REL исходный с п

91

При этом их совместное распределение выражается формулой

Z t

F (x; t) = G(x; u)fT (u) du: (5)

0

Простейший случай состоит в предположении о независимости этих величин. При этом имеет место соотношение

G(x; u) = G(x) = FX (x) = F (1; x) è F (x; t) = G(x)F (t):

Во многих реальных ситуациях это предположение вполне допустимо с тем лишь замечанием, что значение будущего ущерба в настоящий момент времени оценивается с помощью приведенного ущерба, который измеряется величиной

X^ = e sT X;

(6)

где s коэффициент инфляции (банковский процент). Действительно, чтобы возместить ущерб X через время T достаточно в насто-

^

ящий момент положить в банк сумму X под s процентов. В этом случае фактическая зависимость будущего ущерба от времени как раз выражается в виде приведенного ущерба.

Всюду в дальнейшем будем придерживаться предположения о независимости времни наступления рискового события и величины прниносимого им ущерба. При этом будем использовать обозначения

FT (t) = F (t; 1) = F (t); FX (x) = F (1; x) = G(x):

Âпрактических ситуациях для конкретных расчетов прибегают

êболее простым числовым характеристикам рисков таким как, например,

среднее время наступления рискового события,

8 1

R

> t f (t) dt при непрерывных наблюдениях,

>

<

	T = MT =	0
		1

> P i fi; при дискретных наблюдениях;

>

:

i=0

92

условное среднее значение величины ущерба при условии наступления рискового события,

8 1

R

> x g(x) dx при непрерывных наблюдениях,

>

<

	X = MX =	0
		1

> P j gj ; при дискретных наблюдениях;

>

:

j=0

среднее значение величины приведенного к начальному моменту ущерба,

		^
	^ = MX;
	X
дисперсии соответствующих характеристик,
T2 = DT = M(T T )2;		X2 = DX = M(X X )2;
2	^	^	2	;
X^	= DX = M(X X^ )

вероятность наступления рискового события A в течении фиксированного времени t0

q = PfT t0g = P(A) = M1fAg

è ò.ï.

Что касается конкретных моделей времени наступления рискового события и их характеристик, то они совпадают с моделями отказов в задачах надежности и были рассмотрены в x1. В следующем параграфе рассматриваются некоторые модели ущербов и их характеристики.

7.6Примеры. Упражнения

Примеры вычисления показателей надежности также были рассмотрены в x1. Рассмотрим простейший пример распределения величины ущерба.

Пример 1. При договоре страхования жизни в полисе указывается страховая сумма b 0, а также другие характеристики страхователя (например возраст, пол и т.п.). Если q 2 (0; 1) вероятность

93

наступления страхового случая в рассматриваемый период, то распределение ущерба страховщика (страховой компании) полностью определяется следующими соотношениями

PfX = 0g = 1 q; PfX = bg = q:

Здесь речь идет о так называемом двухточечном распределении, ФР которого записывается в следующем виде:

G(x) = (	0;	x 0,
	1 q; 0 < x b,
	1;	x > b.

Это ступенчатая функция со скачками в точках 0 и b, высоты 1 q и q соответственно. Математическое ожидание X равно MX = bq, дисперсия DX = b2q(1 q).

Упражнения.

1.Приведите самостоятельные примеры рисков. Укажите их составляющие.

2.Статистические данные по затратам на устранение аварий внутрипролмысловых нефтепроводов по одному из нефтегазодобывающих управлений (НГДУ) приведены ниже (105ðóá.)

109,40; 814,30; 2443,00; 2974,30; 241,90; 402,30; 606,30; 40,65; 1584,81; 5832,40; 320,00; 40,65; 3680,20; 18,90; 49,80; 162,70; 40,00; 240,00; 7139,80; 4,00; 4,00; 40,00; 30,00.

Вычислите выборочное среднее и дисперсию затрат по эти данным.

Ÿ8 Модели величины ущерба

8.1Вводные замечания

Поскольку физическая природа происхождения и развития рисковых ситуаций достаточно сложна, представляется целесообразным наряду с простыми "единичными"рисками рассматривать модели

94

составных рисков, если рисковая ситуация представляется достаточно сложной. Заметим, что в моделях страхования такое представление риска страховщика (см. подробнее далее в гл. 3) достаточно естественно. Методам моделирования и анализа "сложных"рисков посвящен следующий параграф.

1.В моделях простых рисков величина ущерба представляется как отдельная СВ с заданным распределением. Такие модели удобно использовать для достаточно простых рисковых событий или ситуаций, какие возникают, например, в страховых компаниях, когда рассматривается один отдельный договор страхования. В этом случае, выплату по этому договору страхования можно рассматривать как неотрицательную СВ, так как при заключении договора страхования ни факт наступления страхового случая, ни сумма выплат по нему, вообще говоря, не известны. С другой стороны, если договор страхования допускает несколько страховых случаев в течение его действия, то сумму всех выплат в течение срока действия договора также можно рассматривать как простую величину ущерба.

