REL исходный с п

101

называется производящей функцией вероятностей (ПФB) СВ N и

ее распределения fpk ; k = 0; 1 : : :g.

Замечание. Название этих функций связано с тем, что при разложении ПФМ в ряд Тейлора в окрестности точки s = 0 коэффициентами разложения являются (с точностью до знака) моменты СВ X, а при разложении ПФВ в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 коэффициентами разложения является с точностью до известных множителей распределение вероятностей СВ N .

Хотя ПФМ и ПФВ определяются по разному и для различных, СВ между ними существуют тесные связи и обе они связаны с еще одним видом преобразований распределений СВ характеристиче- скими функциями. Мы не будем касаться этих связей, т.к. они нам в дальнейшем не потребуются. Несмотря на различие в определении,

âдальнейшем обе эти функции будем называть просто производящими функциями (ПФ).

Использование ПФ опирается на их свойства, которые выражены

âследующих теоремах.

Теоpема 1. 1) ПФ g~(s) любой неотрицательной СВ X однозначно определена всюду в правой полуплоскости комплексной переменной s, Re s 0. ПФ p(z) любой целочисленной СВ однозначно определена в круге единичного радиуса комплексной переменной z, jzj 1. Слова однозначно означают, что соответствующие распределения однозначно восстанавливаются по своим ПФ.

2) ПФ суммы независимых СВ равны произведению ПФ слагаемых. Другими словами ПФ свертки распределений равна произведению ПФ отдельных распределений.

Доказательство можно найти в любом учебнике по теории вероятностей, и мы опускаем его. |

Еще одно полезное свойство ПФ связано с вычислением сумм случайного числа независимых случайных слагаемых. Это свойство опирается на следующую теорему.

Теоpема 2. Если p(z) ПФ числа ущербов N , а g~(s) ПФ НОР ущербов Xi, òî ÏÔ g~Y (s) составного ущерба (5)

N

X

Y = Xi

i=0

102

равна

g~Y (s) = p(~g(s)):

(12)

Доказательство получается простыми вычислениями с помощью формулы полной вероятности и условия (3) независимости СВ

Xi è N ,

1		1
X		X
g~Y (s) = Me sX =	pk M e sY jN = k] =	pk g~k (s) = p(~g(s)): |
k=0		k=0

С прикладной точки зрения полезно знать условное распределение величины ущерба при условии наступления рискового события,

которое задается формулой (11). Вычислим его ПФ
g~^	(s) = M[e sY N	1] =	1	1 p g~k (s) =		p(~g(s)) p0			: (13)
Y	j			X	k	1		p0
			p0 k=1

Эти свойства производящих функций широко используются при вычислении различных характеристик составных распределений. В разделе 8.6 "Примеры. Упражнения"приводятся примеры вычисления таких характеристик.

8.4Модели составных ущербов

Модели составных ущербов связаны с распределением количества рисков. В таблице 8.2 в конце этого параграфа приведены некоторые модели распределений дискретных величин, которые часто используются в качестве распределений количества рисков. Приведем несколько таких распределений вместе с их ПФ, математическими ожиданиями и дисперсиями.

Распределение Бернулли,

pk = pk (1 p)1 k ; k = 0; 1; p(z) = 1 p(1 z);

= MX = p; 2 = DX = p(1 p):

103

Геометрическое распределение,

p

k

= (1

p)pk ;

k = 0; 1; 2; : : : ;

p(z) =

1 p

;

1

pz

p

2 = DX =

p

= MX =

;

:

(1 p)2

1 p

Распределение Пуассона,

pk =

k

e ;

k = 0; 1; 2; : : : ;

p(z) = e (1 z);

k!

= MX = ;

2 = DX = :

Биномиальное распределение,

p(z) = (1 p(1 z))n;

pk =

k pk (1 p)n k ; k = 0; 1; : : : ; n;

n

= MX = np;

2 = DX = np(1 p):

Отрицательное биномиальное распределение,

pz

pk =

k

1

pk (1 p) ; k = 0; 1; : : : ;

p(z) =

1

:

+ k

1

p

= MX =

p

;

2 = DX =

p

;

(1 p)2

1 p

Определение 4. Составным называется распределение суммы случайного числа независимых одинаково распределенных случайных слагаемых. Рассмотрим некоторые модели таких распределений. Все они образуются как распределения случайных сумм независимых слагаемых с соответствующими распределениями числа членов в сумме.

Составное геометрическое распределение.

104

Это распределение представляет собой распределение случайного (с геометрическим распределением) числа независимых слагаемых. Согласно формуле (12) его ПФ имеет вид

1 p

g~Y (s) = 1 pg~(s)) :

Вычислим, в частности, условное составное геометрическое распределение с показательно распределенными слагаемыми при условии наступления рискового события.

