REL исходный с п

111

построение дерева рисков,

разметка дерева рисков,

анализ дерева рисков.

В следующих двух разделах мы рассмотрим эту методику подробнее.

9.3Построение дерева рисков

Как уже отмечалось, методика построения дерева рисков включает в себя три этапа. На первом этапе реализуется построение графа (типа дерева) событий, вершинами которого являются события, а дуги указывают на события-причины (см. рис. 9.1, где представлено дерево отказов двигателя автомобиля).

Дерево рисков строится методом "прямого и обратного анализа рисков". При обратном анализе риска рассматривается последовательность событий (отказов, ошибок оператора), приводящих к итоговому (корневому) риску (отказу), т.е. дерево рисков просматривается начиная с его корневого события.

Прямой анализ начинается с инициирующих развитие рисковых ситуаций событий, которые приводят к тому или иному риску, т.е. с листьевых событий дерева рисков. Совместное использование этих подходов, причем на каждом уровне дерева рисков, позволяет полнее проследить развитие рисковой ситуации.

В ситуации, когда необходимо изучать семейство взаимосвязанных рисков, может оказаться необходимым рассмотреть "лес рисков". Однако мы оставим эту ситуацию за рамками данного курса.

112

Рис. 9.1. Пример построения дерева рисков

Второй этап состоит в разметке дерева рисков вероятностями возникновения соответствующих событий, длительностями их развития (интервалами времени между соответствующими событиями)

и приносимыми ими ущербами.

(1)

Обозначим через pi условные вероятности (частоты) наступле-

1

ния рисковых событий (возникновения отказов) по причине i1 íà

первом уровне через p(2)	- на втором и т.д. через p(k 1)	вероят-
i1i2	i1 i2:::ik 1

113

ности (частоты) наступления рисковых событий (возникновения отказов) по причине ik 1 на (k 1)-ом уровне, а условную вероятность элементарного рискового события (отказа элемента) k-го уровня че-

(k)
ðåç pi1i2 :::ik .
Через	(l)	è	(l)	с соответствующими индексами будем
	Ti1i1 :::il		Xi1i1 :::il

обозначать время развития соответствующего события (интервал времени между наступлениями событий соответствующих уровней) и величину (дополнительную), приносимого им ущерба.

Естественно, поскольку длительности развития событий и приносимые ими ущербы величины случайные, они должны быть заданы

(l)		(l)
своими ФР Fi1 i1 :::il	(t); Gi1 i1 :::il		(x) èëè èõ ÏÔ
	~(l)		(l)
fi1 i1 :::il (s) =			M expfsTi1i1 :::il g;
	(l)		(l)
g~i1i1 :::il		(v) =	M expfvXi1i1:::il g:

Указанные величины и их характеристики представляют собой разметку дерева рисков.

Необходимо, однако, иметь в виду, что для того, чтобы эта методика согласовывалась с правилами вычисления вероятностей и распределений по ветвям дерева (или леса в случае системы нескольких рисковых исходов), следует строго придерживаться следующих правил построения дерева событий и отказов.

1.Каждое ветвление должно происходить на несовместимые события, общую часть совместимых событий следует выделять в отдельное событие.

2.Разметка ветвей должна содержать условные вероятности (распределения) событий на ветвях относительно осуществления событий в их основании (корневых).

Следует заметить также, что предложенная методика допускает построение дерева как для краткосрочных и среднесрочных, так и для долгосрочных моделей рисков. В первых двух случаях при этом сумма вероятностей на ветвях одного основания не обязана быть равна единице, тогда как в последнем эти суммы всегда должны быть равны единице.