2.В более сложных ситуациях величина ущерба может складываться из многих (в том числе случайного числа) составляющих. В этих случаях принято говорить о составных рисках, в которых величина ущерба вычисляется через свои составляющие. Применительно к страхованию рисков, под ущербом страховщика при этом понимается сумма всех выплат и возмещений, производимых по совокупности договоров страховой компании.

Приведенный в п. 7.6 пример 1 и рассмотренные ниже распределения относятся к упрощенному случаю единичного риска.

8.2Модели единичных ущербов

Под величиной ущерба мы понимаем случайную величину X, которая принимает только неотрицательные значения. Кроме того, мы всюду будем предполагать, что величина ущерба оценивается безотносительно к инфляционным процессам и не зависит от момента

95

наступления рискового события. Таким образом, величина ущерба задается своей безусловной ФР G(x),

G(x) = PfX xg; такой что G(x) = 0 при x 0: (1)

Наряду с этой функцией, удобно использовать соответствующую

плотность распределения

g(x) =	dG(x)	;	(2)
	dx
для непрерывных распределений, или распределение
gk = PfX = kg;			(3)

для дискретных.

Если известна ФР G(x) величины ущерба X, то можно вычислить другие ее важные характеристики (например, распределение приве-

^

денной величины ущерба X (см. п. 7.5), среднее значение ущерба, его дисперсию, моменты, квантили и т.д.). В частности, для распределения приведенного ущерба имеем

Z 1

^ ^ sT st

G(x) = PfX xg = Pfe X xg = G(xs ) f (t) dt: (4)

0

Простейший пример распределения величины ущерба приведен в последнем разделе предыдущего параграфа.

Приведем некоторые стандартные распределения, которые часто используются для моделирования величины простых ущербов в моделях рисков.

Вырожденное распределение. Вырожденным называется распределение СВ, принимающей лишь одно значение b 0 с вероятностью 1. Его функция распределения

G(x) = 1fx bg =		1	ïðè x b,
		0	ïðè x < b,

имеет вид ступенчатой функции со скачком величины 1 в точке b, где функция

1fx 0g =		1;	åñëè x 0.
		0;	åñëè x < 0,

96

называется индикаторной функцией множества = fx 0g. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения

равны соответственно

MX = b; DX = 0:

Смесь таких распределений позволяет строить двухточечные и др. распределения типа рассмотренных в примере 1 раздела 7.6.

Равномерное распределение. Это распределение задается

своей плотностью распределения
g(x) =	1	1fa x bg;	0 < a < b;
	b a

которая имеет прямоугольный вид, из-за чего его часто называют также прямоугольным распределением. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны соответственно

MX =	a + b	;	DX =	(b a)2	:
				12
2

Сдвинутое показательное распределение. Плотность этого распределения равна

g(x) = e (x b)1fx bg;

b 0;

а математическое ожидание и дисперсия равны

MX = b +	1	;	DX =	1	:
				2

Гамма-распределение. Плотность этого распределения равна

	x 1
g(x) =	( ) e x1fx 0g;	> 0;

и при = 1 совпадает с плотностью показательного распределения, а математическое ожидание и дисперсия равны

MX =		;	DX =		:
				2

97

Логарифмически-нормальное распределение с плотностью

1

e

(log(x )2

g(x) =

x p

2 2

1fx 0g;

> 0

2

и математическим ожиданием и дисперсией

MX = e +

2

;

DX = e 2 1 e2 + 2 :

2

Распределение Парето с плотностью

c

+1

g(x) =

1fx cg;

c > 0

c

x

и математическим ожиданием и дисперсией

c

c2

MX =

ïðè > 1;

DX =

ïðè > 2:

1

( 1)( 2)

В таблице 8.1 приведены некоторые модели распределений вели- чины простых ущербов с их основными характеристиками.

Рассмотренные распределения удобно использовать при моделировании единичного риска. Во многих ситуациях, в частности при медицинском страховании или страховании средств транспорта, риск представляет собой более сложную картину. В течение года может наступить несколькво страховых случаев и размер отдельного ущерба может быть случайным. При этом следует также учесть, что количество страховых случаев априори не известно и должно рассматриваться как случайная величина. Это побуждает рассмотреть модели составного (совокупного, группового) ущерба.

8.3Составные ущербы. Аппарат анализа

Переходя к изучению моделей ущербов составных рисков, рассмотрим сначала общий аппарат, необходимый для их изучения, который опирается на производящие функции таких распределений.

В моделях составного ущерба распределение величины ущерба X определяется следующими величинами и предположениями.

