0. 3.4. Имитационное моделирование явления спонтанного излучения атомов

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему невзаимодействующих атомных частиц, в которой безызлучательные переходы можно не принимать во внимание. Система характеризуется набором дискретных энергетических состояний, среди которых нас будут интересовать лишь состояния 1 и 2 (рис.3.15). Кратность вырождения состояния /статистические весы/ обозначим g₁ и g₂. При отсутствии вырождения уровней

E₂ B₂₁_ A₂₁ B₁₂_ N₂

E₁ N₁

_Рис.3.15

h=E₂-E₁ g₁= g₂=1.

В дальнейшем будем считать, что уровни не вырождены. В случае термодинамического равновесия соотношение между заселенностями N₂ и N₁ уровней электронами определяется распределением Больцмана:

, (3.26)

где N₂ - число атомов, находящихся в возбужденном состоянии, N₁ -невозбужденном состоянии. Равновесное состояние среды с собственным излучением поддерживается благодаря протеканию трех процессов в этой среде:

1) спонтанного излучения,

2) резонансного поглощения,

3) индуцированного или вынужденного излучения.

Рассмотрим явление спонтанного излучения, оно связано с самопроизвольным переходом атома из возбужденного уровня с излучением света с частотой. Процесс спонтанного перехода атома из возбужденного состояния – есть процесс случайный. Вероятность спонтанных переходов за время dt:

,

здесь A₂₁ – некоторая константа, не зависящая от времени. Величина, обратная A₂₁ называется спонтанным временем жизни для перехода 21, т.е.. Значение A₂₁ для переходов в оптическом диапазоне может изменяться от для разрешенных, до ~ для запрещенных переходов.

Математическая модель спонтанного распада возбужденных атомов может быть записана в виде:

, (3.27)

Уравнение (3.27) имеет решение:

, (3.28)

где N₀₂ - начальное число атомов (при t=0) в состоянии 2.

2. Построение модели. Математическая модель (3.27) описывает спонтанное излучение множества возбужденных атомов. Однако при таком описании теряется «судьба» каждого отдельного атома, кроме того, оно справедливо, если атомов много. Существует другой способ описания случайных процессов. Вероятность события дожить атому до момента t и вероятность распада именно в момент времени t можно определить как

,

. (3.29)

Если имеется в начальный момент N₀₂ атомов, то до момента t распадается примерно атомов, после этого момента , причем, чем больше атомов, тем точнее будут выполняться приведенные выше соотношения.

Например, если имеется 100 атомов, то они распадутся в некоторые моменты времени , точно предсказать которые невозможно. Убыль атомов будет описываться ступенчатым графиком. Если возьмём другие 100 атомов, то они распадутся в другие моменты времени , и мы получим другой ступенчатый график. Чем больше число частиц, тем ближе будут эти ступенчатые графики к кривой, рассчитанной по решению уравнения. На ЭВМ моделируется не решение уравнения (3.27), а вероятностный процесс, эквивалентный реальному процессу распада на опыте, т.е. мы здесь используем метод имитационного моделирования. Причем возможны разные способы имитации.

Первый способ имитации. Генерируется случайное число , нормально распределенное между 0 и 1 (ему отвечает случайная точка на отрезке единичной длины), и время распада первого атома определяется по формуле:

. (3.30)

Если розыгрыш случайных чисел производится N₀₂ раз, то по N₀₂ временам t и формуле (3.29) можно построить ступенчатый график, который нельзя отличить от графика полученного на опыте.

Второй способ имитации. Рассмотрим совокупность атомов как некоторую систему, тогда распад одного из атомов – как событие, переводящее систему в новое состояние. В этом случае вероятность того, что в системе до момента t не произойдет никакого события (распада) , равна произведению вероятностей распада отдельных атомов.

.

Тогда для случайной величины , по формуле

(3.31)

можем определить время первого распада в системе. Поскольку вероятность распасться первым для всех атомов одна и та же, то для следующего случайного числа мы сможем определить, какой из N₀₂ атомов распался. Для этого отрезок от 0 до 1 разбивается на N₀₂ равных частей и считается, что распаду i - атома отвечает попадание случайного числа в i – й интервал. Начиная с момента t₁ , наша система состоит не из N₀₂ , а из N₀₂ -1 атомов, и вероятность системы дожить до момента t₂ = t₁ +t равна:

.

Для случайного величины , мы сможем определить время второго распада:

. (3.32)

Затем определяем, какой из атомов распался, и т.д. до момента, когда распадется последний из атомов. Таким образом, и при таком подходе полностью воспроизведем процесс спонтанного распада N₀₂ атомов. Полученная ступенчатая кривая распада или набор кривых, если такой процесс воспроизведен несколько раз, обладает теми же свойствами, что и полученная первым способом или при наблюдении процесса распада на опыте.