Пpимеp 1. Пусть величины ущербов имеют показательное распределение со средним 1. Тогда согласно (13) с учетом того, что для геометрического распределения p0 = 1 p, а ПФ геометрического и показательного распределений соответственно имеют вид

p(z) =

1 p

è g~(s) =

;

1 pz

s +

его ПФ приводится к виду

(s + p)

s + (1 p)

Y

1 p0

p

g~^ (s) =

p(~g(s)) p0

=

1

(1 p)(s + )

(1

p) =

(1 p)

;

который представляет собой ПФ показательного распределения со средним ( (1 p)) 1. Таким образом, совокупный ущерб при наступлении рискового события с геометрически распределенным (с параметром p) числом рисков и показательно распределенными (с параметром ) ущербами, имеет показательное распределение с параметром (1 p).

Составное распределение Пуассона.

Это распределение представляет собой распределение случайного (с пуассоновским распределением) числа независимых слагаемых. Согласно формуле (12) его ПФ имеет вид

g~Y (s) = e (1 g~(s)) :

Составное биномиальное распределение.

105

Это распределение представляет собой распределение биномиального числа независимых слагаемых. Согласно формуле (12) его

ПФ имеет вид

g~Y (s) = (1 p(1 g~(s)))n :

Составное отрицательное биномиальное распределение.

Аналогично предыдущему случаю, согласно формуле (12), ПФ этого распределения имеет вид

g~ (s) =		(1 p)			:
Y		1 pg~(s)

Рассмотрим теперь способы вычисления моментов составного ущерба.

8.5Моменты составного ущерба

Наиболее удобным методом вычисления моментов распределений является использование ПФ. Действительно, замечая, что

Y = MY = g~Y0 (0); X = MX = g~0(0) è N = MN = p0(1)

имеем

M[Y ] = g~Y0 (0) = p0(1)~g0(0) = M[Y ]M[N ]:

Это значит, что

Y = M[Y ] = M[X]M[N ] = X N :

Далее используя соотношения

Y2 = D[Y ] = M[Y 2] (M[Y ])2 = g~Y00 (0) (~gY0 (0))2;g~Y0 (0) = p0(1)~g0(0) = M[N ]M[X];

g~Y00 (0) = p00 (1)(~g0(0))2 + p0(1)~g00 (0)

è

p00 (1) = M[N 2] M[N ]

106

вычислим дисперсию совокупного ущерба

D[Y ] = g~Y00 (0) (~gY0 (0))2 = p00 (1)(~g0(0))2 + p0(1)~g00 (0) (p0(1)~g0(0))2 =

(M[N 2] M[N ] (M[N ])2)(M[X])2 + M[N ]M[X2] = (M[N 2] (M[N ])2)(M[X])2 + M[N ](M[X2] (M[X])2):

Это значит, что

Y2 = D[Y ] = D[X]M[N ] + (M[X])2D[N ] = N X2 + N2 ( X )2:

В частных случаях, когда M[N ] = D[N ] (например, при пуассоновском распределении), имеет место формула

Y2 = D[Y ] = M[X2]M[N ] = N (2)X ;

ãäå (2)X второй момент СВ X, а в общем случае имеет место оценка

Y2 = D[Y ] M[X2] maxfM[N ]; D[N ]g = (2)X maxf n; N2 g:

С помощью ПФ g~Y (s) составного распределения (12) можно вы- числить моменты более высокого порядка. В частности для третьего центрального момента путем дифференцирования, получаем

g~Y000 (0) = p000 (1)[~g0 (0)]3 + 3p00 (1)~g0 (0)~g00 (0) + p0 (1)~g000 (0):

Замечая, что

g~0 (0) = M[X] = X ; g~00 (0) = M[X2] = (2)X ; g~000 (0) = M[X 3] = (3)X ; p0 (1) = M[N ]; p00 (1) = M[N 2] M[N ]; p000 (1) = M[N 3] 3M[N 2]+2M[N ]

и учитывая, что

M[Y 3] = g~Y000 (0)

è

M (Y M[Y ])3 = M[Y 3] 3M[Y ]M[Y 2] + 2(M[Y ])3;

получаем следующее соотношение

M(Y M[Y ])3 = M(X M[X])3M[N ]+ +3D[N ]D[X]M[X] + M(N M[N ])3(M[X])3:

107

8.6Примеры. Упражнения

Пpимеp 2. Пусть fpk g распределение Пуассона со средним > 0,

pk = k e ; k = 0; 1; 2; :::

k!

Из определения ПФ следует, что

p(z) = e (1 z):

Пpимеp 3. Пусть fp(kj); k = 0; 1; : : :g j = 1; n распределения Пуассона со средними j > 0. Вычислим распределение (свертку)

gk = p(1) ::: p(kn); k = 0; 1; : : : :

Замечая, что ПФ для распределения fp(j)g имеет вид

pj (z) = e j (1 z):

и используя часть 2) теоремы 1 для ПФ g(z) распределения fgk ; k = 0; 1; : : :g имеем

n	k
Y	Y
g(z) =	pj (z) = e j (1 z)
j=1	j=1

òî åñòü g(z) = e ( 1+:::+ n)(1 z): Из части 1) теоремы 1 следует, что fgk ; k = 0; 1; : : :g есть распределение Пуассона со средним 1+:::+ n.

