REL исходный с п

151

в случае разовой выплаты в момент T1 наступления страхового случая

Y = bv T1 = be T1

(4)

в случае пожизненной ренты после наступления страхового случая

	b			b
Y = b(vT1 + : : : + vT ) =		vT1	(1 vT2 ) =		e T1	(1 e T2 )	(5)
	i			i

13.3Расчет нетто-премии

Расчет нетто-премии в моделях долгосрочного и среднесрочного страхования также как и в моделях краткосрочного страхования опирается на принцип эквивалентности платежей, который, однако,

âэтом случае сводится к следующему. Если страховые премии размеров p1; p2; : : : ; pn вносятся в моменты времени T1; T2; : : : ; Tn, а выплаты страховой компенсации производятся в размерах b1; b2; : : : ; bk

âмоменты t1; t2; : : : ; tk , то справедливое соотношение между страховыми премиями и последующими выплатами дается формулой

M[1vT1 + 2vT2 + : : : + nvTn ] = M[b1vt1 + b2vt2 + : : : + bk vtk ]; (6)

где математические ожидания M вычисляются относительно распределений, участвующих в этой формуле величин.

Ввиду многообразия возможных типов договоров, расчет страховых премий произведем на модельном примере страхования нефтяных скважин от истощения (см. пример 10.5.4 и [5]). При страховании скважин против истощения как страховые отчисления, так и страховые выплаты осуществляются в течение довольно продолжительного промежутка времени, а, как известно, с течением времени ценность денег изменяется, что необходимо учитывать при построении модели. Поэтому наша модель существенно опирается на теорию сложных процентов (см. x11, а также, например, [1]). Обозначим че- рез i = e 1 эффективную годовую процентную ставку, где интенсивность процентов, v = 1=(1 + i) коэффициент дисконтирования, d = 1 v = i=(1 + i) ставка дисконтирования.

152

Суть договора заключается в том, что из доходов, которые приносит скважина в период ее работы при дебите Q > Q до наступления страхового случая в течение времени t , с фиксированной периодичностью осуществляется выплата страховых премий размера p в Фонд, а после наступления страхового случая, когда Q(t) Q , в течение T t лет до прекращения эксплуатации скважины производятся выплаты страховой компенсации размера b. Мы рассматриваем модель страхования, в соответствии с которой как страховые взносы, так и выплаты страховой компенсации производятся с периодичностью раз в год, хотя несложно произвести расчеты и при выплатах с периодичностью раз в квартал или раз в месяц (при этом изменятся лишь значения различных коэффициентов модели).

Таким образом, пусть выплаты страховой компенсации производятся в моменты времени [t0 + t ]; [t0 + t + 1]; : : : ; [t0 + T ], тогда для расчета премии можно воспользоваться схемой ежегодной упреждающей ренты, отсроченной на [t ] лет, со случайным числом n = [T t + 1] выплат.

Для расчета нетто-премии воспользуемся принципом эквивалентности финансовых обязательств и определим сначала согласно (6) обязательства страховой компании перед застрахованным лицом. Для этого нам необходимо рассчитать сначала приведенную на момент заключения договора [t0] стоимость [t ]Y[t0 ] (здесь и далее используются принятые в финансовой математике обозначения) вы-

плат страховой компенсации, которая равна
[t	0;		] vd	åñëè [T ] < [t ];	(7)
	]Y[t0] = b v[			; åñëè [T ] [t ].
		t	[T t +1]

Среднее значение M[t ]Y[t0 ] этой величины, которое называется актуарной приведенной на момент [t0]] стоимостью договора удобно представить в виде M[t ]Y[t0 ] = b[t ]a[t0], а для вычисления коэффициента задержанной ренты [t ]a[t0] представим его в виде

[t ]

[t0

]

d

h

T t

i

a

=

1

M

vt

vT t +1

1

=

1

=

M h1 vT t +1 1 vt

i 1T t =

d

153

=

1

+1i

1

+1

1T <t +

d M h1 vT t

d hM 1 vT t

+

M 1 vt

1T t i = a[t0 ] a[t0]:[t ];

(8)

где величины a[t0] è a[t0 ]:[t ] вычисляются по формулам

a

= M

1 vT t +1

= 1

M

vT t +1

;

[t0

]

d

d

è

T

t +1

t

a[t0]:[t ]

= M

1 v

1t >T +

1 v

1t T

d

d

При вычислении этих величин, конечно, следует использовать соответствующую функцию распределения фактической продолжительности действия договора.

