
величины тх и Dx. Присоединяя к ним выражения для k 0	{тх, Dx)
и Aj (rnx, Dx) и решая совместно методом последовательных	прибли­

жений или графически, определяем значения тх, Dx,			k 0, kv После
этого по	формулам (6.39), (6.40), (6.44)	вычисляют	величины ту,
т Е, Dy,	De .	дискретных	стационарных
Изложенный метод расчета точности

нелинейных систем обобщается на более сложные системы, имеющие несколько нелинейностей. При этом, как и для непрерывных систем (см. п. 2.4), объем вычислений возрастает пропорционально числу нелинейностей.

6.4. Метод интегрирования уравнений системы

Рассмотренный ранее метод интегрирования уравнений применим также к дискретным нестационарным линейным системам.

Одномерная дискретная линейная нестационарная система харак­

теризуется разностными уравнениями вида
F (А, /г) Г (/г, е) — Я (A, h) X (/г),	(6.45)

178

где

F (Л, h) = Ц аг (/г) А/,;

Г=1

m

Я (А, /г) = 2 6Г(/г) А*;

Г=1

А/, — разностный оператор г -г о порядка.

Для применения метода необходимо представить случайное воз­ мущение X (h) разложением по случайным параметрам подобно вы­ ражению (2.51):

N
X (Л) = тк(h) + Ц v,x, (/г).	(6.46)
/=1

Кроме того, должны быть заданы	начальные	математические ожи­
дания и дисперсии для переменной	Y (0) и /г —	1 разностей.
Как и в п. 2.5, искомую переменную Y отыскиваем в форме
К Сh, в) = ту (/г, е) + £ У,у, (А, е).			(6.47)
	l=i

Применяя принцип суперпозиции и используя выкладки, ана­ логичные приведенным в п. 2.5 для определения ту (Л, е) и коорди­ натных функций ijj (h, е). получаем уравнения

F (A, h) ту (h, е)	=	Я (A,	/i) m* (Я);	(6.48)
К (А, Л) у/ (h, е) =	Я (А, Л) х,- {К).			(6.49)
(/ = 1, •	•	Я)
Уравнения (6.48) и (6.49) аналогичны исходному уравнению (6.45).
Следовательно, для определения	функций		ту (h, е)	и y-t (h,	е),
входящих в формулу (6.47), в этом случае также необходимо N +					1

раз решить исходную систему уравнений при определенных началь­ ных условиях.

Уравнение (6.48) следует интегрировать при заданных начальных условиях для переменной ту (0) и ее п — 1 разности. При интегри­ ровании уравнения (6.49) начальные условия могут быть учтены

аналогично тому, как это сделано в п.		2.5.	В результате	уравнение
(6.49) для определения функции	у х (/г,	е)	необходимо интегрировать
при ненулевых начальных условиях
Re А'У1(0) = У	;	im Агу, (0) = 0,		(6.50)
(г = 0 , 1, . . ., п — 1)

где Dj = М [К?] — дисперсия первого случайного коэффициента разложения (6.46); Ядг^(0)— дисперсия г-ой разности функции Y

в	начальный момент. При интегрировании	остальных уравнений
(/	ф 1) начальные условия следует полагать	равными нулю.

12*

179.

После решения разностных уравнений (6.48) и (6.49) определяют т.и (/г, е) и г/у- (/г, е) для любого момента времени t — (h + в) Тп,

h = 0, 1, . . ., О < в <; 1.

Корреляционную функцию переменной Y (/г, в) вычисляют по следующей формуле:

N N

Ку ( К И,	1и, в2) =	£	£	KiVyj(hi,	&i)yv (h2, е2),		(6.51)
		/=1 V=1
где K/v = М [ K / V v	1. При /г2 =		/г15	е2 = B j	и з	формулы (6.51) по­
лучаем дисперсию переменной			Y (А, е).			X (/г) представлена
В частном случае, если случайная функция
каноническим разложением,		из выражения			(6.51) получаем
Ку (hi, еь 1ц, е2)		=	N		_		(6.52)
			У, Djtjj (Ль ех) г/„ (/г2, е2) ,

где Dj = М [К/].

Если для рассматриваемой дискретной системы задана некоторая идеальная линейная операция преобразования полезного сигнала

tnx (li) вида
Ут(h, е) = L (А, /г, в) пгх (/г),	(6.53)

то ошибка в системе определяется формулой (2.62). Для математи­ ческого ожидания и дисперсии ошибки дискретной системы спра­ ведливы формулы, рассмотренные в п. 2.5 и записанные для дискрет­ ного аргумента.

Так решается основная задача оценки точности дискретной одно­ мерной линейной системы при использовании метода интегрирова­ ния уравнений состояния.

Рассмотрим нелинейные системы. Уравнение одномерной дискрет­ ной нелинейной системы, аналогичное выражению (4.40), имеет вид

F (А, К) Y (Л, в) + R (А, К) <p IY (/г, в) ] = Я (A, h) X (/г), (6.54)

где ф — нелинейная характеристика.

Для уравнения (2.39) должны быть заданы начальные условия такие же, как для уравнения (6.45).

Случайное возмущение необходимо представить в виде выраже­

ния (2.33),	а решение для	Y (/г, в) отыскивается в форме
		N
Y (h,	в) = my (h, в) +	К0 (/г, в); К0 (/г, в) = £ V,y, (А, в). (6.55)
		/=1

Для применения излагаемого метода нелинейность ф необходимо линеаризовать любым способом (см. п. 1.8). Рассмотрим более общий случай статистической линеаризации нелинейности для дискретной переменной:

Ф [Y (h, в)) = ф0 + k iY 0 (h, в).

(6.56)

Подставляя выражение (6.56) в уравнение (6.54) и пользуясь принципом суперпозиции, с учетом формулы (6.55) получим уравне­

180