книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

90

Глава 2

и запишем выражение для квадрата показателя прелом­ ления

п2 7?.2-}-2r]HoCOs (Р - г—j- ср)= ]—Де. (2.6.4)

Приведенное волновое уравнение (2.2.2) имеет вид J)

V2г|) /г/г„ф= 0.

(2.6.5)

Коэффициент к0 — постоянная распространения свобод­ ного пространства

А-0 —со У Бо(-10 ■	(2.6.6)
Пусть падает плоская волна вида
ф,-= /1е-’кг г	(2.6.7)
при k-i — п0к0. Предполагается, что область	вне объема

с синусоидально модулированным показателем преломле-

Ф и г. 2.6.1. Схема дифракции Брэгга.

Заштрихованная полоса показывает область с периодически меняющимся показателем преломления, к ^ п ks — векторы распространения падающей и рас­

сеянной волн, вектор В нормален плоскостям постоянных значений показателя преломления.

ния имеет среднее значение показателя преломления п0. Это позволяет избежать ненужных усложнений, возникаго-

Э Скалярная полповая теория, которая используется здесь, применима непосредственно к волновому нолю, которое удовлетво­ ряет условию E-fS = 0. Для других поляризаций скалярная теория не обязательно приведет к тому же результату, что и векторная теория.

Теория дифракции

91

щих из-за отражения и преломления волн па границе раздела двух сред. Эти явления на плоской границе раз­ дела диэлектриков уже были рассмотрены в разд. 1.6.

Кроме падающей волны, имеется рассеянная волна, которую представим в виде интеграла Фурье

ф ,= j В (ks) e~iks'rd3ks.	(2.6.8)
Здесь cZ3k4. является сокращенной записью	произведе­
ния:	(2.6.9)
cZ3ks= dksx dks„ dksz.

Аргумент k4 функции В представляет в сокращенном виде ее зависимость от трех переменных ksx, ksy, ksz. Интеграл берется по всем трем переменным от — оо до + оо. Выра­ жение (2.6.8) отличается от решения волнового уравне­ ния (1.3.23) . Здесь мы считаем, что все три компоненты вектора к4 изменяются независимо во всей области интег­ рирования. Все ограничения, которые волновое уравнение накладывает на функцию, должны быть выражены с по­ мощью функциональной зависимости В.

Полное поле является суммой падающей и отраженной воли:

ф = Фг +	Ф*.	(2.6.10)
Подставим выражения (2.6.4),	(2.6.7), (2.6.8) и	(2.6.10)
в приведенное волновое уравнение (2.6.5)
(n-k;- Щ) Ae -iki-r + kzklAe~iki’г+
+ j ( n X - k l ) £ (k s) e- ikV rd3ks+
+ j Агк20В (ks) e~ikV r d3k4 = 0.		(2.6.11)

Падающая волна является решением невозмущенного волнового уравнения. Следовательно, первый член в урав­ нении (2.6.11) исключается. Пока уравнение (2.6.11) является точным. Однако мы хотпм решить эту задачу методом теории возмущений ц ограничиться приближением первого порядка. Поскольку Де и В являются величина­ ми, малыми в первом порядке, можно пренебречь их произведением и опустить последний член в уравнении (2.6.11). Умножим оставшиеся слагаемые на exp(ik(-r)

92

Глава 2

п проинтегрируем по всему пространству. Интеграл от экспоненциальной функции сводится в результате к б-функщш

j ei(k's-ks)-rd3Y==

	= (2л)3 б (к$’х— к1х) б (k'sy— ksv) б ( /4 — ksz)		-
		= (2я)3б (к ;-к ,).	(2.6.12)
Здесь	б (к' — ks) является	сокращенным обозначением
трех.мерной б-фуикцни.
Используя указанную выше п]юцедуру, получим из
уравнения (2.6.11)
^ (к,):	1\НАпа
	(2я)з (A-* — iigfrg) X
	X J (вй№в+Р- t,)Tl*] +	e[(^ -P -b1)T-+])d3r>	(2.6.13)

куда подставлено выражение для Ае из (2.6.4). Поскольку Де обращается в нуль вне заштрихованного на фиг. 2.6.1 объема, то интегрирование в (2.6.13) распространяется только на область взаимодействия, имеющую объем V. Под знаком интеграла стоят осциллирующие функции, которые дают существенный вклад в интеграл, если их аргументы обращаются в нуль. Легко видеть, что это имеет место при

к, = к, ± р.

