Вопрос 2 Статистический метод

Вероятность. Случайные величины непрогнозируемы: сами вели­чины выражены в числах и значения этих чисел нельзя заранее предска­зать. Одна случайная величина, как число, не может быть предсказана (предопределена), но совокупность (массив) случайных величин подчи­ня­ется закономерностям, которые изучает теория вероятности. Следо­ва­тельно, чтобы “включить” эти закономерности, надо набрать эту сово­куп­ность. Как набирать ее, объясняет математическая статистика.

Количественной характеристикой предсказания (прогнозирова­ния) является вероятность, определяемая в форме: , гдеN_А - число опытов с результатом А, N - число опытов, испытаний, P(A) - веро­ятность результата А.

Метод ансамблей. Был введен в статистическую физику в 1902 г. американским физиком Дж. Гиббсом (1839 - 1903). Этот метод является одним из статистических методов изучения систем частиц газа.

Сосуд с заключенными в нем частицами называется статистиче­ской системой. Совокупность одинаковых статистических систем назы­ва­ется статистическим ансамблем. Под словом “одинаковых” подра­зуме­ваются одинаковые: объем сосудов, число частиц, сами частицы.

Статистический ансамбль - собрание большого числа взаимодей­ст­вующих между собой систем, каждая из которых удовлетворяет тем же ус­ловиям, что и рассматриваемая нами система. Ансамбль, не завися­щий от времени - это ансамбль, в котором число систем с данными свой­ствами одно и то же в любое время.

Вероятность: вероятность P_r осуществления данного случая в рас­сматриваемой системе определяется с помощью статистического ан­самбля из N таких систем. Если случай r осуществился в N_r системах ан­самбля, то P_r = N_r/N (при N). Случай - исход опыта или результат на­блюдения.

Статистическая независимость: два случая статистически неза­ви­симы, если осуществление одного из них не зависит от осуществления или неосуществления другого.

Пример. Вместо того, чтобы сконцентрировать внимание на данной системе А, которая нас интересует, рассмотрим набор систем (ансамбль) состоящий из боль­шого числа N “одинаковых” систем. В принципе N можно представить себе сколь угодно большим (N). Системы предполагаются "одинаковыми" в том смысле, что каждая из них удовлетворяет тем же условиям, которым удовлетворяет система А (т.е. все сис­темы “приготовлены по тому же рецепту”, что и система А и подверг­нуты тому же опыту, что и система А). Например: опыт заключается в бросании мо­неты и имеет две возможности исхода “орел” или ”решка”. Рассмотрим ансамбль, состоящий из очень большого числа одинаковых монет числом N. Другой, более сложный вариант: вместо одного набора из N может рассматривать ансамбль, со­стоящий из N таких наборов по N_А монет в каждом. И над каждым набором произво­дить один и тот же опыт.

Если состояние системы не зависит от времени, то с равным успехом можно один и тот же опыт повторить N раз над одной данной системой. При этом, разуме­ется, нужно быть уверенным, что в начале каждого опыта система находится в одном и том же начальном состоянии.

Постулируется, что и называется эргодической гипотезой и то­гда , и среднее по ансамблю (среднее статистическое) равно среднему по времени. Доказательств этой гипотезы нет, и она яв­ля­ется одним из основополагающих допущений статистической физики (Л. Больцман, 1871 г.).

В реальности разговор идет не об одной частице, а о системах с N-частицами. Ансамбль систем во времени есть совокупность микросо­стоя­ний системы. В этом случае эргодическая гипотеза определяет на­правле­ние эволюции изолированной системы: начиная свое движение из любого состояния, система достигает обязательно состояния сколь угодно близкого к любому другому состоянию, совместимому с законом сохранения энер­гии.