REL исходный с п

41

совпадает с аналогичной формулой (4) для оценки частоты отказов (невосстанавливаемых изделий) по существу эти формулы приводят к различным результатам, так как (как указано выше) для оценки частоты отказов используется фиксированное в начале эксперимента число изделий (которое со временем убывает) вследствие чего убывают и количества ni отказавших в интервале i изделий, тогда как при оценке интенсивности отказов число изделий в процессе эксперимента остается неизменным ввиду замены отказавших новыми.

Для оценки стационарной интенсивности отказов можно воспользоваться асимптотическими свойствами функции и плотности восстановления (см. раздел 2.1.4), согласно которым

lim h(t) =	1	:
t!1	T

Поэтому, если имеется информация о числе отказов за "большой"промежуток времени t, то

^	n(t)		(8)
h		;
	t

откуда

1^T = ^ :

h

Другой важной характеристикой потока отказов восстанавливаемых изделий является наработка на отказ (оценка среднего времени между отказами). Эта характеристика также вычисляется по формуле (5), однако по существу совпадает с оценкой среднего времени до первого отказа только для "простых"изделий, отказы которых однородны, т.к. для сложных изделий отказы могут быть вызваны различными причинами (отказами различных составных частей изделия), что приводит к неоднородности статистических данных.

В случае оценки наработки на отказ по испытаниям за несколькими образцами формулу (5) следует заменить на другую

PP

	1 j k 1 i nj	tij		(9)
^T = mT = t =	P1 j k nj		;

42

где k число испытываемых образцов, tij время между (i 1)-м и i-м отказами j-го образца, nj число отказов j-го образца за время t испытаний.

Для оценки дисперсии используется формула

P

P

2

^

(tij

t)

1

k

1

nj

2

2

(10)

T

= ST =

P

k nj

1

j

Наконец, для получения статистических оценок коэффициентов готовности и простоя необходимо иметь дополнительно наблюдения за длительностями восстановления отдельных образцов t01; t02; : : : t0n. При этом соответствующие оценки вычисляются по формулам

k^ =		1 i n ti					;
		i		n	(ti + t0)
							i
	P	1P
						ti0
		1P
k^ =		1 i n					:
	P				(ti + t0)
				n			i
		i

(11)

(12)

3.4Примеры. Упражнения

Пример 1 (см. [6], стр. 23).

Пусть на испытаниях находилось n0 = 1000 образцов невосстанавливаемой аппаратуры. Отказы фиксировались через каждыеt = 100 часов работы. Данные о количестве ni отказов в i-м интервале приведены в табл. 3.1. Требуется вычислить характеристики надежности данной аппаратуры и построить их зависимости от времени.

Решение. Показателями надежности невосстанавливаемой аппаратуры являются функция надежности R(t), частота отказов f (t), опасность отказа (t), среднее T и дисперсия T2 времени безотказной работы. Вычисление статистических оценок функциональных характеристик, выполненные по формулам (1) (4) представлены на графиках (рис. 3.3, 3.4).

							43
	Таблица 3.1. Данные к примеру 1.
4ti ;	n(4ti )		4ti;	n(4ti)		4ti;	n(4ti )
0-100	50		1000-1100	15		2000-2100	12
100-200	40		1100-1200	14		2100-2200	13
200-300	32		1200-1300	14		2200-2300	12
300-400	25		1300-1400	13		2300-2400	13
400-500	20		1400-1500	14		2400-2500	14
500-600	17		1500-1600	13		2500-2600	16
600-700	16		1600-1700	13		2600-2700	20
700-800	16		1700-1800	13		2700-2800	25
800-900	15		1800-1900	14		2800-2900	30
900-1000	14		1900-20000	12		2900-3000	40

Рис. 3.3. Эмпирическая функция	Рис. 3.4. Частота fn(t) и опасность
надежности к примеру 1	отказов n (t) к примеру 1

Оценки t и ST2 среднего времени T и дисперсии T2 наработки на отказ найдем по формулам (6), учитывая лишь отказавшие образцы, число которых N:=575,

t =	1	X	ni t^i = 50 50 + 40 150 + : : : + 40 2950 = 1400(÷àñ:):
	N: 1 i n		575

При этом мы получаем заниженную оценку средней наработки на отказ, так как не учитываем отказы наиболее надежных изделий,

44

проработавших срок более 3000 час. Возможны различные способы уточнения соответствующих оценок, на которых мы, однако, не имеем возможности останавливаться здесь.

