REL исходный с п

51

откуда для функции опасности отказов системы при последовательном соединении элементов легко найдем выражение

n

X

f (t) = i (t):

i=1

Это выражение еще более упрощается для внезапных отказов системы, которые характеризуются постоянством их опасности,

n

X

f = i :

i=1

Это правило может быть сформулировано следующим образом: при основном последовательном соединении элементов интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов.

4.5Примеры. Упражнения

Пример.

Рассмотрим в качестве еще одного примера надежность системы из примера 3 раздела 4.1 (см. рис. 4.3). Структурная функция такой системы равна (см. (3))

f (x1; x2; x3) = x1x2x3 + x1x2(1 x3) + x1(1 x2)x3 + (1 x1)x2x3:

Откуда для надежности такой системы в предположении равнонадежности ее элементов имеем выражение

h(p) = p3 + 3p2(1 p) = p2(3 2p):

Упражнения ([6] стр. 136-137).

1. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.4. Выписать структурную функцию и найти вероятность безотказной работы pf изделия, если известны вероятности отказов элементов, q1 =

0; 05; q2 = 0; 1.

Ответ: pf = 1 [1 (1 q1)(1 q2)]3 = 0; 997.

52

2. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.5. Выписать структурную функцию и определить вероятность безотказной работы pf и вероятность отказа qf изделия, если известны вероятности безотказной работы элементов, p1 = 0; 9; p2 = 0; 8.

Ответ: pf = [1 (1 p1)3][1 (1 p2)3] 0; 991; qf = 1 pf = 0; 009.

Рис. 4.4. Схема расчета надежности к упражнению 1.

Рис. 4.5. Схема расчета надежности к упражнению 2.

3. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.6. Выписать структурную функцию и найти по известным вероятностям отказа элементов q1 è q2 вероятность безотказной работы pf изделия, q1 = 0; 1; q2 = 0; 2.

53

Ответ: pf = (1 q12)(1 q22) = 0; 9216.

Рис. 4.6. Схема расчета надежности к упражнению 3.

4. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.7. Выписать структурную функцию и вычислить вероятность безотказной работы изделия, если вероятности безотказной работы его элементов рав-

íû p1 = 0; 9; p2 = 0; 8; p3 = 0; 85; p4 = 0; 94. Ответ: pf = 1 (1 p1p2)(1 p3p4) 0; 944.

Рис. 4.7. Схема расчета надежности к упражнению 4.

5. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.8. Интенсивности отказов элементов постоянны и имеют следующие значения:1 = 0; 3 10 3 (1=), 2 = 0; 7 10 3 (1=). Определить вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 часов, вычислить наработку на отказ, частоту отказов и интенсивность отказов

54

в момент времени t = 100 часов.

Рис. 4.8. Схема расчета надежности к упражнению 5.

Ответ:

f =		h = 1500 (÷àñ.i					2
Rf (t) = 1 1 e ( 1+ 2 )							;	Rf (100) = 0; 99;
	3					)
	2( 1 + 2 )							i
						h
fc(100) = 1; 8 10
fc(t) = 2( 1 + 2)e ( 1+ 2 ) 1 e ( 1 + 2)t ;
		a(100)			4 (1/÷àñ.);
c(100) =				1; 8 10 4 (1/÷àñ.):
		P (100)

6. Схема расчета надежности приведена на рис. 4.6. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 часов, среднюю наработку до первого отказа и интенсивность отказов в момент времени t = 100 часов, если интенсивности отказов элементов постоянны и имеют следующие значения:1 = 0; 3 10 3(1/÷àñ.); 2 = 0; 7 10 3(1/÷àñ.).

Ответ:

Rf (t) = "1 1 e 1 t!2#"1 1 e 2t!2#;					!
Rf (100) 0; 994; f = ( 1+ 2 ) 2	2 1 + 2	+ 1		+2 2		= 1760(часов);
4;5	1			1

P (100)

55

"

fc(t) = 2e ( 1+ 2 )t ( 1 + 2)(2 + e ( 1+ 2 )t)

#

(2 1 + )e 1 t ( 1 + 2 2)e 2 t ;

fc(100) c = 0; 108 10 3 (1/÷àñ.);f (100) = a(100) 1; 8 10 4 (1/÷àñ.):

56

Ÿ 5 Резервирование без восстановления

Одним из основных методов повышения надежности систем является резервирование. Природа снабдила нас многочисленными примерами резервирования все млекопитающие имеют по два глаза, уха, которые как и конечности резервируют друг друга. В настоящем и следующем параграфах рассмотрим различные модели резервирования и методы расчета надежности резервированных систем. В настоящем параграфе идеи структурной надежности систем применяются к расчету характеристик надежности резервированных систем без восстановления резерва. В следующем параграфе рассматриваются модели резервирования с восстановлением. Однако мы начнем этот параграф с общей классификации способов резервирования, опираясь, как и ранее, на терминологию из [1].

5.1Основные способы резервирования. Терминология

Резервированием называется способ повышения надежности изделий (элементов и систем) путем введения избыточности. При этом под избыточностью понимаются дополнительные средства и возможности сверх минимально необходимых для выполнения изделием заданных функций.

