REL исходный с п

141

Будем в дальнейшем обозначать страховое событие через A или через Ai , если страховым договором предусмотрено несколько таких событий, через IfAi g индикатор события Ai и через Xi величину иска при наступлении страхового случая Ai . Обозначим также че- рез qi = P(Ai ) вероятность события Ai , а через i è i2 условные математическое ожидание и дисперсию величины иска при условии наступления страхового случая,

qi = P(Ai ); i = M[XijAi ]; i2 = D[Xi jAi ]:

(1)

При расчетах характеристик ущерба в моделях краткосрочного страхования часто удобно пользоваться формулами полной вероятности и полного математического ожидания, которые применительно к вычислению математического ожидания и дисперсии имеют вид

M[X]	=	M[M[XjY ]];	(2)
D[X]	=	D[M[XjY ]] + M[D[XjY ]]:	(3)

Здесь внутреннее вычисление производится относительно условного распределения величины X при фиксированном значении Y и определяет некоторую функцию от последней, по распределению которой проводится внешнее усреднение.

В рассматриваемом частном случае полагая Y = I используя обозначения введенных выше (см. формулы (1)) условных моментов СВ Xi и замечая, что M[XjI = 0] = 0 и M[XjI = 1] = , найдем M[XjI] = I; и следовательно,

M[X] = M[M(XjI)] = M[I]

è

D[XjI] = 2D[I] + M[D(XjI)]:

Так как X = 0 при I = 0, мы имеем D[XjI = 0] = 0 и так как D[XjI = 1] = 2 äëÿ I = 1, òî D[XjI] = 2I. Откуда

MD[XjI] = 2D[I] = 2q;

и следовательно, используя общие формулы (2), (3) найдем

M[X] = q; è D[X] = 2q(1 q) + 2q:

(4)

142

Аналогично, при страховании от нескольких, n; страховых случаев имеем

X		X
M[X] =	i qi ; D[X] =	( i2qi (1 qi ) + i2qi ): (5)
1 i n		1 i n

Для пояснения применения общих формул рассмотрим два примера.

Пример 1. Краткосрочное страхование жизни. Возвратимся к примеру 10.5.1. Предположим, что условия страхования таковы, что в случае смерти застрахованного в результате несчастного слу- чая выплачивается страховая сумма в размере b1, в случае смерти по иной причине b2, а вероятности соответствующих событий q1 è q2 соответственно. Пусть условия страхования и возраст застрахованного таковы, что соответствующие величины равны

q1 = 0:0005;	q2	= 0:0020;
b1 = 50000;	b2	= 25000:

Таким образом, совместное распределение страхового события и величины страховых выплат имеет вид

PfI = 1; X = 50000g = 0:0005; PfI = 1; X = 25000g = 0:0020;

откуда суммированием найдем PfI = 1g = 0:0025, и соответственно, PfI = 0g = 0:9975. При этом математическое ожидание и дисперсия страховых выплат равны соответственно,

M[X] = b1q1+b2q2 = 75(ó.å.); D[X] = b21q1(1 q1)+b22q2(1 q2) 260 104:

Пример 2. Имущественное страхование ([2], стр. 28-32). Обратимся к модели имущественного риска, рассмотренной в примере 10.5.2, связанной, скажем, с возможностью автомобильной аварии с вероятностью аварии для данного индивидуума в течение фиксированного срока (скажем, 1 года) q = 0:15 и равномерным (дискретным с шагом 10) на интервале от 100 у.e. до 2000 у.e. распределением вели- чины ущерба (который зависит, конечно, от марки эксплуатируемой машины). Условные среднее значение и дисперсия 2 выплат в

143

этом случае равны согласно характеристикам равномерного распределения (разд. 8.2)

=	a + b	= 1050(ó.å.);	2 =	(b a)2		28:500((ó.å.)2);
				12
2

и, следовательно, согласно формулам (4) их безусловные среднее зна- чение MX и дисперсия DX равны соответственно