Пример 2.

В течение интервала времени [t1; t2] было зафиксировано n >> 1 отказов восстанавливаемого изделия. Оценить среднюю наработку

на отказ t

Решение. По числу наблюденных отказов можно считать, что изделие наблюдалось достаточно долго. Поэтому пользуясь соотношением (8)

h^ =	n(t2) n(t1)	; èëè	t =	t2 t1	:
	t2 t1			n(t2) n(t1)

Пример 3.

В течение некоторого времени проводились наблюдения за работой k образцов восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов проработал ti() è èìåë ni отказов. Требуется определить среднюю наработку на отказ по данным наблюдения за работой всех образцов.

Решение. Поскольку на испытаниях находились несколько образцов однотипных изделий, то для оценки средней наработки на отказ необходимо воспользоваться соотношением (9). Прим этом, так как суммарная наработка i-го образца равна ti , то последняя формула дает

Pk

^T = t = i=1 ti :

Pk

i=1 ni

Упражнения.

1 10 ([6], стр. 52). В течении времени 4t производилось наблюдение за восстанавливаемым изделием и было зафиксировано n(4t) отказов. До начала наблюдения изделие проработало t1(), общее время наработки к концу наблюдения составило t2(). Требуется найти наработку на отказ. Исходные данные для решения задачи приведены таблице 3.2,

45

Таблица 3.2. Исходные данные к задачам 1 10

Номер задачи	Исходные данные
				tcp(÷àñ)
	t1(÷àñ)	t2(÷)	n( )
1	350	1280	15	62
2	400	1600	3	400
3	1000	6400	9	600
4	770	4800	7	575
5	1200	5558	2	2179
6	300	540	12	20
7	540	1200	5	132
8	300	3200	8	362.5
9	12	184	16	10.75
10	570	2000	27	53

11 25 ([6], стр. 52). В течении некоторого времени проводилось наблюдение за работой некоторого количества образцов экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов проработал ti () è èìåë ni отказов. Данные приведены в таблице 3.3 в Приложении. Требуется определить наработку на отказ по данным наблюдения за работой всех изделий.

26. Вычислить оценку дисперсии по данным из таблицы 3.1 к примеру 1.

46

Ÿ 4 Структурная надежность систем

В этом и следующих двух разделах изучается надежность изделий в зависимости от надежности составляющих его частей. Поэтому вместо термина "изделие"используются термины "система"для сложного изделия и "элемент"для составляющих его частей.

4.1Понятие о структурной функции

Рассмотрим систему, состоящую из n элементов, каждый из которых может находиться только в двух состояниях: рабочем и отказовом. Обозначим через xi индикатор состояния i-го элемента (i = 1; n),

xi =	0;	если i-ый элемент неисправен,
	1;	если i-ый элемент исправен.

Структурной функцией системы (в смысле ее надежности) называется функция, которая указывает, работоспособна или нет система в зависимости от состояния ее элементов,

f (x1; :::; xn) =	0;	если система не работоспособна,
	1;	если система работоспособна.

Пример 1. Последовательное соединение элементов. Система из последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов, представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Последовательное соединение элементов

Структурная функция такой системы имеет вид

	n
	Y	(1)
f (x1; : : : ; xn ) =	xi :

i=1

47

Пример 2. Параллельное соединение элементов. Для системы из параллельно (в смысле надежности) соединенных элементов, представленной на рис. 4.2, структурная функция надежности равна

n
Y	(2)
f (x1; : : : ; xn ) = 1 (1 xi )

i=1

Рис. 4.2. Параллельное соединение элементов

Пример 3. "k из n". Рассмотрим систему, которая работает тогда и только тогда, когда работают k из n ее элементов. Структурная функция имеет вид

f (x1; : : : ; xn) =		0;	в противном случае.
		1;	когда работают k из n элементов,

