REL исходный с п

121

застрахованного при страховании жизни, или процент износа оборудования при страховании судов и оборудования, позволяющие оценить их истинную стоимость и т.п.

Для вычисления соответствующих величин необходимо использовать информацию о распределении времени наступления страхового случая или вероятности его наступления в договорах краткосроч- ного страхования, а также о распределении величины возможного ущерба, в случае, когда страховое возмещение не оговаривается фиксированной величиной страховой компенсации.

Поэтому при разработке моделей страхования важную роль играют стохастические (вероятностные и статистические) методы, а в моделях долгосрочного страхования, кроме того, также некоторые понятия и методы финансовой математики, на которых мы остановимся в следующем параграфе. Прежде чем переходить к дальнейшему изучению вопроса рассмотрим основные задачи, возникающие в страховой математике.

10.4 Общая постановка задачи страхования рисков

При страховании рисков, страховая компания, принимая на себя риски страхователей, берет на себя также обязательства по финансовой компенсации ущерба. Для этого она обязана располагать определенным капиталом. Поскольку страховой взнос (премия) обычно бывает значительно меньше страховой компенсации, страховая компания выступает обычно в качестве финансово-инвестиционной фирмы, частично вкладывая капитал страхователей в активы (в виде акций промышленных компаний, государственных облигаций и др. ценных бумаг). При этом возникают вопросы, связанные с определением необходимого резерва (доли капитала, который должен оставаться на компенсацию страховых выплат). К этому вопросу примыкает также вопрос определения необходимого начального капитала

страховой компании для достаточно надежной и устойчивой ее работы.

С другой стороны одним из основных вопросов, которые должна решать любая страховая компания и органы страхового надзора,

122

это определение размера и условий выплат страховых премий для заданного типа страховых договоров.

Итак основными задачами страховой (актуарной) математики является разработка методов определения

страховых премий (нетто-премии и надбавки),

начального капитала страховой компании и

страхового резерва.

Для решения этих вопросов необходимо детальное изучение характеристик договоров страхования и возможных исков.

Все эти вопросы рассматриваются в дальнейших разделах, применительно к различного типа моделям, а мы начнем с некоторых примеров страхования.

10.5Примеры. Упражнения

Наиболее разработанными к настоящему времени являются теория и методология страхования жизни и имущества и большинство учебников и руководств посвящено именно этим видам страхования, из которых черпаются основные примеры. Рассмотрим однако и некоторые примеры моделей страхования, которые, быть может, и не реализованы в настоящей практике страхования, но могли бы представлять определенный интерес.

Пример 1. Страхование жизни. Под страхованием жизни понимается не только страхование на дожитие, или случай смерти (этот вид страхования носит название полного страхования жизни), но также страхование на случай различных жизненных ситуаций. Приведем пример краткосрочного страхования жизни. Предположим, что страховой договор заключается сроком на один год T = 1 с застрахованным в возрасте x лет и условиями страхования предусматриваются, скажем, три страховых случая

не наступление смерти застрахованного в течение срока договора с выплатой нулевой компенсации b0 = 0;

123

наступление "естественной"смерти застрахованного с выплатой страховой компенсации его правопреемникам в размере b1;

наступление смерти в результате несчастного случая с выплатой страховой компенсации правопреемникам застрахованного в размере b2.

В такой модели задача страхования состоит в определении необходимой величины страховой премии p, обеспечивающей справедливую плату за принятый страховой компанией риск. Решение этой задачи будет рассмотрено далее в Ÿ11.2.

Пример 2. Страхование имущества. Рассмотрим модель страхования имущественного риска, связанного, скажем, с возможностью автомобильной аварии в течение срока договора T = 1 и равномерно распределенной на интервале [100у.е., 2000у.е.] величи- ной ущерба в случае наступления страхового события. (Здесь через у.е. обозначена условная денежная единица, которая может принимать значения рубль, доллар, фунт стерлингов, марка, франк и т.п.). Задача определения справедливой страховой премии решается далее в Ÿ11.2.

