REL исходный с п

31

Аналогично для коэффициента простоя в пределе получаем

lim Kï(t) = kï =		MT10			:	(26)
		MT		+ MT 0
t	!1		1
				1

Другие характеристики надежности восстанавливаемых систем и методы их расчета будут рассмотрены в x 5 при изучении надежности резервируемых систем с восстановлением.

2.4Примеры. Упражнения

Пример 1. Пуассоновский процесс.

Рассмотрим процесс восстановления с показательно распределенными длительностями безотказной работы мгновенно восстанавливаемых элементов. Согласно вычислениям по формуле (3) распределение моментов отказов Sn при этом задается формулой

		n	( t)k
	PfSn tg F n(t) = 1 e t	X			(27)
				:
		k=0	k!

Распределение числа восстановлений, вычисленное по формуле (7), имеет вид

	( t)n
PfN (t) = ng pn(t) =		e t:	(28)
	n!

Для преобразования Лапласа плотности восстановления согласно (13) имеем

~

h(s) =

~
f (s)	=		;	(29)
~		s
1 f (s)

откуда для плотности и функции восстановления получим выражения

h(t) = ; H(t) = t:

(30)

Таким образом, интенсивность отказов пуассоновского процесса совпадает с опасностью отказа отдельного элемента и параметром показательного распределения длительности безотказной работы элементов.

32

Наконец, вычисления, проведенные по формуле (21) с учетом формул (22) и (23) показывают, что распределения возраста и остаточной длительности жизни элементов для этого процесса не зависят от времени и совпадают с исходным,

PfZ (t) xg = 1 e x:

(31)

Напомним в связи с этим упоминавшийся при определении вели- чин парадокс. Действительно, так как величины Z (t) имеют одинаковое распределение, совпадающее с распределением интервала между моментами отказов, то согласно формуле (19) имеем, напри-

ìåð,

MZ (t) + MZ+(t) = MTN (t)+1;

откуда 1 + 1 = 1. Противоречие возникает из-за того, что интервалы со случайным индексом распределены иначе, чем интервалы с фиксированным индексом.

Пример 2.

Вычислим зависимость интенсивности потока отказов от времени для восстанавливаемого изделия с частотой отказов из примера 1.2 x 1. Воспользуемся формулой (13), для чего найдем преобразование Лапласа частоты отказов f (t):

	1	1	1
f~(s) =	Z0	f (t)e stdt = Z0	c1 1e 1te stdt + Z0	c2 2e 2te st dt

11

= c1 1 Z0	e t( 1+s)dt + c2 2 Z0	e t( 2+s)dt =	c1 1	+	c2 2	:
			1 + s		2 + s

Подставляя полученное значение в формулу (13), находим

~

h(s) =

=

~		s(c1 1 + c2 2) + 1 2
f (s)	=					=
~		s[s + 1(1 c1) + 2(1 c2)]
1 f (s)
c1 1 + c2 2			+			1 2	:
s + 1(1 c1) + 2(1 c2)				s[s + 1(1 c1) + 2(1 c2)]

33

Для нахождения функции h(t) вычислим обратное преобразование

~

Лапласа функции h(s). Корнями знаменателя будут

s1 = 0; s2 = (1 c1) 2(1 c2):

Откуда с помощью таблиц обратных преобразований Лапласа найдем

h(t) = (c1 1 + c2 2)e [ 1 (1 c1)+ 2 (1 c2)]t +

+ 1	2	" 1		(1 c1) + 2(1 c2)		1(1 c1) + 2(1 c2) #:
				1		e [ 1(1 c1)+ 2 (1 c2)]t

После преобразований окончательно получим

h(t) = 1c2		+ 2c1 " 1 2 + c1c2( 1 2)2e ( 1 c2+ 2c1 )t#:
		1

Пример 3. Альтернирующий процесс восстановления.

Рассмотрим работу восстанавливаемой системы с учетом времени замен (см. Ÿ2.3). Обозначим через F (t) и G(t) ФР длительностей безотказной работы Tn и восстановления Tn0 соответственно,

F (t) = PfTn tg; G(t) = PfTn0 tg:

Поведение системы с точки зрения ее надежности можно представить с помощью случайного процесса fX(t)g, принимающего два значения 0 и 1,

X(t) =

1; если система находится в работоспособном состоянии,

0; если она не работоспособна.

Определенный таким образом случайный процесс называется

альтернирующим процессом восстановления.

Если предполагать, что в начальный момент система исправна, то ее отказы происходят в моменты

	X
S1 = T1; S2 = (T1 + T10) + T2; : : : ; Sn+1 =	(Ti + Ti0) + Tn+1;
	1 i n

	34
а восстановления соответственно в моменты	X
S10 = T1 + T10; S20 = (T1 + T10) + (T2 + T20); : : : ; Sn0 +1 =	(Ti + Ti0):
1	i n+1

Естественно, что среднее число отказов и восстановлений при этом описывается функцией восстановления, определяемой после-

00 0 ~

довательностью НОР СВ Tn = Tn + Tn. Если через f (s) и g~(s) и обозначить производящие функции (ПФ) длительностей безотказной работы и восстановления соответственно, то согласно (13) и с учетом того, что ПФ суммы СВ равна произведению ПФ слагаемых, преобразование Лапласа плотности восстановления такого процесса восстановления равно

	~	~
		f (s)~g(s)	:
	h(s) =
		~
		1 f (s)~g(s)

Используя это выражение можно вычислить и другие характеристики этого процесса.