MX = q = 157:5; DX = 2 q(1 q) + 2 q 18:3 104:

12.3 Точный расчет характеристик суммарных исков

Наибольший интерес для страховой компании представляет расчет суммарного иска от портфеля договоров, ею заключенных. В предположении, что иски от отдельных договоров независимы (что вполне допустимо при индивидуальном страховании), такой расчет легко получить с помощью формулы свертки, представляющей собой распределение суммы независимых СВ. Приведем методику такого рас- чета на примере дискретных распределений, наиболее естественных в моделях распределения исков. Пусть страховая компания заклю- чила n однотипных договоров, иск Xi (i = 1; n) по каждому из которых задается распределением

fk = PfXi = kg:

Тогда, как известно из курса теории вероятностей, распределение суммарного иска

	X
Sn =	Xi
	1 i n

вычисляется рекуррентно с помощью формулы свертки

f n =	f (n 1)f :
k	X	i
	k i

0 i k

При конкретных вычислениях по этим формулам удобно пользоваться таблицами, как указано на стр. 44-45 в [3] или несложными вычислительными процедурами (см. далее упр. в разд. 12.7).

144

12.4Нормальная асимптотика суммарного иска

Точные вычисления, описанные в предыдущем пункте, достаточно трудоемки и на самом деле не нужны, поскольку при больших зна- чениях n распределение величины суммарного иска Sn, как следует из законов теории вероятностей, достаточно хорошо приближается нормальным законом распределения. Именно справедлива ЦПТ

Теорема 1. Если MX = X < 1 è DX = X2 < 1, то справедливо предельное соотношение

x

n!1

pDSn

p2

Z1

lim P

Sn MSn

x

= (x) =

1

e u22

;

причем значения функции (x) можно найти в таблицах стандартного нормального распределения. |

Это соотношение позволяет достаточно точно вычислять необходимые вероятности в случае не очень маленьких вероятностей страховых случаев. Однако нормальная аппроксимация недостаточ- но точна на "хвостах"нормального распределения, т.е. при малых значениях вероятности страхового события, случае наиболее распространенном в моделях краткосрочного страхования. В этом слу- чае можно воспользоваться другой аппроксимацией, пуассоновской, специально предназначенной для исследования распределения суммы независимых бернуллиевых (т.е. принимающих два значения) случайных слагаемых.

12.5 Пуассоновская асимптотика суммарного иска

Рассмотрим сумму Sn ÑÂ Xi принимающих два значения

PfXi = 0g = 1 q; PfXi = 1g = q:

Известно, что она имеет биномиальное распределение

PfSn = kg = Cnk qk (1 q)n k :

145

Теорема 2. Если при n ! 1 и q ! 0, сохраняется соотношение nq ! , то справедливо предельное соотношение

	lim P		S		= k	g	=	k	e :	|
				n
								k!
	n	f
		!1

На практике этой теоремой можно пользоваться, когда n >> 1, q << 1 с = nq.

12.6 Расчет основных характеристик страхования

Вопрос расчета страховой премии компании за принимаемые на себя риски достаточно сложен. При его решении учитывается большое число разнородных факторов: вероятность наступления страхового случая, размер страхового возмещения и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке страховых услуг и т.д.

Как уже отмечалось ранее в разд. 10.4 (см. также, например [3]),

полная страховая премия p состоит из нетто-премии p(n) и страховой нагрузки p(s). Нетто-премия служит для покрытия основных расходов страховой компании при выплатах компенсации по страховым случаям. Ее расчет опирается на принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного, который состоит в равенстве средних значений премии, полученной страховой компанией, и выплаченной ей страховой компенсации. Таким образом, при краткосрочном страховании, в соответствии с принципом эквивалентности обязательств (не принимая во внимание изменение

стоимости денег) имеем,

p(n) = qb:

Что касается страховой надбавки p(s), то для ее вычисления воспользуемся нормальной аппроксимацией суммарного иска. Полагая, что страховая компания имеет достаточно большое количество n од-

c1

= pn :