Так как принцип эквивалентности обязательств предполагает равенство обязательств страховщика и страхователя, то необходимо вычислить обязательства застрахованного, которые состоят в выплате страховых премий в течение промежутка времени t . В данном случае страховую премию можно рассматривать как пожизненную временную ренту размера p(n), выплачиваемую страховой компании. Поэтому актуарная приведенная на момент заключения договора t0 стоимость потока страховых платежей единичного размера a[t0]:[t ] рассчитывается по формуле

	a[t0 ]:[t ] =	1 A[t0 ]:[t ]	:	(9)
		d

На основании принципа эквивалентности обязательств мы можем приравнять выражения (8) и (9) и записать

p(n)a[t0]:[t ] = b [t ]a[t0]

для любого b, чтобы найти из этого уравнения нетто-премию p(n) â

	âèäå	[t ]a[t0 ]
	p(n) = b		:	(10)
		a[t0]:[t ]

154

13.4Расчет страховой нагрузки

Однако, хотя нетто-премия в среднем и обеспечивает равенство платежей компании и застрахованного, компания берет на себя риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей придется выплачивать сумму, большую той, которая ожидалась. Застрахованный же такого риска не несет, поэтому для защиты от слу- чайных флуктуаций продолжительности работы скважины, неттопремия должна быть определенным образом нагружена страховой надбавкой p(s).

Таким образом, в общем случае, премия p рассчитывается как сумма нетто-премии p(n) и страховой надбавки p(s) èëè

p = p(n) + p(s) = p(n)(1 + );

(11)

где коэффициент страховой нагрузки.

Итак, пусть месторождение разрабатывается n скважинами и пусть владелец месторождения заключил n страховых договоров по каждой из скважин с некоторой страховой компанией. При расче- те страховой нагрузки p(s) ограничимся, как отмечалось выше, моделью индивидуального риска, когда компания имеет конечное, но достаточно большое число страховых договоров, например, это число равно числу застрахованных скважин n. При расчете страховой нагрузки p(s), как и в случае краткосрочных моделей страхования, будем исходить из условия малости вероятности разорения компании,

= PfSn > n(p(n) + p(s))g :

(12)

При этом в предположении о независимости величин ущербов Xi по всем договорам с математическим ожиданием MXi = X и дисперсией DXi = X2 для расчета вероятности разорения можно воспользоваться нормальной аппроксимацией суммарного иска. Полагая, что нетто-премия рассчитывается из условия эквивалентности платежей и в среднем покрывает расходы страховой компании,

MSn = np(n), для вероятности разорения

с помощью ЦПТ найдем

= P

S

> n(p(n) + p(s))

= P

Sn MSn

>

np(s)

=

f

n

g

pDSn

pn

				155
)
= 1	p(s pn		:	(13)

Выбирая для заданного соответствующий квантиль c1 нормаль-

ного распределения так, чтобы выполнялось неравенство										= 1
	p(s) p
		n
(			) , èëè (c1 ) 1 , получим оценку для страховой
нагзузки						X c1
				(s)
			p			p			;	(14)
							n

или выражая страховую нагрузку в долях (процентах) от неттопремии, p(s) = p(n), для коэффициента страховой нагрузки полу-

чим выражение	c1 X
=	X p			:	(15)
		n

Для грубой оценки этой величины, как и ранее, можно воспользоваться правилом 3 , согласно которому вероятность отклонения нормально распределенной СВ от своего среднего больше, чем на три стандартных отклонения, не превышает 0:1%. Используя это приви-

