Глава II. Вероятностное моделирование математических задач

Метод статистических испытаний (Монте-Карло), есть метод решения математических задач, использующий моделирование слу­чайных величин и построение статистических оценок для иско­мых величин. Рассмотрим применение теории вероятности для решения различного вида интегралов и уравнений, в том числе дифференциальных.

2.1. Общая теория решения системы линейных уравнений 8

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в виде

(2.1)

или в векторной форме

. (2.2)

Если пригоден метод простых итераций, то

, (2.3)

где Е –единичная матрица, а В имеет собственные числа по модулю меньшие единицы.

Из системы (2.2) используя обратную матрицу можно получить

. (2.4)

Подставляя (2.3) в (2.2) получим

. (2.5)

При сделанных предположениях обратная матрица может быть выражена рядом

. (2.6)

Этот ряд сходится только в том случае, если собственные числа матрицы В по модулю меньше единицы., т.е.

Подставим теперь выражение (2.6) в формулу (2.5), представляя решение в виде ряда

,

частные суммы последнего ряда можно получить итерационным способом, полагая последовательно:

. (2.7)

Сходимость метода простых итераций эквивалентна сходимости последовательности

Для вычисления перейдем к координатной записи. В дальнейшем будем обозначать элементы матрицы В через В_ij. Тогда m-я координата х_m вектора Х равна:

(2.8)

т.е. мы нашли решение системы линейных уравнений. Для того чтобы понять, почему оно является решением, рассмотрим случай, в котором сумма элементов по каждой строке равна 1:

. (2.9)

Тогда величины В_mi можно рассматривать как набор вероятностей для полной системы несовместимых событий.

Рассмотрим технологию вероятностного моделирования системы уравнений методом Монте-Карло.

Представим каждый элемент В_mi матрицы В в виде произведения двух сомножителей

, (2.10)

где .

Координаты вектора правой части (2.1) представим в виде

. (2.11)

При этом будем полагать, что выполнено равенство

. (2.12)

Тогда равенство (2.8) можно представить в виде

(2.13)

Рассмотрим теперь n разбиений отрезка [0, 1], каждое на n+1 часть. Длины частей m-го разбиения равны соответственно

.

Пусть -значения независимых равномерно распределенных величин. Определим величину _m следующим образом.

Сначала выберем m-е разбиение отрезка и посмотрим, в какую часть попадает величина . Если попала в (n+1)-ю часть (длины р_m), то полагаем, что искомая величина равна

. (2.14)

Если попала в i₁ - ю часть разбиения (длины ), то берем i₁ - е разбиение и смотрим, в какую часть этого разбиения попадает величина . Если попала в (n+1)-ю часть, то полагаем, что искомая величина равна

. (2.15)

Если же попала в i₂ - ю часть разбиения (длины ), то берем и проверяем, в какую часть i₂ - го разбиения она попала. Этот процесс продолжается, либо до первого попадания одной из величин в (n+1)-ю часть l - го разбиения, либо до бесконечности.

Таким образом, величина _m принимает значения, определяемые данной историей процесса, т.е.

с вероятностью

Это значит, что величина _m принимает значения ( ), если попала в i₁ - ю часть m-го разбиения, попала в i₂ - ю часть i₁ - го разбиения и т.д., а попала в (n+1)-ю часть k –го разбиения.

Математическое ожидание определяемой величины _m равно

. (2.16)

Сравнивая с выражением (2.13), получаем

,

т.е. уравнение (2.13) позволяет вычислять неизвестные значения x_i нашей системы уравнений (2.1) путем моделирования случайной величины по методу статистических испытаний.

При рассмотренном способе вычисления неизвестные определяются последовательно в каждой итерации, т.е. решаем вначале первое уравнение, находим первое неизвестное , потом второе уравнение и находим второе неизвестное , затем решаем третье уравнение и т.д. При этом число арифметических операций пропорционально числу уравнений, а не кубу этого числа, как в стандартных численных методах. В этом преимущество монте-карловского процесса вычисления.

Задания на моделирование:

1. Найти неизвестные следующей системы уравнений методом Монте-Карло.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса.

3. Сравнить решения, полученные разными методами.

4. Найти погрешности решения метода Монте-Карло.