REL исходный с п

Часть II

НАДЕЖНОСТЬ И РИСК

81

82

Ÿ7 Риск. Понятие и измерение

7.1Вводные замечания.

Разнообразные риски сопровождают как отдельного человека в тече- ние всей его жизни, так и различные промышленные, производственные, сельскохозяйственные, финансовые организации и коллективы, общественные объединения, биологические виды, общество в целом, природные структуры и т.п. Можно сказать, что вс¼ и вся подвержено рискам.

Многие экономические, технические, социальные, политические и иные решения связаны с "риском", который неизбежно возникает в силу случайности и неопределенности ряда факторов, влияющих на явление, относительно которого принимается решение.

Математическая теория риска зародилась и развивалась в недрах актуарной (страховой) и финансовой математики. В рыночной экономике проблема оценки финансовых рисков чрезвычайно актуальна, поэтому теория риска становится очень модным предметом не только в традиционных рамках прикладной математики, но и для различных экономических и финансовых специальностей.

Традиционно основным вопросом математической теории риска является исследование вероятности разорения. Однако более широкие запросы практики в расчете рисков и зачастую неправомерное использование самого термина "риск"побуждают расширить проблематику, уделив больше внимания моделям индивидуального риска и вопросам их статистического анализа. При этом оказывается естественным несколько нетрадиционная трактовка понятия индивидуального риска.

Обыденное представление о "риске"связано с наступлением некоторого "рискового события", а также с его последствиями, выраженными в виде материальных или иных издержек по преодолению его последствий.

Чтобы выделить общую компоненту и различия, связывающие разнообразные ситуации, объединяемые в обыденной жизни понятием "риск", очертить круг вопросов, которыми занимается теория риска, и сформулировать ее предмет и основные понятия, рассмотрим ряд примеров возникновения рисков.

83

7.2Примеры

1. Риск потери здоровья.

Выходя в гололедицу на улицу, мы рискуем упасть и сломать ногу, руку или получить иную травму. Здесь риск предстает в виде возможного случайного события и не имеет явно выраженной величины ущерба, хотя каждый может оценить ее для себя в виде стоимости лечения, утерянной в результате травмы прибыли и т.п.

2. Риск утраты трудоспособности.

Некоторые профессии связаны с риском преждевременной (до наступления пенсионного возраста) утраты трудоспособности в связи с профессиональными заболеваниями. Другой формой риска утраты трудоспособности может быть "невостребованность профессии"в результате технологических, социально-экономических изменений в обществе. Утрата трудоспособности также приводит к определенным издержкам, хотя их измерение представляет собой самостоятельную задачу.

3. Имущественные риски.

Выезжая по делам или на прогулку на автомобиле, мы рискуем попасть в аварию, при этом помимо жизни и здоровья мы рискуем потерей имущества или необходимостью восстановительного ремонта в результате повреждений. Физическое (индивидуум) или юридическое (предприятие) лицо рискует имуществом в результате стихийного бедствия (пожара, наводнения, землетрясения и т.п.). Такие явления также распределены во времени и за фиксированный промежуток времени вообще могут не произойти, и также оцениваются некоторой величиной ущерба, возникающего в результате наступления рискового события.

84

4. Социальные риски.

Формула "Пролетариату нечего терять, кроме своих цепей"является прекрасным мостиком для перехода от имущественных рисков к социальным. Т.к. владельцам есть, что терять, то им приходится тратить определенные средства на защиту жизни, здоровья, имущества и т.п. Однако, возможно, более прямым и надежным путем защиты интересов различных слоев общества была бы адекватная социальная организация общества. Вопрос о том, какова эта адекватная организация вопрос политологии, психологии и т.п. наук и не уместно в него здесь вдаваться. Однако, любое общественное устройство потенциально содержит рисковые события и требует вложений в социальную стабильность общества. Анализ рисковых общественных ситуаций и, возможно, процессов во времени, а также величин ущерба в той или иной рисковой ситуации может быть предметом специального раздела общей теории рисков и осуществлен с помощью моделирования.

Другим примером социальных рисков являются медицинские риски.

5. Медицинские риски.

При необходимости сделать операцию мы обращаемся к хирургу, рискуя при этом, возможно даже, утратой жизни, причем в тем большей степени, чем менее опытен оперирующий хирург. Однако, как отмечал В. Вересаев, хирургический опыт приходит только с практикой и, если не обращаться к молодым хирургам, то общество рискует вовсе утратить профессию хирурга.

6. Финансовые риски.

Различные финансовые операции в условиях рыночной экономики связаны с рисками.

7. Природные, экологические и техногенные риски.

Многочисленным источником рисков является сама природа с одной стороны и результаты человеческой деятельности в ней - с другой. Опасности, вызванные деятельностью человека, такие как

85

аварии на крупных химических предприятиях, разрывы нефте- и газопроводов и т.п. представляют значительную угрозу населению и экологии. Так как соответствующие риски связаны с надежностью соответствующего оборудования, то их исследование призвано оправдать затраты на обеспечение и поддержание надежности оборудования.