Пример 3. Страхование от производственного травматизма. Производственный травматизм представляет собой серьезную социальную и экономическую проблему. Частично сгладить последствия производственного травматизма могла бы позволить продуманная система страхования от производственного травматизма. Приведем упрощенную схему подобного вида страхования. Страхователями здесь являются либо физические лица (сотрудники) некоторого предприятия, либо само это предприятие, которое страхует своих сотрудников, чтобы облегчить бремя исков при наступлении несчастного случая. Страховыми случаями (событиями) здесь могли бы выступать:

индивидуальный несчастный случай, приведший к смерти, полной или частичной утрате трудоспособности отдельным работником,

авария, приведшая к смерти, полной или частичной утрате трудоспособности группой работников,

124

окончание срока договора до момента наступления страхового случая.

Вопросы оценки вероятностей наступления этих случаев, количе- ства пострадавших, объемов страховых выплат, а также величины и процедуры внесения страховых премий индивидуальны для каждого предприятия и являются предметом серьезного статистического и экономического анализа.

Пример 4. Страхование нефтяных скважин от истощения [5]. В настоящее время, по данным американской статистики, около 10-15% всей нефти США добывается из малодебитных скважин (малодебитной считается скважина, из которой добывается менее 10 баррелей нефти в день). В нашей стране также имеется огромное количество малодебитных скважин, которые, к сожалению, в условиях современной экономики оказываются нерентабельными и закрываются, что помимо экономических потерь приводит также к увеличению социальной напряженности.

Чтобы продлить эксплуатацию малодебитных скважин и месторождений и сделать ее более рентабельной, можно использовать страхование скважин против истощения, которое могло бы выступать в качестве своеобразного экономического рычага поддержания жизнедеятельности месторождений. Суть такого страхования заключается в создании специального фонда в период эксплуатации скважин с нормальным дебитом и использовании его для "продления жизни"скважины. Средства из этого фонда могли бы использоваться для покрытия части налогов, финансирования социальной сферы и пр. В связи с этим возникает необходимость разработки условий, правил и моделей актуарных расчетов при страховании скважин против истощения.

Простейшая модель страхования скважин против истощения заключается в следующем: владелец месторождения производит в те- чение времени эксплуатации скважины T1 при дебите Q > Q , с момента t0 введения скважины в эксплуатацию и до момента t0 + T1 падения дебита до уровня Q , выплату периодических страховых премий p с определенным интервалом (например, раз в год, квартал или месяц) страховой компании для образования специального фонда (далее "Фонд"), а страховая компания обязуется выплачи-

125

вать владельцу месторождения страховую компенсацию в виде выплат в размере b, после момента времени t0 + T1, когда ее дебит станет меньше Q до полного ее закрытия в момент времени t0 + T . Выплата такой страховой компенсации может производится также с определенной периодичностью (например, также раз в год, квартал или месяц). Предполагается, что если скважина будет закрыта по каким-либо причинам до падения ее дебита ниже уровня Q , то накопленная к этому моменту премия будет либо возвращена в виде страховой накопительной компенсации, либо использована в каче- стве страховой компенсации для других скважин. Таким образом, мы рассматриваем три вида страховых случаев:

дебит скважины снизился до уровня, меньшего Q . В этом слу- чае периодическая выплата страховой премии прекращается, и страховая компания начинает осуществлять выплаты страховой компенсации;

скважина закрывается по разным причинам до того, как ее дебит станет меньше величины Q . В этом случае выплата страховой премии по ней прекращается, а общая накопленная сумма премии либо возвращается в виде накопленной суммы, либо используются при выплатах компенсации по другим скважинам;

скважина закрывается, проработав некоторое время при дебите, меньшем Q . После закрытия скважины страховая компания прекращает осуществлять выплаты страховой компенсации для данной скважины.

Мы возвратимся к этому примеру в x 12:5.