Вычислим, в частности, вероятности состояний процесса в произвольный момент времени. Обозначим через 0(t) è 1(t) вероятности состояний рассматриваемого процесса,

i (t) = PfX(t) = ig (i = 0; 1):

Заметим, что в момент времени t система может находиться в исправном состоянии в том и только том случае, если либо

а) до момента t не было отказов, либо

б) последний перед моментом t отказ произошел в момент u t, а после этого момента отказов не было.

Тогда используя рассуждения, аналогичные тем, что были приведены в разделе 2.2, для вероятностей состояний нетрудно вывести выражения

Z t

1(t) = Pf0 t T1g + Pft u T1gh(u) du: (32)

0

Выражение для 0(t) можно получить аналогичными рассуждениями или используя очевидное соотношение

0(t) + 1(t) = 1:

35

Переходя в соотношении (32) к преобразованию Лапласа и учи- тывая, что преобразованием Лапласа функции надежности изделия

Pf0 t T1g = 1 F (t) = R(t)

является		~
R~(s) =		1 f (s)
		s
найдем		~
~1(s) =		1 f (s)		:	(33)
		~
	s(1 f (s)~g(s))

Наконец, используя связь между асимптотическим поведением функции на бесконечности и ее преобразования Лапласа в нуле, най-

	дем, например, с помощью правила Лопиталя
	lim 1	(t) = lim s~1(s) =	F	:	(34)
			F + G
	t!1	s!0

Упражнения ([6], стр. 207 212).

1.Найти среднее число восстановлений изделия за время t и в единицу времени при показательных законах распределения времени безотказной работы с параметром и длительности восстановления

ñпараметром .

2.В условиях предыдущей задачи рассмотреть случай, когда время безотказной работы подчинено закону распределения Эрланга с

плотностью

f (t) = 2te t:

3. Найти коэффициент готовности kг вычислительной машины, состоящей из n блоков с интенсивностями отказов i (i = 1; n) è èí-

тенсивностями восстановлений i (i = 1; n), в предположении об их одновременной работе и возможностей одновременного восстановления, а также о показательности распределений времени безотказной работы всех блоков и их восстановлений.

	Ответ:
	n	i
	Y
	kã =		:
		i + i
	i=1

36

Ÿ 3 Статистический анализ надежности изделий

Рассмотренные в предыдущем параграфе характеристики надежности изделий редко бывают известны на практике. В лучшем слу- чае относительно закона распределения длительности безотказной работы изделия может быть известна его принадлежность какомулибо классу распределений. Это приводит к необходимости оценивания показателей надежности изделий статистическими методами по наблюдениям. Ввиду важности проблемы и разнообразия возможных способов наблюдения и процедур проведения испытаний на надежность этот раздел представляет специальное направление теории надежности, из которого мы можем привести здесь лишь основные понятия.

Математическая статистика является дисциплиной, которая занимается разработкой методов оценивания неизвестных распределений и их параметров и проверки различных гипотез о них по наблюдениям. Поэтому исходными данными для любого статистического анализа являются результаты наблюдений (измерения) значений исследуемых величин. Применительно к задачам оценки надежности изделий такими наблюдениями могут быть измерения длительностей безотказной работы изделий, количества отказов однотипных изделий за фиксированное время наблюдений и т.п. При этом наблюдения могут быть либо пассивными, либо специально спланированными. В любом случае методы статистического анализа данных и извлечения из них максимальной информации о характеристиках надежности изделий зависят от доступной информации и способов проведения испытаний на надежность. Поэтому рассмотрим сначала некоторые возможные планы испытаний на надежность.

3.1Наблюдения и планы испытаний на надежность

Наблюдения (пассивные испытания) и спланированные (активные испытания) на надежность изделий могут проводиться различными способами: либо в течение некоторого фиксированного времени

37

t0, либо до момента наступления некоторого фиксированного, скажем, n-го отказа. При этом испытаниям могут быть подвергнуты одновременно несколько n0 образцов изделия или наблюдения ведутся только за одним образцом. По мере отказов образцы могут заменяться однотипными (восстанавливаться) или нет. Кроме того, в результате наблюдений по тем или иным причинам могут фиксироваться точные значения моментов отказов si или интервалов ti = si si 1 между отказами или только количества ni = n( ti ) отказов за некоторые промежутки времени ti и т.п. Все эти различия в способах наблюдений за показателями надежности требуют различного подхода к их обработке. Мы приведем здесь лишь краткий обзор возможных планов испытаний на надежность и методов обработки соответствующей статистической информации, отсылая читателя за дальнейшими более глубокими сведениями к специальной литературе в частности к монографиям [2,3,9]. Приведем снача- ла статистические оценки основных показателей надежности невосстанавливаемых изделий.

