Вопрос 5

Гипотеза Максвелла: Вероятность того, что у молекулы будет од­но­временно три проекции скорости в соответствующих интер­ва­лахопределяется произведением трех вероятно­стей, если про­екции скоростей молекулы рассматривать как независи­мые случайные величины:

. (17)

Это равенство определяет вероятность того, что скорость моле­кулы (точка, совпадающая с концом вектра скорости) находится в эле­ментарном объеме пространства скоростей (см. рис.20).

С другой стороны, наличие у молекулы трех проекций скорости определяет направление движения и модуль скорости, кото­рые также являются случайными величинами. Направление движения является произвольным, а значит и распределение скоростей вдоль этого направле­ниядолжно иметь такой же вид как и вдоль любой из осей, но с дру­гой нормировочной постоянной.

Теперь вероятность обнаружения скорости молекулы в элементар­ном объеме пространства скоростей с помощью функ­цииозначает определение вероятности определенного значе­ния скорости молекулы:(18)

или, сравнивая (17) и (18), получаем:

. (19)

Используя свойства непрерывности и положительности функций, со­ставляющих уравнение (3), и далее определяем вид функции распре­деле­ния скоростей . Для этого последовательно прологарифмируем обе части уравнения (3), а затем продифференцием полученное равен­ство:,

.

Раскрыв скобки в правой части, полу­чаем:

.

Отсюда, ввиду независимости дифференциалов, следует равенство нулю выражений в квадратных скобках и далее: ,

А это, в свою очередь, возможно из-за независимости только в том случае, когда эти выражения равны одной и той же посто­ян­ной, т.е..

На примере одной из проекций приведем последовательно опера­ции интегрирования и потенцирования:

; ;;

где множители и для всех трех проекций одинаковы, т.к. оси координат полностью эквивалентны, а случайные величины неза­висимы.

Функция со знаком плюс в экспоненте не подходит в качестве ре­ше­ния, поскольку он определяет случай безграничного увеличения плотности вероятности при удалении от центра мишени, что невоз­можно. С другой стороны (обязательность выполнения) условие норми­ровки выполняется (интеграл сходится) только при отрицательном пока­зателе. Поэтому, для удобства, считая неопределенный параметр >0, подставляем его в степень со знаком "минус".

Окончательно:

и называется распределением Гаусса.

Вероятность того, что проекция скорости на ось 0х заключена в ин­тервале []:Аналогия спра­вед­лива и для других проекций скорости. Тогда

(20)

Совместная вероятность флуктуации проекций скоростей получена перемножением вероятностей флуктуаций проекций скоростей по каж­дой из оси (флуктуации проекций скоростей - величины независи­мые).

Постоянная А находится из условия нормировки с учетом того, что запрещенных значений абсолютных скоростей нет, а значит для любой ячейки: .

Учитывая, что известено значение интеграла Пуассона: , далее просто определить значение интеграла данного вида:

. (21)

Тогда из условие нормировки определяем: .

Вычислим среднее значение кинетической энергии:

Распишем правую часть равенства как сумму тройных интегралов и получим

В квадратной скобке имеется девять интегралов, шесть из которых вида (21), а значит имеют известное значение . Оставшиеся три фор­мально идентичны и определяются методом дифференцирования.

Например:

.

Подставляем известные значения интегралов и с учетом множи­теля перед квадратной скобкой получаем выражение: .

Но так как в равновесном состоянии , то определя­ется вторая постоянная:.

Перейдем от декартовой к сферической системе координат скоро­стей, определяемой радиусом и телесным углом(прил.2).

Так как , то объем тонкого сферического слоя тол­щинойи радиусасоставит(см. прил. 2). Проинтегрируем первые два сомножителя в правой части по всему те­лес­ному углу:.

Тогда формула (17), с учетом и = и в сферических ко­ординатах перепишется в виде:

, (22)

как вероятность того, что частица массой m находится в тонком сфери­че­ском слое толщиной пространства скоростей.

Перепишем уравнение (22) в виде:

(23)

Функция в форме (23) называ­ется распределением Максвелла, и является плотностью вероятности обладания молекулой модулем скоро­сти .

температур: Т₁ = T/2; Т₂ = T; Т₃ = 2T

Формулы (22) и (23) позволяют найти относительное число моле­кул, скорости которых заключены в заданном интервале. Так как моле­кулы движутся независимо и случайно, то число частиц имеют вероят­ностьбыть обнаруженными в интервалеи. ЗдесьN - полное число молекул в системе. Относитель­ное число молекул в указанном интервале

,

или