REL исходный с п

131

11.2Простые проценты

Итак, полагая в качестве базового периода 1 год, обозначим

i1 = i; d1 = d; v1 = v:

Согласно принципу простых процентов, начисления производятся только на основной капитал. При этом формула накопленного капитала за T = n периодов принимает вид

S(t0 + n) = S(t0)(1 + in)

(5)

для любого выбора базового периода.

Нетрудно видеть (см. упр. 2 в п. 11.5), что при постоянной процентной ставке i последовательность накопленных за n периодов сумм образует арифметическую прогрессию с начальным членом a0 = S(t0) и разностью d = S(t0)i.

Одной из важнейших задач финансовой математики является определение современной (текущей, или приведенной present value) стоимости будущей суммы денег. Эта операция называется переоценкой (дисконтированием discounting), а соответствующий коэффициент коэффициентном переоценки (discount factor).

Согласно (5) для получения в момент времени t0 + T суммы S(t0 + T ) под постоянные простые проценты в момент времени t0 необходимо внести сумму

	S(t0) =			S(t0 + T )	:	(6)
			1 + i(t0)T
	Таким образом, величина v =	1		является годовым коэффициентом
		1+i

переоценки, при этом разность

D = D(t0; i(t0); T ) = S(t0 + T ) S(t0) = S(t0)i(t0)T

называется дисконтом.

Рассмотрим еще два важных вопроса, связанных с накоплением (приращением) капитала под простые проценты переменную ставку простых процентов и реинвестирование под простые проценты. Если в течение срока договора ставка простых процентов меняется,

132

то процедура начисления процентов называется переменной ставкой процента. Рассмотрим процесс накопления капитала в этом случае. Пусть в течение срока договора [t0; tn] ставка процента меняется в моменты времени

t0 < t1 < : : : < tn;

причем на интервалах (tk 1; tk ] она остается постоянной и равной ik . Тогда, как нетрудно видеть, накопленная к моменту tn сумма капитала составит

	n
	X		(7)
S(tn) = S(t0) 1 +	(tk tk 1)ik :
	k=1
При этом исходная сумма увеличится на величину
		n
I(t0; tn; S(t0)) = S(tn) S(t0) = S(t0)		(tk tk 1)ik ;	(8)
		k=1
		X
	S(tn)	составит
а коэффициент накопления A(t0; tn) = S(t0)
	n
X			(9)
A(t0; tn) = 1 +	(tk tk 1)ik :

k=1

Пусть теперь накопленный к каждому из моментов времени tk под простые проценты доход реинвестируется на следующий период (tk ; tk+1], т.е. капитал, накопленный к моменту t1, кладется под простой процент на следующий период (t1; t2] и т.д. Тогда накопленный к моменту tn капитал составит

n
Y	(10)
S(tn) = S(t0) [1 + (tk tk 1)ik ]:

k=1

Более сложная процедура накопления капитала осуществляется при использовании сложных процентов.

133

11.3Сложные проценты

Согласно принципу сложных процентов, начисления производятся не только на основной капитал, но и на уже полученные на него проценты. Таким образом, процедура накопления капитала под сложные проценты совпадает с процедурой накопления под простые проценты с реинвестированием с постоянными интервалом реинвестирования и процентной ставкой. При этом особо важное значение приобретает указание базового периода, потому что формула накопленного капитала принимает вид

S(t0 + n) = S(t0)(1 + i)n;

(11)

где i процентная ставка на базовый период t = 1, а n число базовых периодов, составляющих срок договора.

Из приведенной формулы видно, что накопленный под сложные проценты капитал образует геометрическую прогрессию с первым членом b1 = S(t0) и знаменателем q = (1 + i).

Если при предоставлении кредита под простые проценты накопленный капитал растет линейно и период начисления процентов при этом не играет существенной роли, то при начислении сложных процентов он имеет большое значение. Покажем это на примере.