146

нотипных договоров, рассчитаем страховую нагрузку из условия малости вероятности разорения компании,

PfSn > n(p(n) + p(s))g :

Здесь под вероятностью разорения понимают вероятность превыше-

марной премии n(p(n) + p(s)).P1 i n

ния суммарных выплат Sn =

Xi

полученной компанией сум-

Полагая, что нетто-премия рассчитывается из условия эквива-

лентности платежей и в среднем покрывает расходы страховой ком-

пании, MSn = np(n), для вероятности разорения

с помощью ЦПТ

найдем

Sn MSn

np(s)

p(s)p

= P

S

> n(p(n)+p(s))

= P

>

= 1

n

:

f

n

g

pDSn

pn

Выбирая для заданного соответствующий квантиль нормаль-

ного распределения так, чтобы выполнялось неравенство

= 1

p(s) p

n

(

) , èëè (c1 ) 1 , получим оценку для страховой

надбавки

p(s) pc1n

Часто удобно выражать страховую нагрузку в долях (процентах) от нетто-премии, p(s) = p(n). Тогда имея в виду, что нетто-премия вычисляется согласно принципу равенства платежей и совпадает со средним значением ущерба от одного страхового договора, p(n) = , для коэффициента страховой нагрузки страховой надбавки полу- чим оценку

Для грубой оценки этой величины можно воспользоваться правилом 3 , согласно которому вероятность отклонения нормально распределенной СВ от своего среднего больше, чем на три стандартных отклонения, не превышает 0:1%. Используя это привило получим

3 :

pn

В следующем параграфе рассматриваются модели средне - и долгосрочного страхования, которые с одной стороны существенным

147

образом опираются на возможности инвестирования накопленного страховой компанией капитала, а потому их анализ использует основные понятия и методы финансовой математики, а с другой использует методы теории вероятностей в силу случайности природы явлений риска.

12.7Примеры и упражнения

Два простых примера краткосрочного страхования рисков были рассмотрены в тексте.

Упражнения.

1.Вычислить условные и безусловные среднее значение и дисперсию выплат страховой компании при страховании по схеме примера 1.

2.Рассчитать точное распределение величины страховых выплат для n = 3 застрахованных по схеме примера 1.

3.Рассчитать точную величину страховых выплат для n = 2 застрахованных автомобилей по схеме примера 2.

4.Используя нормальную аппроксимацию оценить вероятность того, что суммарные выплаты компании, застраховавшей 100 клиентов по схеме примера 1 и 20 автомобилей по схеме примера 2 превысит 50 000 (у.е.)

5.Используя пуассоновскую аппроксимацию оценить вероятность того, что суммарные выплаты компании, застраховавшей 50 клиентов по схеме примера 1 и 10 автомобилей по схеме Примера 2 превысит 10 000 (у.е.)

Ÿ 13 Анализ моделей долгосроч- ного страхования

Примерами долгосрочных рисков являются многие экологиче- ские и техногенные риски, риски связанные со страхованием жизни на дожитие, риски пенсионного обеспечения и т.п. Характерной

148

особенностью таких рисков является обязательное наступление рискового события, так что такой риск характеризуется собственной, вообще говоря, двухкомпонентной СВ. Одной из ее компонент является время наступления рискового события, другой - величина ущерба. Поэтому, если в моделях краткосрочного страхования различие между страховым взносом (премией) и страховой выплатой (компенсацией) достигалась в основном за счет малости вероятности страхового случая, то в моделях среднесрочного и долгосрочного страхования эта разность достигается за счет управления капиталом страхователей в течение периода страхования.

Поэтому расчеты характеристик моделей долгосрочного и среднесрочного страхования существенно опираются на методы финансовой математики, но в отличие от последних, кроме того, существенно используют методы теории вероятностей, т.к. связаны со случайными явлениями. Кроме того, так как методы расчета характеристик среднесрочного страхования сильно дублируют аналогичные методы для долгосрочного страхования, мы ограничимся рассмотрением только последних, приведя некоторые замечания для первых в ка- честве комментариев.

