- •Глава I. Метод Монте-Карло и Понятия теории вероятностей
- •Классификация вероятностно-статистических методов решения прикладных задач
- •§1.2. Некоторые понятия и теоремы теории вероятностей
- •Понятия теории вероятностей
- •1.2.2. Основные теоремы теории вероятностей 4
- •Локальная теорема
- •Интегральная теорема
- •Закон Больших Чисел
- •Центральная предельная теорема (цпт)
- •Эта теорема носит название «Центральная предельная теорема» .
- •1.2.3. Оценка погрешности математического ожидания исследуемой величины
- •1.3. Генераторы, алгоритмы получения и преобразования случайных чисел
- •1.3.1. Получение случайных чисел с помощью случайного эксперимента
- •1.3.2. Алгоритмы получения псевдослучайных чисел 5
- •1.3.3. Понятие эталонной 6, случайной величины
- •1.3.4. Преобразование случайных величин 7
- •1.3.5. Генераторы псевдослучайных чисел на эвм
- •1.3.6. Использование таблицы дискретных случайных чисел
- •1.4. Недостатки и достоинства аналитических, приближенных методов решения математических задач, в том числе и метода Монте-Карло
- •Глава II. Вероятностное моделирование математических задач
- •2.1. Общая теория решения системы линейных уравнений 8
- •2.2. Вычисление интегралов способом среднего
- •Технология вычисления интеграла способом среднего
- •Нахождение определенных интегралов способом «зонтика» Неймана
- •4. Задания на моделирование
- •2.4. Вычисление значения числа
- •2.5. Решение уравнений эллиптического типа (задача Дирихле)
- •Глава III. Имитационное моделирование физических процессов и явлений
- •3.1. Имитационное моделирование задач нейтронной физики
- •3.1.1. Задача имитационного моделирования прохождения нейтронов через пластинку
- •3.1.2. Моделирование сорта ядра и вида взаимодействия нейтрона с ядром
- •3.1.3. Решение задачи розыгрыша типа взаимодействия и сорта ядра имитационным моделированием
- •1. Вычисление микросечений водорода
- •2. Вычисление микросечений кислорода
- •3. Вычисление микросечений бора
- •4. Вычисление полного микросечения
- •5.Розыгрыш сорта ядра
- •6. Розыгрыш типа взаимодействия
- •7.Определение полного макросечения
- •3.1.4. Определение направления и энергии частиц после рассеяния
- •3.1.5. Моделирование длины свободного пробега
- •3.1.6. Имитационное моделирование траектории движения нейтронов через пластинку (двухмерный случай)
- •5. Задания на моделирование:
- •3.2. Имитационное моделирование прохождения
- •6. Задания на моделирование:
- •7. Результаты моделирования
- •3.3. Имитационное моделирование распространения упругих волн в пористых средах (задача геофизики)
- •Результаты моделирования
- •3.4. Имитационное моделирование явления спонтанного излучения атомов
- •3. Задания на моделирование:
- •Моделирование явления спонтанного излучения многоатомной системы (сверхизлучения Дике)
- •2. Задания на моделирование:
- •Глава IV. Методы компьютерного моделирования в термодинамике
- •4.1. Метод молекулярной динамики
- •6. Задания на моделирование:
- •7. Результаты моделирования
- •4.2. Метод броуновской динамики
- •2. Алгоритм метода броуновской динамики
- •3. Расчет макроскопических параметров
- •4. Задания на моделирование:
- •4. 3. Имитационный метод моделирования броуновских траекторий
- •Литература
4. 3. Имитационный метод моделирования броуновских траекторий
1. Теоретическое введение. Броуновским движением называется наблюдающееся под микроскопом непрерывное, хаотическое движение мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе.
Хаотическое движение небольших частиц обусловлено флуктуациями давления, производимого на частицы молекулами жидкости или газа. Броуновские частицы испытывают сравнительно небольшое число столкновений с молекулами среды за единицу времени и действующие на них силы не уравновешиваются.
Первые наблюдения за движением частиц, взвешенных в жидкости, были сделаны в 1827 году английским ботаником Р. Броуном. Важнейшими особенностями броуновского движения являются:
-
неограниченно долгое продолжение движения без каких-либо видимых изменений;
-
интенсивность движения зависит от размеров броуновских частиц, но не от их природы;
-
интенсивность движения возрастает с ростом температуры и уменьшением вязкости жидкости.
Закономерности броуновского движения были подробно изучены А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Оказалось, что среднее смещение броуновской частицы вдоль произвольного направления равно нулю. В то же время средняя величина квадрата смещения пропорциональна времени наблюдения над частицей:
, (4.31)
где - коэффициент диффузии броуновских частиц, который для шарообразной частицы равен
, (4.32)
где - число Авогадро, - коэффициент вязкости жидкости, - радиус частицы. Пользуясь формулой
, (4.33)
можно из результатов наблюдений за поведением броуновской частицы определить постоянную Больцмана и Авогадро.
2. Построение имитационной модели. Задача имитационного моделирования движения броуновской частицы состоит в определении квадрата смещения за равные промежутки времени.
Смещение броуновской частицы можно определить разными способами. Рассмотрим самый простой из них. Промежуток времени Тк, в течение которого мы хотим определить смещение, разделим на N равных частей, т.е.
. (4.34)
Значения разыгрывают последовательно по формуле
. (4.35)
В каждый момент времени находим квадрат и среднее от квадрата, т.е. среднюю величину квадрата смещения. Здесь i нормально распределенные случайные величины с дисперсией, равной единице, с математическим ожиданием, равным трем, т.е. определенные по закону
. (4.36)
Будем считать, что движение броуновской частицы происходит в двухмерной плоскости. Тогда направление изменения траектории можно разыграть по формуле
, (4.37)
где i – эталонное случайное число в интервале [0,1]. Розыгрыш направления дает нам возможность определения декартовых координат броуновской частицы , в каждый момент времени. Координаты частицы могут быть определены по алгоритму
(4.38)
При усложнении модели, т.е. если движение броуновской частицы происходит в трехмерной области, то можно использовать методику определения направления рассеяния по параграфу 3.1.4 или по алгоритмам (1.45-1.47).
3. Задания на моделирование:
-
Составить программу для определения траектории броуновской частицы .
-
Построить траекторию движения броуновской частицы.
-
Провести моделирование движения броуновской частицы в зависимости от реальных параметров среды.
-
Определить постоянную Больцмана из результатов моделирования.
Результаты моделирования траектории движения броуновской частицы представлены на рис.4.5
Рис. 4.5