ло получим 3 :

pn

Определив размеры нетто-премии и страховой нагрузки по выше приведенным формулам, можно рассчитать и размер полной страховой премии,

p = b a[t0]:[t ]	1 +	X pn	:	(16)
[t ]a[t0]		c1 X

13.5Примеры. Упражнения

Приведем пример расчета страховой премии применительно к модели страхования скважин от истощения, приведенной в разделе 10.5 (пример 4), выбирая в качестве распределения длительностей t до наступления страхового случая и T до закрытия скважины смесь соответствующих распределений вида:

s1	(t);	åñëè t0	< t < t0 + t	;
s(t) = s2	(t);	åñëè t0 + t < t < t0		+ T;	(17)

156

параметры которой могут определяться, например, с помощью метода моментов, исходя из статистики продолжительности работы скважин при дебитах Q > Q и Q < Q .

В предыдущих разделах мы рассматривали случай дискретных рент, которые наиболее часто распространены на практике. Здесь же рассмотрим в качестве примера непрерывный случай, так как чтобы перейти от непрерывного случая к дискретному, необходимо всего лишь соответствующим образом интерполировать функцию выживания s(t).

Приведем явные формулы для расчета вышеприведенных вели- чин через функцию выживания:

				1	1
[t ]a[t0] = a[t0] a[t0 ]:[t ] =					Zt0+t	v[u] s(u) du;	(18)
		v[t0		]s([t0])
	1			[t0+t ]
a[t0]:[t ] =				Z[t0]	v[u] s(u) du:		(19)
	v[t0]s([t0])

Оценим величину страховых премий при ставке процента i = 25%, ежегодных выплатах компенсации b = 100000 у.е. в год, если среднее время, в течение которого скважина работает с дебитом Q > Q , равно 30 годам, а среднее время, в течение которого она работает при дебите Q < Q , равно 5 годам. Тогда если принять за начальный момент времени t0 = 0, то имеем Mt = 30, MT = 35. Используя для простоты функцию выживания, описываемую законом де Муавра (равномерное распределение), имеем

p = 100000	[30]a[0]	= 100000	0:002	= 49:01;
	a[0]:[30]		4:08

так как в этом случае [30]a[0] = 0:002 è a[0]:[30] = 4:08.

Таким образом, чтобы получать компенсации в размере 100000 у.е. рублей каждый год в течение пяти лет, достаточно вносить в течение тридцати предшествующих лет всего по 49 у.е. в год.

Упражнения.

1. Вычислить страховую нетто-премию по договору страхования со средней страховой компенсацией в 104(::) в результате риска,

157

наступающего в показательно распределенный момент времени со средним значением 1 = 1000() при условии ежемесячных взносов страховой премии под 10% годовых.

2. Вычислить начальный капитал u страховой компании, обеспечивающий вероятносмть разорения не больше, чем = 10 4 на портфель договоров в 1000 единиц со средним значением страховой выплаты = 100(::) и дисперсией 2 = 400(::)2 при страховой нагрузке в 1% от нетто-премии.

Литература к главе III

[1]N. L. Bowers Jr., Y.U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbitt. Actuarial Mathematics. Publ. by The Society of Actuaries, 1986.

[2]C. Dayken, T. Pentikainen, M. Pesonen. Practical Risk Theory.

[3]Г.И. Фалин, А.И. Фалин. Введение в актуарную математику. М.: Изд. МГУ, 1994

[4]Г.И. Фалин. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Изд. МГУ, 1996.

[5]В.В. Рыков, Е.А. Василевская. Мщдели страхования месторождений нефти против истощения. Вестник РУДН, сер. Прикладная математика и информатика, • 1, 1998, стр. 115-123.

[6]Г.П. Башарин. Начала финансовой математики. М.: "ИНФРА- М", 1997. 158с.

[7]В.Б. Кутуков. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М.: Изд. "Дело", 1998.