13.1 Основные характеристики договоров долгосрочного страхования

Договоры долгосрочного страхования отличаются многообразием структур и параметров. Основными из них являются:

момент t0 начала договора,

срок (продолжительность) T = T (t0; x) договора (эта величина может зависеть как от момента заключения договора t0 так и, возможно, от других параметров, например, от возраста x застрахованного в момент заключения договора),

^^

время T1 = T1(t0) до наступления страхового случая (это время представляет собой остаточное время до наступления страхового случая от момента заключения договора и в конкретных

договорах страхования может зависеть от момента t0 его заключения, а также, возможно, других параметров),

149

величина p и периодичность m взносов страховой премии,

величина B и периодичность l выплат страхового возмещения, здесь будем рассматривать случаи:

единовременной выплаты страхового возмещения размера Bt в момент наступления страхового случая (обычно это происходит с некоторой задержкой, которой мы будем пренебрегать), зависящей, возможно, от момента t выплаты,

периодической выплаты страхового возмещения величи-

íû Bt вплоть до момента T окончания срока договора, возможно, также зависящей от моментов выплат,

периодической выплаты страхового возмещения величи-

íû Bt до бесконечности (несмотря на кажущуюся нереальность такого типа договоров, они на самом деле имеют место, например, "консоли"английского банка). Можно также предположить, что страховая компания обязуется выплачивать страховую компенсацию за последствия некоторого экологического бедствия "вечно"с передачей прав ее получения по наследству или продажей соответствующих прав.

^

Наряду с длительностями T и T1 удобно рассмотреть связанные

^

с ними величину T1 = min(T1; T ), представляющую собой время до момента окончания выплат страховой премии, с одной стороны, и величину отсрочки страховой ренты с другой, и T2 = T T1, представляющую собой продолжительность страховой ренты.

Конечно, следует иметь в виду, что приведенные длительности являются случайными и определяются своими распределениями. Как мы увидим в дальнейшем, для актуарных расчетов часто бывает достаточно ограничиться двумя их моментами. Ввиду распределенности страховых взносов и выплат во времени, они представляют собой специальный случай финансовых рент, поэтому остановимся вкратце на их особенностях.

150

13.2Анализ страховых рент

Страховые ренты отличаются от обычных финансовых наличием случайности как в продолжительности договора, так и в моментах окончания премиальных взносов и начала страховых выплат, что значительно усложняет расчеты всех характеристик страхового договора и параметров деятельности страховой компании. Начнем с расчета приведенной стоимости страхового договора.

Так как договоры имеют различную структуру, то невозможно провести общее исследование анализа страховых рент. Приведем поэтому этот анализ на модельном примере страхования нефтяных скважин от истощения, предложенном в примере 4 раздела 10.5. Заметим, что даже в этом специальном случае имеется большое разнообразие различных возможностей.

Для удобства будем измерять все длительности в единицах, кратных периоду страховых взносов и выплат, который будем считать совпадающим с периодом начисления банковских процентов по вкладу. Кроме того, согласно договоренности, принятой в x11, разнознач- ные ренты будем рассматривать отдельно и обозначать через Xi è Yi соответственно. Тогда согласно (11.17), приведенная к моменту заключения договора запаздывающая (т.к. упреждающие в договорах страхования не имеют смысла) накопленная премия равна

	X1(0) = p(v + v2 + : : : + vT ) = p	1 vT	:	(1)
		i

Аналогично, приведенная на момент окончания договора, согласно (11.19), премия составит

	X1	(T ) = X1	(0)(1 + i)T = pv T	1 vT	:	(2)
				i

При этом суммарные страховые выплаты составляют

в случае не наступления страхового случая до момента истече- ния срока договора (в этом случае всегда осуществляется разовая выплата)

Y = bvT = be T

(3)