Пример 5. Экологическое страхование. Необходимость организации экологического страхования очевидна специалистам, и в настоящее время намечаются определенные продвижения в этом направлении. Однако решение многочисленных вопросов, необходимых для организации и проведения подобного вида страхования, в значи- тельной степени сдерживается из-за отсутствия достаточных статистических данных и вероятностных моделей наступления экологиче-

126

ских бедствий и катастроф, что приводит к невозможности разработки и применения достаточно адекватных математических моделей. Тем не менее рассмотрим некоторую грубую модель экологического страхования. Скорее всего такого типа страхование может осуществляться в рамках обязательного страхования.

Предположим, что владельцы нефте- (газо-) проводов или администрация некоторого экологически опасного региона (подверженного землетрясениям, цунами или иным экологическим опасностям) заключают со страховой компанией договор о частичном или полном покрытии ущерба производственным мощностям, жилым помещениям и имуществу граждан в случае наступления экологического бедствия. Страховыми событиями здесь являются:

наступление событий с серьезными экологическими последствиями, дифференцированных как по типу, так и по тяжести принесенного ущерба.

Страховые взносы вносятся регулярно (с фиксированной периодичностью) из бюджета региона и предприятий с повышенной экологической опасностью, а страховая компенсация выплачивается в размере принесенного ущерба или в виде оговоренных мероприятий при наступлении страховых случаев.

Необходимыми исходными данными являются:

распределение времени наступления страховых случаев;

распределение величины ущерба.

Получение этих характеристик предмет серьезного статистического и экономического анализа.

По этим исходным данным могут быть проанализированы различные модели экологического страхования, с различным периодом внесения страховых премий и способов выплаты компенсаций, для их последующего сравнения, с целью выбора наиболее рациональной.

Пример 6. Образовательное страхование. В условиях рыночной экономики образование оказывается дорогостоящим мероприятием, зачастую непосильным отдельным членам общества, иногда наиболее способным и перспективным в смысле возвращения

127

вложенного в них образовательного капитала. Кроме того, в условиях быстрого развития производительных сил общества образование устаревает, в результате чего возникает потребность переквалификации работников. Решению возникающих здесь проблем также может помочь правильно организованная система страхования. В качестве страховых случаев рассмотрим:

достижение возраста поступления в общеобразовательное учреждение;

поступление в специальное или высшее учебное заведение;

утрата потребности в профессии или рабочего места и необходимость переквалификации;

не наступление никакого из этих событий в течение срока договора.

Аналогично предыдущему случаю, страховая премия вносится периодически заданного размера с заданной периодичностью, а страховая компенсация выплачивается в виде периодической оплаты образования в случае поступления застрахованного в образовательное учреждение или в виде разовой выплаты по истечение срока договора и отказа от дальнейшего образования. Расчет соответствующих характеристик является предметом разработки правил соответствующего вида страхования.

Для всех приведенных примеров правилами страхования должны быть определены условия (моменты и размеры) внесения страховой премии и условия (моменты и размеры) выплат страховой компенсации.

Разработка этих правил является предметом деятельности аналитических отделов страховых компаний, а их проверка на соответствие государственным стандартам органов государственного страхового надзора.

В дальнейшем мы будем использовать эти примеры наряду с традиционными примерами страхования жизни или имущества для демонстрации методов расчета основных характеристик страхования, упомянутых в предыдущем разделе. Однако поскольку многие из

128

этих расчетов (особенно в моделях долгосрочного страхования) опираются на методы финансовой математики мы приведем в следующем параграфе основные понятия и методы расчетов основных показателей финансовых операций.

Упражнения.

1 6. Выписать исходные параметры и искомые характеристики для моделей страхования в приведенных выше примерах.