[8]Е.М. Четыркин. Пенсионные фонды. М., 1993.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица 1.1. Законы надежности изделий и их характеристики

Наименование за-

Функция надежности

Частота отказов

Опасность отказов

Наработка

íà îò-

êîíà

каз, Дисперсия

Показательный

1

1

e t

e t

;

2

Hормальный

t

2

;

e

(t )2

e

(t )2

2 2

2 2

p

2

p

2

Вейбула-Гнеденко

e t

t 1 e t

t 1

1 +

1

1 +

2

1

;

1

Гамма

;

1 x 1

(t) 1

(t) 1 e t

2

Zt

e x dx

e t

( )

( )

t1 x 1 e x dx

R

Логарифмически -

p2t

e (ln2 2

)

нормальный

ln t

e

2 2

t

2

e( +

2

)

(ln t )2

2

p2 t

ln t

Релея

t2

t

t2

1

e

e

r

2 2

2 2

2

2

2

Равномерный

a + b

1

1

b t

1

fa t bg

1

fa t bg

1

fa t bg

2

b t

b a

b a

Степенной

1

1

1

1 +

t

1

1 +

t

+1

1 +

t

Таблица 3.3. Исходные данные к задачам 11 25

						Исходные данные									ответ
	n1	t1 ()	n2	t2 ()	n3	t3 ()	n4	t4 ()	n5	t5 ()	n6	t6 ()	n7	t7 ()
															tcp ()
11	1	300	3	600	2	400	-	-	-	-	-	-	-	-	216
12	3	90	6	270	4	140	5	230	3	180	-	-	-	-	43
13	12	960	15	1112	8	808	7	1490-	-	-	-	-	-	-	104
14	6	144	5	125	3	80	8	176	5	150	4	112	8	216	25.7
15	8	176	5	150	4	112	8	216	-	-	-	-	-	-	26
16	6	144	5	125	3	80	-	-	-	-	-	-	-	-	25
17	10	1020	18	2700	26	3120	32	4000	24	3480	16	2080	-	-	130
18	32	4000	24	3480	16	2080	-	-	-	-	-	-	-	-	133
19	10	1020	26	3120	24	3480	18	2700	-	-	-	-	-	-	132
20	18	2700	32	4000	24	3480	16	2080	-	-	-	-	-	-	136
21	3	720	4	1040	2	500	6	1800	-	-	-	-	-	-	271
22	1	300	3	600	6	2300	7	2450	5	1200	2	540	4	770	291
23	5	1500	8	1920	3	180	4	680	3	1290	2	2200	10	1500	265
24	3	1650	2	1200	4	2300	-	-	-	-	-	-	-	-	572
25	5	72	4	60	7	92	8	96	4	50	3	42	6	78	13

Таблица 6.1. Основные характеристики надежности дублированных систем с восстановлением и без восстановления резерва.

Вариант

Нагруженный

Облегченный

Ненагруженный

Коэффициен-

= ; = 1

= ;

=

= ; = 0

òû

Параметры

Обозначение

Значение

i

(2 i)

[ + (1 i) ]1i<2

1i<2

(a) i

1i>0

1i>0

1i>0

(b) i

i

i

i

(c) i

20 =

20 =

20 =

Характеристики систем с восстановлением резерва

Обозначение

Вероятности отказа

(a)

p:

2[2(1 + ) + 2] 1

(1 + )[(1 + )(1 + ) + 2] 1

[1 + + 2] 1

(b)

p:

2[2(1 + 2 ) + 2 2] 1

(1 + )[(1 + )(1 + 2 ) + 2 2] 1

[1 + 2 + 2 2] 1

(c)

p:

2[2(1 + ) + 2] 1

(1 + )[(1 + )(1 + ) + 2] 1

[1 + + 2] 1

( =

)

Обозначение

Функции надежности до первого отказа

Rf (t)

2 e s1 t

1 s1 e r t

s1r e s1 t

1 s2 e r t

2 e s1 t

1 s1 e r t

2

s1

s1r

s2

s1r

s2

s1;2

21 (3 + p

(1 + )2 + 4

21 (2 + + p

( + )2 + 4

21 (2 + p

2 + 4

)

r = s2 s1

p

(1 + )2 + 4

p

( + )2 + 4

p

2 + 4