- •Глава I. Метод Монте-Карло и Понятия теории вероятностей
- •Классификация вероятностно-статистических методов решения прикладных задач
- •§1.2. Некоторые понятия и теоремы теории вероятностей
- •Понятия теории вероятностей
- •1.2.2. Основные теоремы теории вероятностей 4
- •Локальная теорема
- •Интегральная теорема
- •Закон Больших Чисел
- •Центральная предельная теорема (цпт)
- •Эта теорема носит название «Центральная предельная теорема» .
- •1.2.3. Оценка погрешности математического ожидания исследуемой величины
- •1.3. Генераторы, алгоритмы получения и преобразования случайных чисел
- •1.3.1. Получение случайных чисел с помощью случайного эксперимента
- •1.3.2. Алгоритмы получения псевдослучайных чисел 5
- •1.3.3. Понятие эталонной 6, случайной величины
- •1.3.4. Преобразование случайных величин 7
- •1.3.5. Генераторы псевдослучайных чисел на эвм
- •1.3.6. Использование таблицы дискретных случайных чисел
- •1.4. Недостатки и достоинства аналитических, приближенных методов решения математических задач, в том числе и метода Монте-Карло
- •Глава II. Вероятностное моделирование математических задач
- •2.1. Общая теория решения системы линейных уравнений 8
- •2.2. Вычисление интегралов способом среднего
- •Технология вычисления интеграла способом среднего
- •Нахождение определенных интегралов способом «зонтика» Неймана
- •4. Задания на моделирование
- •2.4. Вычисление значения числа
- •2.5. Решение уравнений эллиптического типа (задача Дирихле)
- •Глава III. Имитационное моделирование физических процессов и явлений
- •3.1. Имитационное моделирование задач нейтронной физики
- •3.1.1. Задача имитационного моделирования прохождения нейтронов через пластинку
- •3.1.2. Моделирование сорта ядра и вида взаимодействия нейтрона с ядром
- •3.1.3. Решение задачи розыгрыша типа взаимодействия и сорта ядра имитационным моделированием
- •1. Вычисление микросечений водорода
- •2. Вычисление микросечений кислорода
- •3. Вычисление микросечений бора
- •4. Вычисление полного микросечения
- •5.Розыгрыш сорта ядра
- •6. Розыгрыш типа взаимодействия
- •7.Определение полного макросечения
- •3.1.4. Определение направления и энергии частиц после рассеяния
- •3.1.5. Моделирование длины свободного пробега
- •3.1.6. Имитационное моделирование траектории движения нейтронов через пластинку (двухмерный случай)
- •5. Задания на моделирование:
- •3.2. Имитационное моделирование прохождения
- •6. Задания на моделирование:
- •7. Результаты моделирования
- •3.3. Имитационное моделирование распространения упругих волн в пористых средах (задача геофизики)
- •Результаты моделирования
- •3.4. Имитационное моделирование явления спонтанного излучения атомов
- •3. Задания на моделирование:
- •Моделирование явления спонтанного излучения многоатомной системы (сверхизлучения Дике)
- •2. Задания на моделирование:
- •Глава IV. Методы компьютерного моделирования в термодинамике
- •4.1. Метод молекулярной динамики
- •6. Задания на моделирование:
- •7. Результаты моделирования
- •4.2. Метод броуновской динамики
- •2. Алгоритм метода броуновской динамики
- •3. Расчет макроскопических параметров
- •4. Задания на моделирование:
- •4. 3. Имитационный метод моделирования броуновских траекторий
- •Литература
1.2.2. Основные теоремы теории вероятностей 4
Приведем без доказательства основные теоремы теории вероятностей, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Последовательность независимых экспериментов называется схемой Бернулли, если в каждом эксперименте возможно только 2 исхода, условно называемые успех и неуспех, при этом
Р { успеха } = p
P{ неуспеха} =q
Вероятность успехов в испытаниях Бернулли равна
(1.20)
Соответствующее распределение вероятностей на числах 0, 1,2,…, n обозначается - и называется биноминальным распределением с параметрами .
Пример. Пусть станок производит 100 изделий. Вероятность брака при производстве одного изделия равна . Какова вероятность того, что ровно 3 изделия окажутся бракованными?
По формуле (1.17) имеем
.
Часто на практике стоит задача об отыскании удобных асимптотических формул для вероятностей при и их сумм, эту задачу можно решить с помощью локальной и интегральной теорем Муавра – Лапласа.
Локальная теорема
Пусть , тогда справедливо представление :
, (1.21)
Иначе говоря, вероятность успехов в испытаниях Бернулли можно вычислить по данному представлению.
Пример. Пусть подбрасывается игральная кость 1000 раз. Оценим приближенно вероятность того, что в 1000 испытаниях шестерка выпадет 200 раз.
По локальной формуле Муавра-Лапласа имеем
Отметим, что вычисления по точной формуле (1.21) являются непростой задачей.
Интегральная теорема
В различных задачах требуется находить вероятности вида: - т.е. вероятность того, что количество успехов Xn в испытаниях Бернулли в интервале [с, d], причем с< d.
Интегральная теорема гласит так
Для любого c < d интервала [с , d ] для схемы Бернулли имеет место
, (1.22)
для . Здесь функцию Ф можно посчитать по формуле
,
величина - количество успехов в испытаниях Бернулли.
Вероятностное распределение случайной величин по локальной теореме для каждого к в интервале [с, d] определяется как
, (1.23)
Здесь при определении вероятности можно использовать интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой для больших n вероятность успехов в интервале [с, d] можно определить по предельной формуле (1.22). Для определения значений Ф можно использовать готовую таблицу (см. приложение).
Закон Больших Чисел
Это общий принцип, в силу которого суммарное действие большого количества случайных факторов при весьма общих условиях приводит к результату почти не зависящему от случая.
Первый результат в этом направлении получен Я.Бернулли (1713), его обобщение сделано П.Л.Чебышёвым (1867) и носит название теоремы Чебышева.
Пусть - последовательность независимых случайных величин и , тогда . Иначе говоря, если - арифметическая средняя, то , т.е. .
Теорему Чебышева можно сформулировать следующим образом:
Если Х1, Х2,…..Хn – независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, дисперсии этих величин меньше некоторой константы и число случайных величин достаточно велико, то среднее арифметическое этих случайных величин примет значение, близкое к а.
Более строго, формулировка следующая
Какое бы ни было число > 0 , имеет место
. (1.24)
Обычно число выбирают достаточно малым, в этом случае Хср= а+.
Теорема Бернулли
Пусть мы имеем n независимых испытаний по реализации случайного события A, и в результате испытаний, событий A реализовалась всего nA раз, тогда арифметическое среднее есть просто относительная частота события , т.е. и .
По Закону Больших Чисел имеем, что , т.е. относительная частота случайного события сближается с его вероятностью при возрастании числа наблюдений. Это следствие теоремы Чебышева и она носит название теоремы Бернулли.
Таким образом, теорему Бернулли можно сформулировать так:
Если проводится достаточно большое количество n независимых испытаний по определению события А, и вероятность р появления события А постоянна, то относительная частота появления события А окажется близкой к вероятности этого события.
Если более строго, то имеет место следующий предел
. (1.25)