6. Задания на моделирование:

1. Построить разностную схему и разностные уравнения.

2. Привести уравнения к безразмерному виду, для этого использовать безразмерное расстояние r^* = r/, характерное время , скорость .

Пример. Безразмерная сила для оси х имеет вид

.

3. Написать алгоритм решения дифференциальных уравнений ()- ().

4. Составить блок-схему согласно алгоритму. Выходные данные представить в графической форме. Рекомендуется использовать графический пакет ORIGIN.

5. Провести вычислительный эксперимент для газа аргона, имеющего следующие параметры:  = 1.66*10^-21 Дж,  = 3.405 А, m = 6.69*10^-26 Дж/К, k_Б = 1.31*10 ^-23 , /k_Б = 119,8К,  = 1.82*10 ^{– 12}с,  = 12 м/с .

Рассчитать все термодинамические параметры и вывести графики для усредненных величин по времени.

6. Построить распределение Максвелла по скоростям в конечный момент времени.

7. Результаты моделирования

Проведем вычислительный эксперимент для газа аргона, имеющего следующие параметры: , , , . Для этого рассмотрим систему, состоящую из 108 частиц. Все расчеты будем осуществлять в приведенных единицах. Система исследуется на протяжении 10⁴ шагов. Шаг по времени брался 10^-5 с. Базовая МД ячейка выбиралась в форме куба с периодическими граничными условиями и стороной .

Программа для вычислительного эксперимента дана в приложении 15. В результате моделирования были рассчитаны радиальные функции распределения РФР и термодинамические параметры. На рис. 4.3 представлены РФР . На следующих рисунках представлены изменения термодинамических свойств аргона со временем.

Рис.4.4.

В таблице приведены средние значения кинетической и потенциальной энергии, температуры, давления и теплоемкости, полученные в результате моделирования в приведенных единицах и системе СИ.

Приведенные единицы	1,056	-7,304	0,7042	1,0771	1,961
СИ	1,05210^3 Дж/моль	-7,27310^3 Дж/моль	84,36 К	798 Бар	25,28 Дж/моль К

4.2. Метод броуновской динамики

Методами Монте-Карло иногда принято называть группу методов реше­ния детерминированных (т.е. без случайности) задач, в которых су­щественно используются элементы случайности. Кроме того, существует множество задач, в которых случайный элемент присут­ствует естественным образом. Универсальность метода как метода математического моделирования прикладных задач определяется возможностью его использования в решении задач, не свя­занных со случайностью. Это достигается построением вспомога­тельных вероятностных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие определению постоянные величины.

1. Математическая модель. В методе броуновской динамики систему можно представить в виде набора частиц, динамически взаимодействующих между собой и стохастически с окружающей средой, детальное строение которой несущественно, т.е. движение частиц в растворе или расплаве сводится к движению частиц в непрерывной вязкой среде. Свойства этой непрерывной среды задаются случайной силой с заданными статистическими свойствами. Метод броуновской динамики рассчитывает в фазовом пространстве траектории молекул, движение каждой из которых в поле силы описывается уравнением Ланжевена

, (4.20а)

, , (4.20б)

где - набор межчастичных расстояний, - коэффициент трения броуновских частиц в поле окружающей среды, - случайная сила ланжевеновского источника, - сила взаимодействия - й частицы с остальными броуновскими частицами

. (4.21)

Метод броуновской динамики использует случайные силы . Поэтому для его реализации необходимо уметь получать случайные величины , обычно распределенные по нормальному закону с дисперсией d = 1

, . (4.22)

Для нашей задачи случайная сила равна

Если дисперсия d задана, то плотность вероятности определяется как

, (4.23)

где x = d*. Если допустим, что дисперсия d не неизвестна, то оно может быть определено как среднее значение < >= d.