Ÿ 11 Основные понятия и методы финансовой математики

Как уже отмечалось ранее, модели страхования предполагают использование страховых взносов страхователей страховой компанией для инвестиций. Таким образом, страховая компания выступает в качестве инвестора и ее инвестиционные операции необходимо учитывать при решении сформулированных ранее задач. Соответствующие вопросы рассматриваются обычно в рамках финансовой математики. Поэтому настоящий параграф посвящен изложению ее основных понятий и методов на основе материалов из [6, 7, 8].

11.1Основные понятия финансовой математики

Финансовая математика изучает различные финансовые операции, простейшей из которых является кредитная операция. Последняя состоит в предоставлении денежных (или иных) средств одним юридическим (или физическим) лицом другому в соответствии с некоторым договором (кредитным договором, договором кредитования).

Основными субъектами (юридическими или физическими лицами) финансовой деятельности являются кредитор (инвестор) и дебитор (заемщик).

Инвестор (кредитор) это юридическое или физическое лицо, предоставляющее средства (обычно деньги) другому юридическому или физическому лицу заемщику (дебитору) в соответствии с договором.

129

Заметим, что применительно к договорам страхования одно и то же лицо в различных операциях может выступать в различных ролях. В частности, при заключении страхового договора страхователь выступает кредитором, а страховая компания заемщиком. Однако управляя капиталом страхователей и вкладывая средства страхователей в ценные бумаги или различные инвестиционные проекты страховая компания выступает инвестором перед другими заемщиками.

Применительно к моделям средне или долгосрочного страхования кредитные операции определяются следующими величинами:

моментом t0 заключения страхового договора;

сроком T действия договора (в отличие от обычных кредитных операций, в которых срок действия договора обычно фиксирован и строго оговорен, в договорах долгосрочного страхования этот срок является случайным);

моментом t0 + T завершения договора (погашения договорных обязательств).

Обозначим через S(t0) величину кредита (применительно к договорам страхования это есть величина p страховой премии), а через I(t0; T; p) плату за ссуду величину приращения ссуды за время действия страхового договора.

Тогда величина S(t0 + T ) = S(t0) + I(t0; T; p) представляет собой полную стоимость кредита, в терминологии страховых договоров страховая компенсация.

Заметим, что в соответствии со страховым договором страховая премия может вноситься либо как одноразовый взнос в момент заключения договора, либо в виде оговоренного договором потока платежей. Задача страховой компании (и финансовой математики) состоит при этом в расчете необходимого потока платежей с тем, чтобы в момент окончания срока договора обеспечить выплату страховой компенсации.

Для расчетов по кредитным операциям используются следующие величины, которые, естественно, зависят, вообще говоря, от всех трех

130

параметров, момента заключения договора t0, премии p, и срока договора T :

процентная ставка (interest rate, return)

	i(t0; T ) =	S(t0 + T ) S(t0)	=	I(t0; T; S(t0))	;
		S(t0)		S(t0)

относительная скидка (discount rate)

	d(t0; T ) =	S(t0 + T ) S(t0)	=	I(t0; T; S(t0))	;
		S(t0 + T )		S(t0 + T )

коэффициент переоценки (discount factor)

v(t0; T ) =	S(t0)	=	1		= 1 d(t0; T ):
	S(t0 + T )		1 + i(t0; T )

(1)

(2)

(3)

Нетрудно проверить, что между этими показателями имеются взаимосвязи,

i =	d	;	d =	i	;	v(t0; T ) =	1		= 1 d(t0; T );	(4)
	1 d			1 + i			1 + i(t0; T )

позволяющие вычислять любые два, если известен какой-либо один. Поэтому с математической точки зрения было бы достаточно оперировать только одним из этих показателей. Однако экономическая практика использует в различных ситуациях различные показатели, и мы не будем игнорировать эту практику.

Так как сроки договоров различны, а страховые выплаты слу- чайны, то для унификации процентных ставок различных договоров целесообразно относить их к некоторому базовому периоду, каковым в финансовых операциях обычно считается год.

Известно, что стоимость денег со временем изменяется, и это изменение выражается в терминах процентных ставок.