Пример. Пусть 100000 руб. положены на два года под 100% годовых с начислением 1 раз в год и 1 раз в полгода. Тогда накопленная сумма в первом случае составит

S(2) = 105(1 + 1)2 = 4 105 = 400000;

а во втором

S(2) = 105(1 + 0:5)4 = (1:5)4 105 = 506250:

Как видно, разница существенна.

Рассмотрим влияние периода начисления процентов более подробно.

Определение 1. Годовая ставка процента называется номинальной для периода начисления 1=m и обозначается i(m), если она равна m-кратной ставке этого периода, т.е.

i(m) = mi1=m:

134

Таким образом, накопленный за базовый период (год) капитал составит

		i(m)
	S(1) = S(0)(1 + i1=m)m = S(0)(1 +		)m :	(12)
		m
Очевидно, что с ростом m коэффициент		накопления		S(1) =
				S(0)
(1 + i(m) )m	растет. При этом с увеличением частоты m и умень-
m

шением периода 1=m начисления приходим к модели непрерывного начисления процентов. Ясно, что с ростом частоты m начисления процентов номинальная годовая ставка процента i(m) должна иметь предел, который обозначается и называется интенсивностью накопления, или номинальной годовой ставкой при непрерывном на- числении сложных процентов.

Определение 2. Эффективной годовой ставкой процента называется ставка i, которая обеспечивает то же накопление, что и непрерывная ставка.

Таким образом, из этого определения и в силу предельного соотношения

	lim (1 +	i(m)	)m = lim (1 +			)m = e
		m		m
	m!1		m!1
	следует, что
			1 + i = e :

Аналогично случаю простых процентов решается обратная зада- ча определения необходимого объема вклада под эффективную ставку сложных процентов i с тем, чтобы к заданному моменту времени t0 + t получить необходимую сумму S(t0 + t). Из формулы (11) имеем

	S(t0 + t)	1			t		+ t)(1 + i) t;
S(t0) =		= S(t0 + t)				= S(t0		(13)
	(1 + i)t		1 + i
или при непрерывном начислении процентов
		S(t0) = S(t0 + t)e t:						(14)

Операция определения необходимой суммы вклада для получе- ния заданной величины капитала к заданному моменту времени называется переоценкой (дисконтированием), а соответствующий коэффициент коэффициентом переоценки. Таким образом, эффективный годовой коэффициент переоценки v = v равен v = 1+1 i , à

135

непрерывный коэффициент переоценки равен e , при этом величи- на называется также интенсивностью переоценки (дисконтирования).

11.4Потоки платежей и финансовые ренты

Многие финансовые операции (в том числе страховые договоры) предполагают не одноразовые, но периодические платежи (инвестиционные взносы, выплаты страховых премий).

Подобная финансовая операция называется потоком платежей. Всякий поток платежей задается моментами tj выплат и их величинами zj , причем последовательность моментов времени упо-

рядочена в порядке возрастания

t0 < t1 < : : : < tn;

àплатежи zj могут быть как положительными, так и отрицательными. Для удобства, в дальнейшем мы будем различать положительные и отрицательные платежи, обозначая положительные через xj ,

àотрицательные через yj ; zj = xj yj .

Определение 3. Последовательность

= f(tj ; zj ); j = 0; 1; : : :g

двумерных величин (tj ; zj ), ãäå tj момент платежа, а zj его величина, называется потоком платежей. При этом платежи могут быть как положительными, так и отрицательными. Будем обозна- чать поступления и расходы через xj è yj соответственно.

Основная задача исследования и сравнения потоков платежей решается путем приведения их стоимости к одному и тому же моменту времени. При этом общая модель сравнения потоков платежей сводится к следующему. Если моментом заключения договора является

момент t0, a платежи рамеров zj вносятся в моменты tj j = 1; n, то накопленный на момент tn окончания срока договора капитал будет иметь вид

n
X	(15)
S(tn ) = zj (1 + ij );

j=0

136

ãäå ij = i(tj ; tn) ставка процента на интервале (tj ; tn).

