Вопрос 6
Характерные скорости распределения Максвелла. Вид функций распределения Максвелла (формулы (23) и (24)) показан на рис.21. По графику распределения видно, что с увеличением температуры максимум распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме снижается. Однако условие нормировки обязует равенство площадей, ограниченных каждой кривой и осью скоростей независимо от значения температуры. Вследствие этого с увеличением температуры число молекул с большими скоростями увеличивается, а число медленных молекул обязано уменьшатся соответственно условию нормировки.Среднее значение функций , зависящих от модуля скорости, вычисляется по формуле для среднего:. Соответственно получаем среднеарифметическую и среднеквадратичную скорости: <> =иСкорость, соответствующая максимуму кривой распределения, называетсянаивероятнейшей. Она находится из условия экстремума (максимума) функции Максвелла: . В результате (см. прил. 2) получаем определяющее равенство:.
Большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наивероятнейшей, а молекул вне этого интервала очень мало. С повышением температуры скорости молекул растут как .
Вопрос 7
Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла является равновесным, а значит стационарным. Это означает, что число частиц в каждом элементе объема около скоростине меняется со временем. Но если есть столкновения, то состав молекул в каждом таком элементе меняется. Какие-то молекулы уходят из данного объема, какие-то приходят в него из других элементов объема.
Спрашивается: как осуществляется этот обмен между элементами объема?
а)
б) в)
Рис.
22. Схемы
обмена частицами
Схемы а) и б) на рис.3 предполагают заданность и направленность процесса столкновений и значит предпочтительность как минимум в паре одного элемента объема над другим. Схема в) предполагает хаотичность и равновероятность элементов объема в паре, так что два равновесных состояния обеспечивают справедливость принципа детального равновесия.
Вопрос 8
Давление газа на стенку. Давление возникает в результате ударов молекул о стенки сосуда. При упругом ударе молекулы о стенку нормальная (к стенке) составляющая количества движения изменится на обратную (-), а параллельные стенке составляющие и останутся без изменения (рис. 23). Тангенциальные составляющие импульсов компенсируются, а нормальные должны обуславливать возникновение давления. Поэтому изменение количества движения молекулы при ударе о стенку равно . Оно называется импульсом силы, действующим нормально на молекулу со стороны стенки. При этом на стенку действует импульс такой же величины. Происходит передача импульса. Причем, если ось 0х перпендикулярна касательной к стенке в точке удара, то предельный импульс равен 2 m.
Из определений давления и теоремы импульсов следует, что давление определено суммарным импульсом, передаваемым стенке площадью 1 м2 молекулами в результате их столкновений со стенкой за 1 с. Поэтому, давление определяет удвоенный поток импульса молекул, нормальный к поверхности стенки (см. рис. 23). Ось 0X перпендикулярна стенке, - концентрация молекул.
Поток молекул в направлении стенки:
.
Поток импульса по направлению к стенке:
.
Индекс (+) касается только молекул, движущихся к стенке, т.е. половины общего их числа. Тогда (см. с. 52):
.
Для рy и рz рассуждения аналогичны, поэтому: . Так как давление газа изотропно, то давление в данной точке в разных направлениях одинаково и его можно обозначитьр без указания направления.
Так как , то. Это уравнение -основное уравнение кинетической теории идеальных газов.
Пусть N - общее число молекул газа в объеме V. Тогда и. А так как, где- количество молей, то получаемуравнение состояния Клапейрона-Менделеева: ,
где Дж/моль.К - молярная газовая постоянная.