Пpимеp 4. Вычислим с помощью метода ПФ совокупный ущерб. Если g~(s) ПФ распределения величины убытков Xi, то из формулы (12) теоремы 2 следует

g~Y	1		Z	1
	(s) = k=0 pk			e sxg k (x) dx = k=0 pk [~g(s)]k :
	X			X
	1	k	ПФ распределения числа убытков N ,
Пусть p(z) = Pk=0 pk z

определенная на комплексной плоскости, причем jzj 1, тогда

g~Y (s) = p(~g(s)):

108

Упражнения.

1.Выписать ФР, ПФ и вычислить математическое ожидание и дисперсию ущерба договора страхования из примера 1 Ÿ7.6

2.Пусть величина ущерба имеет показательное распределение с параметром и плотностью распределения

g(x) = e x1x 0; > 0;

Вычислить ПФ, математическое ожидание и дисперсию ущерба.

3.Страховая компания страхует клиентов от двух видов страховых случаев, вероятности наступления которых p1; p2 равны соответственно p1 = 0; 25; p2 = 0; 75, а величины страховых выплат имеют вырожденные распределения со скачками в точках b1 = 1000::; b2 = 200:: соответственно. Выписать ФР страховой выплаты страховой компании и вычислить ее среднее значение и дисперсию.

4.Провести соответствующие выкладки, что и в предыдущем примере для случая произвольного числа k страховых случаев с заданными величинами вероятностей pi (i = 1; k) и страховых выплат

bi (i = 1; k).

5. Ущерб нанесенный владельцу автотранспортного средства при дорожно-транспортном происшествии имеет равномерное распределение на отрезке [100::; 10000::]. Вычислить среднюю величину и дисперсию ущерба.

Ÿ9 Методы анализа рисков

9.1Вводные замечания.

Переходя к моделированию рисковых ситуаций необходимо отметить их большое разнообразие. При этом, несмотря на многообразие ситуаций, общая теория может показаться достаточно простой. Однако особенность теории риска как раз и состоит в изучении тонкостей и особенностей конкретных явлений риска, т.к. в них и заложена сущность этой теории и возможности ее применения на практике. Разработка моделей развития рисковой ситуации зависит от конкретных

109

рассматриваемых рисков. Поэтому здесь мы коснемся вопроса их построения и анализа лишь в методологическом плане.

Приведенные в предыдущем параграфе характеристики рисков редко бывают известны на практике, поэтому возникает задача их оценки. В рамках рассматриваемых вероятностных моделей рисков такие оценки можно было бы надеяться получить статистическими методами. Однако особенностью многих рисковых событий является их малая вероятность и, следовательно, практическая невозможность непосредственного статистического анализа. Это приводит к необходимости использования экспертного оценивания рисков или привлечения опосредованного статистического анализа. Другая особенность рисковых событий и явлений состоит в их сложности. Обычно рисковые события являются следствием многих других возможных событий. В частности, в теории надежности аварийная ситуация может возникнуть в результате отказов отдельных устройств или агрегатов, отказа системы управления или ошибки оператора. В свою очередь каждая из этих причин может быть следствием многих других и т.д. Поэтому естественно при анализе рисковой ситуации стараться представить ее в виде совокупности более мелких или простых событий, с тем чтобы через характеристики этих более простых событий оценить показатели совокупного риска. По существу, с вероятностной точки зрения эта процедура представляет собой процедуру построения основного вероятностного пространства рисковой ситуации. С практической точки зрения такая процедура может быть реализована с помощью построения дерева рисковых событий (дерева рисков), или дерева отказов применительно к технологическим рискам.

9.2Методика анализа рисков

Важной частью анализа рисков является построение модели риска, которое с практической точки зрения рассматривается как анализ риска. Методика анализа риска (или составления модели риска) разбивается на несколько стадий и этапов и включает в себя (согласно Хенли и Кумамото [2]):

110

I стадия предварительный анализ рисков 6 , который состоит из нескольких этапов.

1 этап состоит в описании рисков и их источников и вклю- чает в себя:

- описание видов рисков;

- описание источников рисков и разложение рисков по их источникам;

- создание системы ограничений для модели (указание рисков и их источников, заведомо оставляемых за рамками модели).

2 этап состоит в классификации рисков, на этом этапе риски разбиваются на 4 категории:

I класс (категория) пренебрежимые по их последствиям (ущербам) риски;

II класс (категория) граничные риски;

III класс (категория) критические риски;

IV класс (категория) риски с катастрофическими последствиями.

3 этап включает в себя описание предупредительных мер для исключения рисков класса IV и, возможно, классов II

èIII, которые представляются в виде дерева решений.

II стадия выявление последовательности рисков (построение процесса развития рисковых ситуаций).

Методикой для этого является построение дерева рисков, она подробно будет рассмотрена в следующем разделе.

III стадия анализ возможных последствий.

Эта стадия позволяет закончить разметку дерева рисков.

Формально методика может быть реализована в виде построения и анализа дерева рисков, и включает в себя три этапа:

6 на этой предварительной стадии под "риском"понимается его содержательная составляющая, которая в дальнейшем должна быть представлена в виде модели, т.е. двумерной СВ