Основной характеристикой потока платежей является его приведенная стоимость, т.е. его стоимость, отнесенная к начальному моменту времени, или моменту заключения договора (Present Value=PV). С учетом изменения стоимости денег со временем для приведенных доходов и расходов имеют место выражения

X X

P V X = x0 + xj vj ; P V Y = yj vj ;

j j

ãäå vj коэффициент переоценки на интервале (t0; tj ).

Наиболее распространенными в финансовой математике потоками платежей являются финансовые ренты.

Определение 4. Поток платежей с постоянной процентной ставкой, все выплаты в котором имеют один и тот же знак, который для определенности будем полагать положительным, и осуществляются через одинаковые промежутки времени называется финансовой рентой (аннуитетом).

Из определения видно, что рента задается процентной ставкой i,

периодом = tk tk 1 и членами ренты zk = xk .

Рента называется постоянной, если все ее члены равны xk = x, в противном случае рента называется переменной.

Срок ренты T обычно кратен величине ее периода и определяется числом n выплат, T = n . При теоретическом анализе рент удобно полагать = 1, тогда T = n.

При анализе рент существенную роль играет соотношение между интервалом начисления процентов, периодом выплат и базовым периодом. Принимая базовый период, как и ранее, за год, определим дискретную (l; m)-кратную ренту, как ренту, в которой выплата ренты производится l раз в год, а начисление процентов m раз в год. Рента называется простой, если периоды начисления процентов и выплат совпадают l = m, в противном случае рента называется общей.

Если выплаты и начисления производятся слишком часто, например, ежедневно или чаще, то их целесообразно анализировать как непрерывные. Такие ренты называются непрерывными.

В дискретных рентах существенную роль играет также правило

137

выплат в начале или в конце каждого периода. Если выплаты производятся в начале каждого периода, то рента называется упреждающей (авансированной), если они осуществляются в конце каждого периода, то запаздывающей (обычной). Возможны также случаи выплат ренты в некоторые промежуточные моменты времени внутри периода (примером такой ренты может служить пенсия с фиксированным днем выплаты в течение месяца). Мы не будем специально останавливаться на исследовании таких рент, так как их характеристики заключены между упреждающей и запаздывающей.

С точки зрения срока ренты они делятся на безусловные и условные. Первые характеризуются фиксированными сроками начала и окончания выплат, для вторых моменты начала и/или окончания выплат могут быть случайными и зависеть от некоторого события. При страховании рисков чаще всего приходится иметь дело именно с условными рентами. Рента называется вечной, если ее срок бесконечен.

Рента называется отсроченной на срок t1 (r лет), если выплаты по ней начинаются с момента t0 + t1 (или через срок t1 после заключения договора).

Приведем основные показатели простых рент, пользуясь при этом стандартными для финансовой математики обозначениями. Ясно, что для вычисления приведенных стоимостей рент наиболее существенную роль играют коэффициенты накопления и переоценки для рент с единичными выплатами, так как для произвольных размеров выплат они получаются простым умножением. Приведем соответствующие коэффициенты для упреждающих и запаздывающих рент.

Приведенная на момент заключения договора стоимость упреждающей ренты равна

	s0(0) = x(1 + v + : : : + vn 1) = x	1 vn	= x	1 vn	:	(16)
		1 v		d

Соответственно приведенная на момент заключения договора стоимость запаздывающей ренты равна

	s1(0) = x(v + v2 + : : : + vn) = xv	1 vn	= x	1 vn	:	(17)
		1 v		i

138

Из этих формул несложно выразить накопленные стоимости рент на момент tn = n через их стоимости в начальный момент t0 = 0. Согласно (4,11) из (16) и (17) соответственно имеем

	s0	(n) = (1 + i)ns0	(0) = xv n	1 vn	:	(18)
				d
	s1	(n) = (1 + i)ns1	(0) = xv n	1 vn	:	(19)
				i

Таким образом, коэффициенты накопления для упреждающих и запаздывающих рент равны соответственно (здесь и далее используются стандартные, принятые в финансовой математике обозначе- ния)

	a•	nji	=	1 vn	;	(20)
				d
	a	nji	=	1 vn	;	(21)
				i

а коэффициенты переоценки имеют вид

	s•		= v n	1 vn	;	(22)
		nji		d
	s	nji	= v n	1 vn	:	(23)
				i

В следующих двух параграфах более подробно рассмотрим различные модели страхования, а данный параграф, как всегда, завершим упражнениями.