(2.6.14)

Это важное соотношение известно как условие Брэгга. Предполагается, что объем взаимодействия простирается до бесконечности в направлениях х и у. Следовательно, интегрирование по х и у приводит к 5-функциям, так что выражение (2.6.13) можно записать в виде

В (k,)= (*S, + P , - kix) б (А,„+ Р„ ~ h v) X

х sin (fe^ ~ 7,")d Л*+б {квх- р,-/с,-,) б (ksy- Ри- к 1в) х

	hsz "1' Рг — Kiz
	—sin (/■•« — |Л—fcjz) d	'*] . (2.6.15)
	ksz— Рг—kiz

Теория дифракции

93

Рассеянную волну можно получить нз выражений (2.6.8)

п (2.6.15)

a|)s=:ipi0/t'i;/l	1"е{фе~‘ ('<к-5к-1-йуи) х
+ о о				sin (fcsz + tk— kiz) dclksz-]-
X	е	'hs*z
	I	V4		ksz+ Pz— kiz		z
				+“	-ife
\	е - г ф e - i	(h^x -l -l^y'ii) (			e ----- T j p r X
'				J	kls+>2 — noh
			X sin (fc.z-P»~friz)			(2.6.16)
				ksz	Pz "zz	J
Верхние индексы «-)-»			и «—» у компонент ks указывают,

что должны быть подставлены значения ks, соответствую­ щие знакам плюс и минус в выражении (2.6.14). Таким образом, компоненты х и у вектора ks определяются выра­ жением (2.6.14), тогда как его z-компонента произвольна.

Интегралы в (2.6.16) легко могут быть сведены к интег­ ралам по контуру. Путь интегрирования проходит вдоль реальной оси ksz от — оо до + оо. Каждый интеграл имеет два полюса, лежащие на пути интегрирования. Однако эти полюсы можно сместить с реальной оси на комплекс­ ную плоскость, используя физические аргументы. Мы все время предполагали, что показатель преломления — ве­ личина вещественная. Однако это идеализация. Все реальные материалы ослабляют электромагнитные волны, распространяющиеся в них. Можно не вводить предполо­ жения об идеальном диэлектрике без потерь. Пусть пло­ ская волна распространяется в идеальном диэлектрике

вдоль	осп z.	При выборе зависимости поля от времени
в виде	(2.2.1)	можно записать плоскую	волну в виде
		i|)= i|i0e_i'!oftoz.	(2.6.17)

В диэлектрическом материале с потерями волна будет ослабляться. Можно описать затухающую волну, введя комплексную диэлектрическую проницаемость

п0 = ?гг— шг.

(2.6.18)

Для положительных значений пГ и нг формула (2.6.17) описывает плоскую волну, распространяющуюся в поло-

94

Глава 2

жителыкш направления оси г и экспоненциально зату­ хающую но закону

а|>— e~v',1о2ч()0е“

(2.6.19)

Эти рассуждения показывают, как модифицировать выра­ жение (2.6.16), чтобы учесть небольшие потерн в диэлект­ рике. В конце вычислений мы опять положим мнимую часть диэлектрической проницаемости равной пулю.

Подстановка выражения (2.6.18) для н0 в (2.6.16) сме­ щает полюсы подынтегрального выражения с реальной осп. Путь интегрирования не проходит теперь ни через один полюс, так что интегралы не имеют особенностей и легко могут быть вычислены. Опуская верхние индексы у ks, можно вычислить оба интеграла одновременно. Рассмотрим знаменатель

D --: ks nakQ k&z (HqA„ h zx	Дsj/)—-
— (ksz — k'sz) (ksz-{-k'sz),	(2.6.20)

где

k'^Vnlkl-kU-kly. (2.6. 21)

Мы считаем, что 1, п можем записать в хорошем приближении

	ksz—]/ п'гДо Д'г.х	• kSy	in (■«r/'d	( 2. 6. 22)
			пукц к$х
				A‘sj

Величину nt можно взять как угодно малой. В пределе при Hi —>0 выражение (2.6.22) становится точным. Путь интегрирования и положение полюсов схематически пока­ заны на фиг. 2.6.2. Пупктирпые кривые изображают две бесконечно большие полуокружности, которые замыкают путь интегрирования вдоль реальной осп.

Нас интересуют лишь значения ъ вне трехмерной дифракционной решетки. Следовательно, достаточно огра­ ничиться случаем

| z | > cZ.