В частном случае n = 3; k = 2, который представлен на рис.3, структурная функция равна

f (x1; x2; x3) = x1x2x3 + x1x2(1 x3) + x1(1 x2)x3 + (1 x1)x2x3 (3)

48

Рис. 4.3. Структура типа 2 из 3

4.2Монотонные структуры

Монотонной называется система (структура), структурная функция которой возрастает по каждому из аргументов, и каждый из ее элементов является существенным. Элемент i называется несущественным в системе, если ее структурная функция не зависит от значения xi структурной переменной этого элемента. В противном случае элемент называется существенным в структуре. Заметим, что приведенное определение показывает, что все реальные системы являются монотонными структурами, так как свойство монотонности означает что работоспособность системы возрастает, если любой из отказавших ее элементов заменить на исправный, а работоспособность несущественных элементов не влияет на работоспособность системы. Поэтому все реальные, разумно спроектированные системы можно считать монотонными.

4.3Надежность монотонных структур из независимых элементов.

Пусть даны n элементов и pi (i = 1; n) вероятность безотказной работы i-го элемента, так что qi = 1 pi вероятность отказа i-го элемента,

pi = Pfxi = 1g; qi = PfXi = 0g = 1 pi :

49

Тогда вероятность работоспособности (безотказной работы) системы со структурной функцией f (x1; : : : ; xn) равна

pf = Pff (x1; : : : ; xn ) = 1g = Mf (x1; : : : ; xn):

(4)

В частности, для равнонадежных элементов p1 = p2 = : : : = pn = p для вероятности безотказной работы системы будем использовать обозначение pf = h(p). Расчет этой величины для достаточно сложных систем непростая задача, и для ее решения существует специальное программное обеспечение.

Рассмотрим несколько примеров вычисления структурной надежности систем.

Пример 1. Последовательное соединение. Для системы из последовательно соединенных элементов (рис. 4.1), структурная функция которой имеет вид (1)

	n
	Y
f (x1; : : : ; xn ) =		xi ;
	i=1
вероятность безотказной работы системы согласно (4)			равна
n	n		n
Y	Y	Pfxi = 1g =	Y	(5)
pf = h(p1; : : : ; pn) = M	xi =		pi;
i=1	i=1		i=1

и в случае равно надежных элементов принимает вид

h(p) = pn:

(6)

Пример 2. Параллельное соединение. Для системы из параллельно соединенных элементов (рис. 4.2), структурная функция которой имеет вид

n

Y

f (x1; : : : ; xn ) = 1 (1 xi )

i=1

вероятность безотказной работы системы согласно (4) равна

50

n	n
Y	Y
pf = h(p1; : : : ; pn) = M[1 (1 xi )] = 1 M(1 xi ) =
i=1	i=1
n	n
Y	Y	(7)
= 1 Pfxi = 0g = 1	(1 pi);
i=1	i=1
и в случае равнонадежных элементов принимает вид
h(p) = 1 (1 p)n:		(8)

Вообще для надежности монотонных структур справедливо утверждение.

Теорема. Надежность монотонных систем с независимыми элементами выражается через ее структурную функцию путем замены структурных переменных на их надежность. |

4.4Функция надежности монотонных структур

Приведенные выше рассуждения, сформулированные применительно к статической надежности, справедливы также и для динамиче- ской (т.е. развернутой во времени) надежности системы, если вместо вероятности безотказной работы элементов и систем в соответствующие формулы подставить функцию надежности (вероятность безотказной работы элементов и систем в течение заданного времени). В частности, для функции надежности Rf (t) системы из n последо-

вательно соединенных элементов ri (t) (i = 1; n) имеем согласно (5)

n

Y

Rf (t) = ri (t):

i=1

Выражая функции надежности в терминах функции опасности отказов из последнего выражения найдем

Rf (t) = expf Z0t	n	n	i (x) dxg;
	f (x) dxg = i=1 ri (t) = expf Z0t	i=1
	Y	X