3.1.5. Моделирование длины свободного пробега

Постановка задачи. Пусть в интересующую нас область вещества, например, в Be (бериллий) попадает поток нейтронов. Задача моделирования заключается в вычислении средней длины свободного про­бега нейтронов методом статистических испытаний.

Имитационная модель. Рассмотрим метод «истории» одной частицы. Длина полного свободного пробега нейтрона — случайная величина. Закон ее распределения записывается как

, (3.12)

где s — расстояние (от предыдущего столкновения) по направлению движения нейтрона. Плотность распределения вероятности равна

. (3.13)

Рассмотрим однородную среду, т.е. случай, когда не зависит от s. Тогда длина свободного пробега  в однородной среде определяется через случайную величину , имеющую плотности распределения вероятности

, (3.14)

здесь  - макросечение однородных ядер. Метод обратных функций позволяет записать формулу для моделирования длины свободного пробега

, (3.15)

где  - эталонная случайная величина, лежащая в интервале [0, 1]. Математическое ожидание или средняя длина пробега в однородной среде.

.

Часто в качестве единичной длины используют среднюю длину свободного пробега и представляют в виде .

Метод статистических весов. Если пробег нейтрона разыгрывается внутри однородной конечной области, а возможность вылета учитывается путем изменения веса нейтрона, то формула (3.15) заменяется формулой

. (3.16)

Новый вес нейтрона равен

, (3.17)

где х — расстояние до границы области по направлению полета нейтрона.

Задания на моделирование:

1. Составить программу для определения длины свободного пробега нейтрона в бериллии. Микроскопическое сечение бериллия барн (при температуре 300° К для энергий от 0,1 до 10⁴eV). Чтобы определить число атомов Be в 1 см³, умножаем его плот­ность 1,84 г/см³ на число Авогадро 6,02- 10²³ и делим на массовое число А = 9, тогда концентрация Ве равна n=1,23 • 10²³ см ^{- 3} Вычислим макроскопическое сечение см^-1 и среднюю длину свободного пробега нейтронов в веществе бериллия= 1,3 см.

2. Провести моделирование длины свободного пробега нейтрона от реальных параметров среды, считая, что распределение длин свободного пробега подчиняется: 1) равномерному распределению; 2) нормальному распределению.

3. Провести моделирование длины свободного пробега нейтрона в порошке борной кислоты (плотность HBO₂ принять равной =1,7 гсм^-3), воде Н₂O (=1 гсм^-3) и провести сравнение.

3.1.6. Имитационное моделирование траектории движения нейтронов через пластинку (двухмерный случай)

Рассмотрим траекторию движения нейтрона в пластинке, считая, что оно движется в некоторой плоскости. Выберем ось Qz перпендикулярно к плоскости пластинки. Пусть поток нейтронов падает на плоскость пластины нормально из области z<0. Начальную координату z₀ падающего нейтрона зададим равной нулю. Энергия нейтронов в начальный момент зависит от свойств падающего потока и может быть задана по-разному:

а) значение Е₀ =const задано в виде моноэнергетического потока;

б) значение энергии разыгрывается по случайному закону ;

в) энергетический спектр п(Е) падающего потока распределено по какому-то закону, в частности по нормальному закону. Тогда значение E_i разыгрывается по формуле

. (3.18)

Здесь Е₀ – наивероятнейшее значение энергии потока нейтронов,  - дисперсия энергии нейтронов. Таким образом, состояние нейтрона характеризуется всего тремя величинами: координатой z, энергией Е и направлением полета. Таким образом, эти величины можем определить по нижеописанному алгоритму.

1. Моделирование координаты столкновения (п = 1,2, . . .)

(3.19)

Здесь , а макросечение _t является функцией от энергии Е_n-1 .

Проверяем выполнение условий:

1) не пролетел ли нейтрон сквозь пластинку

;

2) не отразился ли нейтрон обратно

.

При выполнении каждого из этих двух условий траектория заканчивается (а в соответствующем счетчике делается запись).

3. Моделирование взаимодействия. Если , то разыгрываем «судьбу» нейтрона при этом столкновении: находим очередное и, если , то нейтрон считается поглощенным; траектория его заканчи­вается (и в соответствующем счетчике делается запись об этом).

Если оказалось, что , то нейтрон испытывает рассеяние, и нужно разыграть его направление и энергию.

4. Моделирование направления и энергии после упругого рассеяния нейтрона в системе центра масс при изотропном распределении ядер проводится по формулам

,

. (3.19)