(2.6.23)

В' области, удовлетворяющей соотношению (2.6.23), экс­ поненциальный множитель ехр (—ikszz) определяет схо­ дящийся либо расходящийся характер подынтегрального выражения. Необходимо разграничить эти два случая.

Теория дифракции

05

Сначала предположим, что 2 положительно:

z > d.

(2.6.24)

Вэтом случае экспоненциальный множитель обращается

внуль на кривой С2, показанной на фиг. 2.6.2. Добавле­

ние интегрирования вдоль С2 не изменит величины интег-

Ф и г. 2.6.2. Путь интегрирования в комплексной плоскости ks,-.

рала. Так как нет других полюсов, кроме указанного, можно использовать интегральную теорему Коши, чтобы стянуть путь интегрирования в бесконечно малую окруж­ ность. Тогда значение пптеграла равно вычету. Пусть величина z отрицательна:

z < - d .

(2.6.25)

Путь интегрирования вдоль С{ не дает вклада по анало­ гичным причинам. Замена интегралов в (2.6.16) контур­ ными приводит к следующему результату:

Ф«= — ЩПоЩА ["■	„_ii,S.->.r sin fe r + pz— kiz)d
		k $z —f—Pz— k jz
	£__ Ф e - i k ‘+ )-r s ' n C'sz		Pz	k iz) d	| ^ <2 g 2 6 )
	h'sz	ksz	Px	Jl'iz	J

Величина ksz, входящая в выражение (2.6.26), задается формулой (2.6.21). Штрих в индексе отброшен для случая сходимости. Выражение (2.6.26) является решением

% Глава 2

дифракционной задачи Брэгга в первом порядке приближе­ ния теории возмущенны.

Выражение (2.6.26) указывает на несколько интересных свойств рассеяния Брэгга, к рассмотрению которых мы перейдем.

Условие Брэгга, сформулированное соотношением (2.6.14), не удовлетворяется точно для z-компопенты этого векторного уравнения. Этот факт становится очевидным, если рассмотреть синусоидальные множители в (2.6.26). Соотношение (2.6.14) для х- и (/-компонент является точ­ ным, потому что по предположению решетка бесконечна в направлениях х и у. Устремляя d ->- оо, получим 6-функ­ ции вместо синусоидальных множителей [см. (2.3.8)], п z-компопента в условии Брэгга также становится точной. Для конечной величины d имеется небольшое отклонение от точного выполнения условия (2.6.14) для z-компонен- ты. Члены с синусоидальными функциями оказываются уменьшенными, как показано на фнг. 2.3.1. Пик увели­ чивается при возрастании d и достигает бесконечности в пределе при d —у оо. Ширина пика уменьшается по мере

увеличения его высоты. В большинстве	случаев d К
н для z-компоиеиты условие Брэгга	удовлетворяется

с хорошей точностью.

Однако мы получили, что, кроме условия Брэгга, должно удовлетворяться условие (2.6.21). Это соотноше­ ние может быть переписано в виде

(2-6.27)

Это важное соотношение устанавливает, что рассеянная волна распространяется с той же скоростью, что н падаю­ щая волна, п что обе они распространяются с фазовой скоростью плоских воли в среде с показателем преломле­ ния ?г0. Соотношение (2.6.27) н условие (2.6.14) для х- II (/-компонент определяют все компоненты вектора к„.

Рассеянная волна является плоской. Ее амплитуда определяется точностью, с которой удовлетворяется по компонентам соотношение (2.6.14), п выражается через синусоидальные функции, входящие в выражение (2.6.26). Если условие Брэгга (2.6.14) выполняется даже для z-ком- поненты, амплитуда рассеянной волны достигает макси-

	Теория дифракции	97
мума:
i|)e= -	f'SZА е - ^ (±)-г в*1*.	(2.6.28)

Амплитуда рассеянной волны, конечно, пропорциональна амплитуде падающей волны, а также изменению показа­ теля преломления г) н толщине d трехмерной решетки. Интересным обстоятельством является зависимость ампли­ туды от обратной величины ksz. При уменьшении z- kom - поненты вектора распространения амплитуда возрастает. Это можно понять, если учесть, что волна проходит боль­ шее расстояние внутри решетки, когда вектор распростра­ нения параллелен границе решетки. Чем дольше рассеян­ ная волна остается внутри решетки, тем больше опа взаи­ модействует с падающей волной и тем большая мощность может быть передана от одной волны другой. В предель­ ном случае ksz = 0 теория возмущений неприменима. Эта теория не учитывает уменьшения амплитуды падаю­ щей волны. Точная теория, развитая в разд. 2.7, учиты­ вает потери могцности.падающей волны, которые приводят к уменьшению ее амплитуды.