Прежде чем переходить к детальному обсуждению природы рисков, их измерению и моделированию остановимся на еще одном широко распространенном явлении, использующим понятие риска.

8. Страхование рисков и риски страхования.

Многим знакома "касса взаимопомощи система, при которой некоторый коллектив людей регулярно вносил в общий фонд некоторую сумму денег, из которой каждый из участников мог получить временную ссуду для решения тех или иных бытовых проблем. По окончании срока договора или при выходе из коллектива накопленная сумма денег возвращалась участнику. Приведенный пример является примитивным примером накопительного страхования жизни.

Страхование, используя идею коллективизации рисков, служит стабилизации экономики путем смягчения (сглаживания) последствий этих рисков. С другой стороны страхование само по себе является источником рисков, связанных с выплатой страховых возмещений (пособий). Более подробно риски страхования будут рассмотрены в дальнейшем.

Многообразие приведенных примеров показывает трудности, возникающие при построении общей теории рисков. Для этого необходимо выделить общую для всех рассмотренных (и многих других) примеров составляющую явления, сформулировать само это понятие, а также привести способы измерения и сравнения рисков, т.к. любое понятие приобретает смысл лишь после того, как ему будет придана количественная мера. Переходя к моделированию рисковых ситуаций необходимо отметить их большое разнообразие. При этом, несмотря на многообразие ситуаций, общая теория может показаться достаточно простой. Однако особенность теории рисков как раз и состоит в изучении тонкостей и особенностей конкретных явлений

86

риска, т.к. в них и заложена сущность этой теории и возможности

ååприменения на практике.

Âприведенных примерах речь шла об отдельных (индивидуальных) рисках. Однако необходимо иметь в виду, что многие из приведенных рисков, особенно в задачах страхования, могут неоднократно повторяться во времени, что еще более усложняет проблему их исследования и приводит к необходимости изучать процессы рисков (или так называемые коллективные) риски.

Âследующем разделе вводится понятие риска, приводятся способы его измерения, а также вводятся соответствующие обозначения.

7.3Понятие риска

Во всех приведенных выше примерах (и многих других) риск связан с наступлением некоторого, вообще говоря, случайного события A, которое будем называть рисковым событием из возможного семейства F событий, описывающих рассматриваемую рисковую ситуацию. Эти события обычно каким-то образом распределены во времени и сопровождаются определенными материальными или иными издержками, вообще говоря, также случайными по величине.

Таким образом, риск характеризуется двумя величинами временем T наступления рискового события и величиной X приносимого им ущерба. Поэтому под риском будем понимать вероятностную модель ( ; F; P), на которой определена двухкомпонентная случайная величина (СВ), (T; X), первая из компонент которой T время наступления рискового события A, отсчитываемое от некоторого фиксированного момента, а вторая X указывает ущерб, приносимый этим рисковым событием. При этом следует иметь в виду, что вели- чина T может зависеть, вообще говоря, от момента t0 начала отсчета. Поэтому при измерении времени до наступления рискового события его следует измерять от некоторого естественного начального момента. В теории надежности таким моментом является момент введения оборудования в эксплуатацию. В моделях страхования жизнимомент рождения человека, в моделях экологических рисков время измеряется между последовательными моментами наступления соответствующих опасных (рисковых) событий и т.п.

Заметим также, что если риск исследуется на фиксированном

87

интервале времени, то рисковое событие может, вообще говоря, не наступить за рассматриваемый промежуток времени. Так в примерах 1, 3 речь может идти о соответствующих рисках в течение дня, месяца, года или иного срока, связанного с некоторой поездкой, командировкой, перелетом и т.п., в которых вероятность наступления рискового события достаточно мала. В других случаях, как например в примере 2, вероятность наступления рискового случая меньше 1 и можно говорить об условном распределении момента утраты трудоспособности в период активной жизни. Наконец, отметим следующий класс случаев, например модели страхования на дожитие, когда страховой случай всегда наступает.

Как уже отмечалось, часто приходится иметь дело с последовательностью рисковых событий. Такие ситуации изучаются в рамках процессов рисков f(Sn; Xn) : n = 0; 1; : : :g, ãäå Sn неубывающая последовательность моментов наступления рисковых событий, а Xn последовательность связанных с ними ущербов. В настоящем курсе мы лишь кратко коснемся вопросов, связанных с процессами рисков.

7.4Модели рисков

При разработке моделей рисков возможны различные подходы для построения моделей случайных явлений:

теоретический (аналитический),

статистический,

субъективный (на основе субъективных вероятностей и экспертных оценок).

