2. Алгоритм метода броуновской динамики

1. Задать начальные координаты и скорости движения.

2. Получить значения случайной силы.

3. Интегрировать уравнения движения до момента столкновения частиц, т.е. вычисляются новые положения частиц в момент времени по формуле . Моменты столкновения для простоты можно выбирать регулярно, через несколько десятков шагов по времени (в принципе столкновение также подчиняется случайному закону в пределах некоторого времени).

4. Рассчитать мгновенные значения функций динамических переменных.

5. Из распределения Больцмана с заданной температурой выбрать новые скорости для всех частиц.

6. Вернуться к шагу 2.

3. Расчет макроскопических параметров

Выражение для потенциальной энергии межчастичного взаимодействия, имеет вид

, (4.24)

Кинетическая энергия системы определяется как

. (4.25).

Среднее значение кинетической скорости

. (4.26)

Воспользовавшись выражением (4.9) и теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы можно найти температуру системы

. (4.27).

Давление определяется с использованием теоремы вириала

, (4.28)

где вириал давления рассчитывается как

, (4.29)

Умения оценивать эти свойства достаточно для получения как термического, так и калорического уравнения состояния, которые в свою очередь могут служить для определения любых производных.

Например, теплоемкость определится как

, (4.30)

Таким образом, метод Монте-Карло отличается от метода молекулярной динамики тем, что каждое следующее событие определяется не путем решения уравнений Ньютона, а с использованием случайных процессов. Вместо оценки сил, определяющих возрастающие атомные движения, при моделировании методом Монте-Карло просто симулируют относительно большие движения системы и определяют, действительно ли измененная структура энергически возможна при моделируемой температуре. Однако данный метод несколько лучше метода молекулярной динамики для расчёта термодинамических характеристик молекул, например, для расчёта спектра возможных событий и их энергий.

4. Задания на моделирование:

1. Построить разностную схему и разностные уравнения.

2. Привести уравнения к безразмерному виду, для этого использовать безразмерное расстояние r^* = r/, характерное время , скорость .

3. Написать алгоритм решения дифференциальных уравнений (4.20).

4. Составить блок-схему согласно алгоритму. Выходные данные представить в графической форме. Рекомендуется использовать графический пакет ORIGIN.

5. Провести вычислительный эксперимент для частицы краски гуммигута имеющего следующие параметры,  = 3.14*10^-12 м,  = 10³ кг/м ³, k_Б =1.31*10^-23 , /k_Б = 200К,  = 1.82*10 ^{– 12}с,  = 5*10^-3 м/с, r = 0.5*10^-6 м.

6. Рассчитать все термодинамические параметры и вывести графики для усредненных величин по времени.

7. Построить фазовую траекторию броуновской частицы в объеме.