Условие Брэгга (2.6.14) и соотношение (2.6.27) пока­ зывают, как связаны направления падающей и рассеян­ ной воли. Оба знака в соотношении (2.6.14) допустимы, так что имеем две диаграммы, изображенные на фиг. 2.6.3 и 2.6.4. Обе диаграммы представляют собой равнобедрен­ ные треугольники. Вектор направлен перпендикулярно плоскостям постоянного показателя преломления. Падаю­ щая волна рассеивается этими плоскостями. Две диаграм­ мы получаются потому, что волна может падать на решет­ ку сверху или снизу. Существенным моментом в дифракции Брэгга является тот факт, что рассеяние пропсходит как отражение света от плоских диэлектрических поверхно­ стей. Если рассеяние имеет место, то оно происходит зер­ кально в соответствии с законом отражения света от зер­ кал. Однако условия зеркального отражения недостаточ­ но, чтобы появилась рассеянная волна. Рассеяние имеет место, если волна падает на отражающие плоскости постоянного показателя преломления под углом а/2. Этот угол легко получить из диаграмм:

	Х_	(2.6.29)
	2D '

7-087

98

Глава 2

Это соотношение также известно как условие Брэгга. Для получения правой части было использовано соотноше­ ние (2.0.2). Уже отмечалось, что условие Брэгга выпол­ няется точно, только когда толщина дифракционной решетки становится бесконечно большой. Для решетки

Ф и г. 2.6.3. Иллюстрация условия Брэгга для случаи, когда в соотиошсшш (2.6.14) используется знак минус.

Ф и г. 2.6.4. Иллюстрация условия Брэгга для случая, когда и соотношении (2.6.14) используется знак плюс.

конечной толщины условие Брэгга выполняется лишь приближенно. Этот факт можно использовать при опреде­ лении положения днфракцнонпых максимумов двумерной

Ф и г. 2.6.5. Топкая дифракцион­ ная решетка Брэгга при нормаль­ ном падении плоской волны.

фазовой решетки из законов рассеяния Брэгга. Предполо­ жим, что толщина d сравнительно мала. Тогда условие Брэгга выполняется неточно. Пусть вектор Р направлен параллельно стороне дифракционной решетки, а волна падает иа решетку перпендикулярно, как показано на фиг. 2.6.5. Условие Брэгга справедливо в этом случае только для х- и [/-компонент (фиг. 2.6.6). Конечно, длина векторов ks и кг та же, но векторная диаграмма не согла­

Теория дифракции

69

сована. Для малых углов соотношение (2.6.29) справед­ ливо приближенно, так что получаем

(2.6.30)

Это выражение идентично выражению (2.5.25) для дифракционного максимума первого порядка, полученному в разд. 2.5. Величина D в разд. 2.5 обозначалась как а.

Сравнение формул (2.6.30) и (2.5.25) выявляет важный общий момент. Вывод законов дифракции Брэгга, осно­ ванный иа теории возмущений в первом порядке, позволил

Ф и г. 2.6.6. Для тонкой дифракционной ре­ шетки условно Брэгга точно не выполняется.

получить только первый порядок интерференции трех­ мерной дифракционной решетки. Эта ситуация полностью аналогична приближению первого порядка теории дву­ мерной фазовой решетки, использование которого дало максимумы первого порядка (2.5.24). Точная теория дифракции Брэгга показывает, что имеются также высшие порядки интерференции, поэтому точное условие Брэгга должно иметь вид

к5 = кг ± ш().

(2.6.31)

Целое т указывает порядок интерференции дифракцион­ ной решетки. Требование зеркального отражения сохра­ няется. Единственная разница заключается в том, что имеется большое число возможных направлений для падаю­ щей волны, при которых возникает дифракционная кар­ тина. Однако для большинства практических приложений, таких, как голография или рассеяние света звуковыми волнами в жидкости, изменение показателя преломления г) столь незначительно, что надежно можно наблюдать толь­ ко первый порядок дифракции.

Так как теория дифракции Брэгга применима к рас­ сеянию света звуковыми волнами в жидкостях и твердых телах, ие удивительно, что наши результаты могут быть получены из квантовой теории рассеяния света фононами.