По используемым средствам различают резервирование структурное, временное, функциональное и др.

Структурным называется резервирование, при котором используются избыточные элементы структуры системы.

Функциональным называется резервирование, при котором используется способность системы или ее элементов выполнять дополнительные функции.

Временным называется резервирование, предусматривающее использование избыточного времени.

По уровню различают общее резервирование, при котором резервируется изделие (система) в целом и раздельное резервирование, при котором резервируются отдельные элементы системы.

57

По способу включения и состоянию резерва различают постоянное (нагруженное) резервирование, резервирование замещением (ненагруженное) и облегченное резервирование.

Постоянным (нагруженным) называют резервирование, при котором резервные элементы участвуют в функционировании системы наравне с основными, в то время как при резервировании замещением (ненагруженном) функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного. Кроме того возможен промежуточный вид резервирования облегченное резервирование, при котором резервные элементы лишь частично расходуют свой ресурс надежности.

Скользящим называется резервирование, при котором функции группы основных элементов могут выполняться одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменять любой отказавший основной элемент в данной группе.

По отношению к дальнейшим возможностям использования резервных изделий рассматривают резервирование без восстановления, при котором отказавшее изделие выбрасывается, и резервирование с восстановлением, при котором отказавшее изделие восстанавливается (ремонтируется или заменяется новым). При этом важно учитывать возможности восстановления: одновременно может восстанавливаться только одно отказавшее изделие (имеется только одна ремонтная бригада), неограниченное или фиксированное число отказавших изделий.

Мы не имеем возможности в настоящем курсе подробно рассмотреть все виды резервирования и остановимся на основных, начиная с невосстанавливаемого резервирования.

5.2Нагруженный резерв

Структурная схема надежности системы нагруженного резервирования представлена на рис. 5.1 и совпадает с параллельным (в смысле надежности) соединением ее элементов. Структурная функция такой системы, как было показано в разделе 4.1. (пример 4.2), равна

n

Y

f (x1; x2; : : : ; xn) = 1 (1 xi ):

i=1

58

Поэтому, согласно результатам предыдущего параграфа, функция надежности Rf (t) системы из n элементов с функциями надежности ri (t) при нагруженном резервировании равна

n
Y	(1)
Rf (t) = 1 (1 ri (t)):

i=1

.Рис. 5.1. Структурная схема нагруженного резерва

Ñдругой стороны очевидно, что время работы всей системы Tf равно максимальной из длительностей работы ее элементов

Ti(i = 1; n),

Tf = maxfT1; T2; : : : Tng:

Таким образом, распределение времени до отказа системы имеет вид:

Ff (t) =	P	fTf	tg =	P	max
					f1	i		n Ti tg =
									Y
	PfT1		t; : : : ; Tn tg =							(2)
=									Fi (t):

1 i n

Естественно, что оба этих вывода приводят к одному и тому же результату. Полученные выражения позволяют также вычислять и другие характеристики систем.

59

5.3Ненагруженный резерв

Структурная схема невосстанавливаемой системы резервирования замещением представлена на рис. 5.2. При подобной схеме резервирования имеется один основной элемент и n 1 запасных (резервных) элементов, которые включаются в работу по мере отказа основных.

Рис. 5.2. Структурная схема ненагруженного резервирования

.

Время Tf работы системы при ненагруженном резервировании равно суммарному времени работы ее элементов Ti(i = 1; n)

n

X

Tf = Ti:

i=1

Таким образом, для ФР времени безотказной работы системы имеем:

Ff (t) = PfTf tg = PfT1 + : : : + Tn tg = F ( n)(t);

(3)

ãäå F ( n)(t) n-краткая свертка ФР длительности безотказной работы элемента, которая определяется соотношением (2.4). Соответственно среднее время безотказной работы системы и его дисперсия равны

X	X
MTf =	MTi = n T ; DTf = DTi = n T2 : (4)
1 i n	1 i n

60

5.4Схема гибели для расчета невосстанавливаемых систем.

Обозначим через X(t) число отказавших элементов в системе в момент времени t и положим

pk (t) = PfX(t) = kg:

В предположении, что время безотказной работы элемента имеет показательное распределение,

PfTi tg = 1 e t

процесс X(t) является марковским [2],[4].

Такие процессы характеризуются тем, что их поведение в будущем не зависит от его прошлого поведения при известном настоящем и задаются матрицей интенсивностей переходов из состояния в состояние. С практической точки зрения марковские процессы удобно задавать с помощью размеченного графа переходов, вершинами которого являются состояния, направленные дуги указывают возможные непосредственные переходы, а величины над стрелками указывают соответствующие величины интенсивностей переходов. Так разме- ченный граф переходов невосстанавливаемой системы представлен на рис. 5.3, где для нагруженного резерва k = (n k) , а для ненагруженного k = .

Для вероятностей соответствующих состояний этого процесса справедливо соотношение, вытекающее из формулы полной вероят-

ности и марковского свойства процесса
pk (t + ) = k 1 pk 1(t) + (1 k ) pk (t) + o( );	(5)
где o( ) бесконечно малая величина от дельта.