98

1.Фиксированным или случайным количеством N рисковых событий, которое может принимать значения 0,1,2,...

2.Соответствующими величинами ущербов X1; X2; : : :, которые являются неотрицательными СВ с заданными ФР Gi (x); (i = 1; 2; : : :); иногда, особенно в моделях страхования, эти величины или группы из них можно считать одинаково распределенными.

3.Кроме того, при конкретных вычислениях ущербов, величины N и X1; X2; ::: будем предполагать независимыми. Однако это предположение следует каждый раз особо обсуждать в конкретных задачах.

Случайная величина N называется числом ущербов. Ее распределение полностью описывается вероятностью наступления ровно k ущербов,

pk = PfN = kg; k = 0; 1; 2; :::

При этом совокупная величина ущерба Y имеет вид

Y =	X1 + X2 + ::: + Xk ;	ïðè N = k = 1; 2; 3:::.	(5)
	0;	ïðè N = 0,

ãäå Xi отдельные единичные ущербы. Так как число рисков N может принимать лишь целочисленные значения 0,1,2,... то в предположении (3) о независимости величин Xi и N для ФР величины Y мы имеем

	1
PfY xg =	X
	PfY x; N = kg =
	k=0	1
	Pf0 x; N = 0g +	X
=		PfX1 + ::: + Xk x; N = kg =
		k=1
		1
	PfN = 0g1fx 0g +	X
=		PfX1 + ::: + Xk xgPfN = kg;

k=1

где функция 1fx 0g является упоминавшейся ранее индикаторной функцией множества fx 0g.

99

Если через G(k)(x) обозначить ФР суммы X1 + ::: + Xk независимых одинаково распределенных случайных величин,

G(k)(x) = PfX1 + ::: + Xk xg;	k = 1; 2;	3; :::;
òî
1
X	pk G(k)(x):	(6)
PfY xg = p01fx 0g +

k=1

Заметим, что индекс k здесь является уже не случайной величиной, а натуральным числом. Распределение G(k)(x) играет большую роль в теории вероятностей и задается сверткой распределений случайных величин X1; :::; Xk .

Определение 1. Если X1; :::; Xk НОР СВ с общей ФР G(x) и плотностью g(x), то распределение G(k) их суммы Y = X1 + ::: + Xk задается формулами

Z x

G(0)(x) = 1fx 0g; G(k)(x) = G(k 1) (x u)g(u)du; (7)

0

последняя из которых называется k-кратной сверткой распределения G(x) и обозначается G(k)(x) = G k (x).

В случае дискретных СВ Xi с распределением gj = PfXi = jg формула (7) заменяется на

g 0 = 1		;	g k =	j	(8)
				g (k 1)gi;
j	fj=0g		j	X
				j i
				i=0

С помощью введенного понятия в предположении о независимости и равнораспределенности отдельных ущербов из (6) для распределения совокупного ущерба Y мы получим

1
X
PfY xg = pk G k (x):	(9)

k=0

Если риск действительно существует, т.е. если p0 < 1, то полагая вероятность наступления рискового события равной p = 1 p0, распределение риска часто представляют в виде

P	^	(10)
	fY xg = (1 p)1fx 0g + pG(x);

				100
ãäå	1
G^		pk
	X		G k (x)	(11)
	(x) =
	k=1	p

представляет из себя условное распределение ущерба при условии наступления рискового события.

Формулы (10 11) будут отправными точками для наших дальнейших исследований. Их интеpпетация предельно проста: с вероятностью 1 p не наступит рисковое событие (в этом случае ущерб равен нулю), и с вероятностью p произойдет рисковое событие, ущерб

^

от которого описывается распределением G(x).

Вычисления с помощью свертки, как было в (6) часто бывают затруднительны, поэтому иногда применяют характеристические или производящие функции, при этом для неотрицательных величин удобнее пользоваться производящими функциями моментов (ПФМ), а для целочисленных производящими функциями вероятностей (ПФВ).

Опpеделение 2. Пусть G(x) распределение неотрицательной СВ X с плотностью g(x), тогда функция

1
g~(s) = Me sX = Z0	e sxg(x)dx

называется производящей функцией моментов (ПФМ) CВ X, или ее ФР G(x). 5

Определение 3. Пусть fpk ; k = 0; 1 : : :g распределение цело- численной СВ N , тогда функция

1

X

p(z) = MzN = zk pk

k=0

5 иногда в страховой и финансовой математике ПФМ определяется соотно-

R

шением g~(s) = esx G(dx). Однако такое определение приводит к необходимости исследовать ПФМ в левой полуплоскости, что не очень удобно, поэтому мы предпочитаем использовать традиционное понятие ПФМ, принятое в теоретиковероятностной литературе.