114

9.4Анализ дерева рисков

Анализ дерева рисков производится на основе произведенной разметки и состоит в вычислении рисков итоговых событий. Если разметка дерева произведена, то вероятность сложного события, составленного из последовательности событий i = (i1i2 : : : ik ) равна

(1)	(2)	(k)		(1)
pi = pi1	pi1 i2	: : : pi1i2 :::ik	:

При этом полное время развития события и суммарный ущерб можно представить в виде

(1)	(2)	(k)			(2)
Ti = Ti1	+ Ti1 i2	+ : : : + Ti1i2 :::ik	;
(1)	(2)	(k)			(3)
Xi = Xi1	+ Xi1 i2	+ : : : + Xi1 i2 :::ik		:

Таким образом, ПФ суммарного времени развития события i и принесенного им ущерба (в предположении их независимости) могут быть представлены в виде

~	~(1)		~(2)		~(k)
fi(s) = fi1			(s)fi1 i2		(s) : : : fi1i2 :::ik (s) =
è
	(1)		(2)		(k)
g~i(v) = g~i1		(v)~gi1 i2		(v) : : : g~i1i2 :::ik		(v) =

k

Y ~(j)

fi1 i2:::ij

j=1

k

Y (j)

g~i1 i2 :::ij

j=1

(s)

(v):

(4)

(5)

Из этих соотношений нетрудно вычислить соответствующие производящие функции времен развития составного рискового события и связанного с ним ущерба, а также соответствующие моменты,

~

f (s)

g~(v)

X~

=pifi(s) =

i

X

=pig~i(v) =

i

k

X Y (j)

pi1i2 :::ij

(ii ;i2 :::ik )2i j=1

k

X Y (j)

pi1 i2 :::ij

(ii ;i2 :::ik )2i j=1

~(j)

fi1 i2 :::ij (s);

(j)

g~i1 i2 :::ij (v):

(6)

(7)

115

В частности средние значения T ; X суммарных времени T и ущерба X имеют вид

	X	(8)
T = MT =	piMTi
	i
	X	(9)
X = MX =	piMXi

i

Эти соотношения позволяют разложить сложное событие на составляющие, что дает возможность точнее оценить его характеристики, пользуясь либо статистическими данными по аналогичным событиям в других ситуациях, либо экспертными оценками для этих более простых событий.

Для облегчения построения дерева отказов существует методика, которая предполагает построение диаграмм с использованием символов логических операций и событий, а также системы эвристических правил для построения этого дерева [2].

Заметим, что с теоретико-вероятностной точки зрения предложенная методика представляет собой процедуру построения пространства элементарных событий в виде графа типа дерева, а его разметка обеспечивает вычисление характеристик времени развития рискового события и величины приносимого им ущерба. В результате методами теории вероятностей можно построить окончательное распределение времени развития рискового события и величины приносимого им ущерба, если известны соответствующие распределения на дугах графа. Последние могут быть получены частично статистическими методами (например, для отказов отдельных элементов) или методами экспертных оценок. Во всяком случае такая методика позволяет указать целенаправленную процедуру построения модели (и вместе с тем предусмотреть различные мероприятия по снижению риска, т.е. одновременно решать проблему управления рисками).

Заметим, что благодаря алгоритмичности рассмотренных процедур анализ дерева рисков может быть реализован с помощью ЭВМ. При этом, компьютер может быть использован на всех стадиях его анализа:

при построении дерева рисков в диалоговом режиме,

116

при разметке дерева в диалоговом режиме с экспертами,

при анализе дерева рисков путем прямых расчетов или методом имитационного моделирования.

Литература к главе II

[1]Де Гроот. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974, 492с.

[2]Э.Дж. Хенли, Х. Кумамото. Надежность технических систем

èоценка риска. М.: "Машиностроение", 1984. 528с.

(E.J. Henley, H Kumamoto. Reliability engineering and risk assessment. Prince-Hall Inc. Englewood Cli s, N.J. 07632)

Часть III

СТРАХОВАНИЕ

РИСКОВ

117

118

Ÿ 10 Страхование рисков и риск страхования

10.1Вводные замечания

Одним из основных методов уменьшения последствий рисковых событий является страхование рисков. Для этого создан соответствующий экономический институт (инструмент) страховые компании, которые компенсируют частично или полностью ущерб, приносимый в результате (в случае и через некоторое время после) наступления рискового события.