3.2 Статистические оценки показателей надежности невосстанавливаемых изделий

Если имеются независимые измерения t1; t2; : : : tn длительностей безотказной работы n идентичных изделий, то статистической оценкой ФР длительности безотказной работы является ее эмпирическая или выборочная, функция распределения (ЭФР), которая определяется соотношением

Fn (t) =			1		[число отказавших изделий до момента t]:	(1)
				n
Соответственно, эмпирическая функция надежности равна
1			[число не отказавших изделий до момента t]:			(2)
Rn(t) =
	n

Эмпирические функции распределения времени безотказной работы и надежности наряду с теоретическими приведены на рис. 3.1

Статистической оценкой плотности распределения является гистограмма, которая применительно к задачам надежности называ-

38

ется также частотой отказов. Для ее построения интервал между наименьшим и наибольшим наблюдениями, размах выборки, R =

max ti min ti, разбивается на некоторое число k < n (обычно

1 i n 1 i n

равных) отрезков i ; i = 1; 2; : : : ; k и строится ступенчатая функ-

öèÿ	^	(см. рис. 3.2) с высотами ступенек				ni	, ãäå ni	число
	fn(t)					n i
наблюдений, попавших в интервал i ,
		^	ni		ïðè t 2 i :			(3)
		fn(t) =		;

рис. 3.1. Эмпирическая функция распределения времени безотказной работы и эмпирическая функция надежности.

рис. 3.2. Частота fn(t) отказов.

39

Статистическая оценка опасности отказа вычисляется по форму-

ëå

^	^		ni
	fn(t)				(4)
n(t) =		=		;
	^		n(t)j i j
	Rn(t)

где n(t) число изделий, не отказавших к моменту t, j ij длина

^

интервала i . Функция n (t) наряду с частотой отказов вычисленная по данным примера 1 в разделе 3.4 представлена на рис. 3.4 (см. далее раздел 3.4).

Наконец, оценками среднего и дисперсии времени безотказной работы являются величины

	1	X	^		1
			2	2		X	2		(5)
^T = mT = t =	n	1 i n ti	T	= ST =	n	1 i n(ti t)		:

Однако при проведении стендовых испытаний и в реальной практике регистрации отказов фактические точные моменты отказов ча- сто не фиксируются, а наблюдаются лишь числа ni отказавших изделий в некоторых интервалах времени i = [ti 1 ; ti), т.е. материал для обработки фактически уже представляется в сгруппированном для построения гистограммы виде. При этом вычисления для частоты и опасности отказов производятся по тем же самым формулам (3)(4), как и ранее, а для вычисления эмпирических функций распределения и надежности, а также оценок средней наработки на отказ и ее дисперсии необходимы поправки. При этом эмпирические функции целесообразно сглаживать (линейно интерполировать) между точками ti 1 è ti, а при вычислении средней наработки и дисперсии на отказ относить наблюдения к центру интервала t^i = 12 (ti 1 + ti ), что приводит к формулам

	1	^	^		1	^
		X	2	2		X		2		(6)
^T = mT = t =	n	1 i n ti	T	= ST =	n	1 i n(ti t)			:

Согласно одному из основных законов теории вероятностей закону больших чисел при увеличении объема n выборки указанные статистические характеристики сходятся к соответствующим теоретическим величинам, что и позволяет измерять параметры надежности статистическими методами.

40

Методика расчетов характеристик надежности невосстанавливаемых изделий по статистическим данным продемонстрирована на примере 1 из ([4], стр. 23) в разделе 3.4. В этом же приведены статистические данные для самостоятельной оценки характеристик надежности невосстанавливаемых изделий.

3.3Статистический анализ надежности восстанавливаемых изделий

Аналогично невосстанавливаемым изделиям основные показатели надежности восстанавливаемых изделий также могут быть оценены статистическими методами путем пассивного (по результатам регистрации отказов работающего изделия) или активного (специально спланированного, стендового) эксперимента. Заметим, что основное различие как пассивных, так и стендовых испытаний на надежность невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий состоит в том, что в первом случае в испытаниях участвует переменное число n(t) изделий, так как в процессе эксперимента некоторые из фиксированного в начальный момент числа n(0) = n0 изделий отказывают и уходят из эксперимента, тогда как во втором случае отказавшие изделие заменяются новыми, т.е. в эксперименте постоянно участвует фиксированное число n = n0 образцов.

При наличии независимых наблюдений за длительностями безотказной работы отдельных образцов t1; t2; : : : tn оценки основных показателей надежности, таких как ФР длительности безотказной работы, функция надежности, частота отказов, для восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий совпадают. Остановимся на различиях.

Основной дополнительной характеристикой восстанавливаемых систем является интенсивность потока отказов h(t). Ее оценка вы- числяется по формуле

^	ni	ïðè t 2 i ;	(7)
h(t) =	n j i j

где, как и ранее, ni число отказавших изделий в интервале времени i, j i j его длина и n постоянное число участвующих в эксперименте образцов. Заметим, что хотя эта формула по форме