Глава 3.Функции и операции

Бинарное отношение fназываетсяn-местной функцией (функциональным отношением, однозначным отношением), действующей извB(), если,и для всех,y₁,y₂из того, чтои, следует. Если f функция, то вместопринято писать, при этомyназываютзначениемфункцииfпри значенияхаргументовx₁,x₂, …, x_n. Если, то функцию называют всюду определенной, в противном случаечастично определенной.

Функция fназываетсяинъекцией, если для всехx₁,x₂из того, что, следует, что.

Функция fназываетсясюръекцией, если.

Функция fназываетсябиекцией (взаимно однозначным соответствиеммежду множествамиAиB), если она является инъекцией и сюръекцией одновременно.

Если функция всюду определена, то говорят, что «fестьотображение A в B», если кроме этогоf– сюръекция, то говорят, что «fестьотображение A на B». Отображениечасто называютпреобразованием множестваA, если при этом отображение является функцией, то говорят, что «f–перестановка наA».

Преобразование f дискретного конечного множестваA={1,2,3} обычно записывается следующим образом:или. Такая запись задает функцию, значение которой равно 2 для аргумента 1, 3 – для аргумента 2 и 1 – для аргумента 3.

Функции fи gравны, если:

1. совпадают их области определения;

2. для любого элемента aиз области определения.

Два множества AиBимеют одну и ту жемощность(кардинальное число), если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств. В этом случае говорят, чтоAиBэквивалентны(обозначаютAB).Aестьбесконечное множество, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собственных подмножеств; в противном случаеA–конечное множество. Каждое кардинальное число конечного множества тождественно с числом его элементов.

Бесконечное множество Aсчётно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел.

Характеристической функцией множестваAназывается функция:

Примеры функций

1) fi :[0,1][0,1] f1– сюръекция, не инъекция; f2– инъекция, не сюръекция; f3– биекция; f4– не сюръекция, не инъекция; 2) Функция есть биекция между множествами N и Z.

Операции над функциями

1. Функция называетсяобратной функциейк функции. Для функцииобратная функция существует тогда и только тогда, когдаfявляется взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений. Заметим, что функция по определению есть отношение, значит, определено обратное отношение, но, возможно, что оно не является функцией.

2. Функция называетсякомпозициейфункцийи(обозначается), если имеет место равенство.

Часто говорят, что функция h полученаподстановкой fвg. Для многоместных функций,возможны различные варианты подстановкиfвg.

3. Функция, полученная из некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называетсясуперпозицией . Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки, скобки и символы аргументов, называетсяформулой суперпозиции.

Пример 21.Пусть,,,, тогда:

;

;

;

.

Функция есть суперпозиция функцийfиg, формула которой.

Пример 22.Пусть дано множествоA={1,2,3,4} и два преобразования этого множества

,

,

тогда композиции этих преобразований:

, .

Операциейназывают функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случаеn-местная функцияназываетсяn-арной операциейна множествеA(иногда говорят, что «у операцииарностьравнаn). В таких случаях говорят, что множествоAзамкнуто относительно операции(результат выполнения операциинаAпринадлежитA). В частности, функция одного аргумента называетсяунарной операцией, а двух аргументов –бинарной операцией.