При этом, для компенсации ущербов, страховая компания должна располагать необходимым капиталом (фондом), который складывается из ее начального капитала и поступлений от страхователей (физических или юридических лиц), которые заключают договоры страхования и вносят определенную плату (страховую премию) в ка- честве компенсации за передачу доли риска страховой компании, а также в результате самостоятельной финансовой деятельности страховой компании.

Таким образом, страховая компания берет на себя (частично или полностью) риск страхователя (застрахованного), в результате чего возникает риск страховщика (страховой компании). Изучению этого типа рисков посвящено наибольшее количество литературы (видимо из-за богатства заказчика), и настоящая глава посвящена именно этому типу рисков. В силу сказанного, этот раздел существенно опирается на основные понятия финансовой математики.

10.2Основные понятия

Наука о страховании занимает почетное место в исследованиях и образовании в современном мире. Одной из ее составляющих (наряду с экономическими и правовыми дисциплинами) является актуарная математика. Чтобы избежать путаницы приведем, опираясь на [1, 2, 3, 4] основные понятия и термины, которыми оперирует наука и практика страхования.

119

Страховщик юридическое лицо (страховая компания), допущенная соответствующими органами путем предоставления лицензии к проведению страховой деятельности и принимающая на себя обязательства по частичной или полной компенсации ущерба в слу- чае (и в определенное время после) наступления рискового события (страхового случая).

Страхователь физическое или юридическое лицо, заключающее договор страхования.

Застрахованный физическое или юридическое лицо, в пользу которого заключается договор страхования.

Правила страхования документ, определяющий общие условия деятельности страховой компании в том или ином виде страхования; обычно на различные виды страхования составляются различные правила.

Договор страхования юридический документ, который конкретизирует правила страхования и определяет обязательства сторон и условия выплат страховых взносов и страховой компенсации при наступлении страхового случая.

Страховой случай событие, оговоренное в страховом договоре, как рисковое событие, в результате которого наступают обязательства страховщика по выплате страховой компенсации.

Страховые взносы (страховая премия) выплаты страхователя в пользу страховщика в качестве компенсации за передачу ему доли своего риска.

Страховая компенсация (страховой иск) выплаты страховщика застрахованному (или его правопреемнику) при наступлении страхового случая.

10.3Модели страхования рисков

Процедура страхования рисков связана с оценкой как момента наступления рискового события, так и величины приносимого им ущерба. При этом страхователь обычно сам оценивает величину ущерба и указывает необходимую компенсацию, которая закрепляется страховым договором. Таким образом, эта процедура частично устраняет неопределенность величины ущерба страховщика, которая, таким образом, подвергается субъективной оценке страхователя.

120

Для уменьшения неопределенности в оценке времени наступления и в связи с естественными мотивами, модели страхования подразделяют на:

краткосрочные,

среднесрочные и

долгосрочные.

Краткосрочные модели страхования характеризуются тем, что в течение указанного в страховом договоре периода страховое (рисковое) событие может вообще не наступить с одной стороны, а с другой стороны инфляционные процессы в течение этого времени не оказывают существенного влияния на доход страховой компании от страхового взноса (премии).

В моделях среднесрочного страхования вероятность не наступления страхового случая также отлична от нуля (положительна), однако, при расчете страховой премии банковская ставка играет существенную роль.

Наконец, долгосрочные модели страхования характеризуются тем, что страховое событие в них наступает с вероятностью 1, и зна- чительную роль в оценке страхового взноса (премии) играет банковская ставка.

Каждый страховой договор характеризуется некоторыми величи- нами, приведем основные из них. Каждый договор заключается на определенный срок: конечный, фиксированный (на конечное фиксорованное время), случайный до наступления некоторого события (страхового случая), или бесконечный. Обозначим через T срок договора.

Каждый договор оговаривает величину и порядок выплаты страховой компенсации (bene t) B, величина которой также может быть как фиксированной, так и случайной, зависящей от величины ущерба.

Каждый договор оговаривает величину и порядок внесения страхового взноса (премии, premium) p.

Кроме того, договорами страхования предусматриваются также различные дополнительные условия страхования, например возраст