Первый из этих способов, безусловно хорош, но имеет ограни- ченные применения, т.к. базируется на специальных законах теории вероятностей (типа ЦПТ), которые не всегда применимы к реальным ситуациям. Второй теоретически всеобъемлющ, однако практи- чески также не всегда применим из-за необходимости сбора и обработки достаточно больших объемов информации, которые не всегда доступны ввиду дороговизны наблюдений или "редкости"и неоднородности рисковых событий и т.п. Третий способ страдает очевид-

88

ным недостатком субъективностью. Однако, когда нет объективных теоретических предпосылок для моделирования вероятностей в рамках рассматриваемой рисковой ситуации и нет возможности собрать достаточно представительную статистику о рассматриваемой ситуации, приходится прибегать к использованию "субъективных вероятностей"для построения модели. Однако, субъективные вероятности также не могут быть выбраны произвольно, чтобы не привести к противоречиям. Их выбор подчинен определенным ограничениям, формулируемым, например, в терминах относительных правдоподобий (см. [1]), которые, кстати, используются для их измерения в рамках теории экспертных оценок.

С точки зрения моделирования, как уже отмечалось выше, риски традиционно делят на:

индивидуальные риски и

коллективные риски.

В свою очередь индивидуальные риски будем разбивать на

простые риски и

составные риски.

К простым рискам мы относим модели отдельных достаточно "простых"рисковых ситуаций, в которых время до наступления рискового события и величина ущерба могут быть оценены индивидуально. К моделям составных рисков относятся ситуации, в которых риск проявляется многими возможными событиями и приводит к многочисленным последствиям. В этом случае его целесообразно разложить на составляющие, для которых используются модели индивидуальных рисков. Наконец, к третьему классу моделей (коллективных рисков) относят (быть может не совсем удачно, но традиционно) модели, в которых изучается последовательность наступления рисковых событий с соответствующими ущербами. Такие явления изучаются с помощью процессов рисков.

Кроме того, в соответсвии с рассматриваемым временным интервалом модели рисков (и как будет видно в дальнейшем их страхования) можно классифицировать на:

89

краткосрочные, в которых вероятность наступления рискового события невелика, а инфляционные процессы не оказывают существенного влияния на оценку величины ущерба;

среднесрочные, в которых вероятность наступления рискового события существенна, но отлична от 1, и при оценке величи- ны ущерба необходимо учитывать инфляционные процессы в экономике; и

долгосрочные, в которых вероятность наступления рискового события равна 1, и необходима переоценка ущерба на момент принятия решений относительно предупредительных мер по риску.

Что касается ущерба, то его величина не обязательно оценивается в денежных единицах и может быть представлена несколькими показателями. В простейшем случае, когда он выражается в денежных единицах, это обычная СВ, но может быть и многомерной СВ или случайным элементом в более широком фазовом пространстве. В дальнейшем мы ограничимся в основном случаем ущерба, измеряемого в денежных единицах. Заметим, что в задачах страхования рисков реальная величина ущерба обычно заменяется его страховой компенсацией, что несколько упрощает проблематику актуарных исследований.

Все дальнейшее изложение так или иначе посвящено построению моделей рисков и разработке методов их анализа. Применительно к техногенным рискам модели времени наступления рисковых событий были рассмотрены ранее в рамках изучения моделей отказов (Ÿ1).

В следующем параграфе рассматриваются модели простых и составных рисков. Коллективных рисков мы не касаемся в настоящем курсе.

7.5Измерение риска

В предыдущем разделе риск был определен как двумерная СВ (T; X). Таким образом, как для всякой СВ, ее основной мерой яв-

90

ляется ее двумерное распределение

F (t; x) = PfT t; X xg;

(1)

сосредоточенное, естественно, в силу природы явления в первом квадранте плоскости, t 0; x 0. В большинстве реальных слу- чаев, однако, информация о совместном распределении времени наступления рискового события и величины ущерба редко доступна и приходится ограничиваться соответствующими маргинальными распределениями

FT (t) = PfT tg

(2)

времени наступления рискового события и

FX (x) = PfX xg

(3)

величины ущерба.

Если (как в примерах 1, 2, 5) риск рассматривается на фиксированном интервале времени, то вместо времени T наступления рискового события A естественно рассматривать его индикатор 1fAg, а ущерб измерять его условным распределением при условии наступления рискового события,

G(x; A) = PfX xjAg:

При этом безусловная величина ущерба представляется распределением совместным с наступлением рискового события, имеющим ска- чок в нуле (т.к., естественно, что при отсутствии рискового события величина ущерба равна нулю),

FX (x) = 1 P(A)(1 G(x; A)):

где P(A) вероятность наступления события A. Вообще, естественно измерять риск распределением момента наступления рискового события FT (t) = F (t) = F (t; 1) и условным распределением ущерба при его наступлении,

G(x; t) = PfX xjT = tg:

(4)