11.5Примеры и упражнения

Примеры к этому параграфу были рассмотрены в тексте.

Упражнения.

1.а) Используя формулы (4) вычислить относительную скидку

èкоэффициент переоценки для годовой процентной ставки i = 2%;-

5%; 10%; 20%; 50%; 75%; 100%.

139

б) Вычислить годовую процентную ставку и коэффициент переоценки по относительной скидке d = 2%; 5%; 10%; 20%; 50%; 75%;-

100%.

в) Вычислить относительную скидку и годовую процентную ставку для коэффициента переоценки v = 2%; 5%; 10%; 20%; 50%; 75%; 100%.

2. Доказать, что при постоянной процентной ставке i последовательность накопленных под простые проценты за n периодов сумм образует арифметическую прогрессию с начальным членом a0 = S(t0) и разностью d = S(t0)i.

3.Доказать формулы (7 9) по индукции.

4.Доказать формулу (10) по индукции.

5.Доказать, что при постоянной процентной ставке i последовательность накопленных под сложные проценты за n периодов сумм образует геометрическую прогрессию с начальным членом a0 = S(t0)

èзнаменателем q = 1 + i.

6.Определить сумму кредита на 9 месяцев под сложных 60% годовых с условием возвращения 2 млн. у.е.

7.Доказать, что величина процентов d, выплачиваемых в начале

заключения кредитного договора, эквивалентная годовой процент-

ной ставке i равна d = 1+i i . Эта величина называется годовой учетной ставкой.

8.Вычислить сумму долга по кредиту в 500 тыс. у.е., выданному под сложные проценты на полтора года по ставке 10% в месяц.

9.Вычислить величину кредита на 2 года под сложные проценты по ставке 15% в квартал, возврат по которому равен 1,2 млн. у.е.

10.Вычислить накопленную сумму и приращение капитала от кредита на 2 года под сложные проценты по ставке i% годовых при начислении процентов: а) ежегодно, б) раз в полгода, в) ежеквартально, г) ежемесячно, д) еженедельно и е) ежедневно (при 365 днях в году). Результаты представить в виде таблицы.

11.Вычислить период удвоения капитала в кредитном договоре под сложные проценты при ставке i = 5%; 10%; 25%; 50%=; 75%; 100% годовых. Результаты представить в виде таблицы.

140

12. Вычислить коэффициенты дисконтирования и накопления для постоянных простых упреждающих и запаздывающих рент на периоды n = 1; 2; : : : ; 10 под различные ставки i = 2%; 5%; 10%; 25%; 50%.

Ÿ 12 Анализ моделей краткосроч- ного страхования рисков

12.1Вводные замечания

Типичными примерами краткосрочных индивидуальных рисков являются риски страховщика в краткосрочном (скажем, в течение года) страховании, например, жизни, имущества и т.п. Характерной особенностью моделей краткосрочных рисков является большая вероятность вообще не наступления рискового события в течение рассматриваемого срока. Поэтому моделями краткосрочных рисков являются несобственные СВ и их распределения. Задачей страхователя здесь является определение вероятности наступления рискового события, изучение распределения возможного ущерба и расчет допустимой премии, которую он готов заплатить за уверенность в компенсации его ущерба в случае наступления рискового события. Необходимо отметить, что соответствующие расчеты качественных характеристик могут проводиться независимо от намерения их страхования, т.е. они являются объективными характеристиками риска. Приведем некоторые модели краткосрочных рисков, их характеристики и примеры их расчетов.

12.2 Расчет характеристик индивидуальных исков

Как уже указывалось ранее, краткосрочные модели страхования характеризуются малой вероятностью наступления страхового случая с одной стороны и возможностью не учитывать инфляционные процессы с другой.