2.2. Минимизация булевых функций

Импликантой f₂(x₁, x₂,..., x_n) данной функцииf₁(x₁, x₂,..., x_n) называется функция со следующими свойствами:

Лемма 5. Функцияgявляется импликантой функцииf тогда и только тогда, когда переключательная функцияgf равнаconst1.

Лемма 6. Если функцияg– импликанта функцииfиg =ab, гдеaиb – произвольные функции, тоaиb также являются импликантами функцииf.

Простой импликантой булевой функции называется элементарное произведение, которое является импликантой, и никакая собственная часть которого не является импликантой.

Лемма 7. Конституенты единицы тех наборов, на которых данная функция равна единице, есть импликанты данной функции.

Лемма 8. Любая собственная часть конституенты единицы фиксированного набора сохраняет единицу на этом фиксированном наборе.

Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма (Сокр. ДНФ) есть дизъюнкция всех простых импликант функции. Обозначаетсяf_{Сокр.ДНФ}(x₁, x₂,..., x_n). Формулы, получаемые перестановкой конъюнкт и дизъюнкт, считаются одной и той же Сокр. ДНФ.

Теорема 2. Всякая переключательная (логическая) функция представима, причём однозначно, в виде некоторой сокращенной дизъюнктивной нормальной формы.

Сокращенная ДНФ функции может содержать так называемые лишние импликанты. Лишниминазываются теимпликанты, удаление которых из Сокр. ДНФ функции не изменяет ее таблицы истинности.

Форма булевой функции, которая является дизъюнкцией простых импликант, среди которых нет лишних, называется тупиковой ДНФ (ТДНФ). Различные тупиковые ДНФ одной и той же функцииf(x₁, x₂,..., x_n) могут содержать разное число вхождений переменных. Выбор среди всех тупиковых ДНФ функцииf(x₁, x₂,..., x_n) формы с наименьшим числом вхождений переменных даетминимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ). Необходимо отметить, что в общем случае у одной функцииf (x₁, x₂,..., x_n) может быть несколько различных МДНФ, но все они имеют одинаковое число вхождений переменных, причем наименьшее среди всех ДНФ функцииf(x₁, x₂,..., x_n).

Пример 27.Получить тупиковую форму для функции:

.

Согласно лемме 5, функции ,,,,,являются импликантами функцииf. Проверим, являются ли эти импликанты простыми. Для этого надо построить таблицы истинности для всех собственных частей этих импликант (импликанта является простой, если никакая ее собственная часть импликантой не является).

Очевидно, что никакая часть не импликанты не может быть импликантой. Поэтому, если при проверке на простоту импликанты длины n оказалось, что все ее собственные части длины n–1 оказались не импликантами, то не имеет смысла проверять ее собственные части длины n–2, …,1.

Ниже в табл. 4 приведены истинностные значения для всех функций, необходимых для подтверждения простоты импликант. Выделены те единицы функции, из-за которых она не является импликантой (достаточно одной такой единицы-нарушителя у функции). В первой строке таблицы указаны импликанты, которые проверяются на простоту, а во второй строке для каждой из этих функций выписаны ее собственные части (не все, а лишь только те, которые необходимы для установления простоты).

Таблица 4

													и
x,y,z,p	f
0 0 0 0	1										1				1	1	1
0 0 0 1							1								1
0 0 1 0																1
0 0 1 1				1			1
0 1 0 0	1					1			1	1	1	1	1	1	1	1	1
0 1 0 1	1		1			1	1	1	1				1	1	1
0 1 1 0		1				1				1			1			1
0 1 1 1	1	1	1	1	1	1	1	1					1
1 0 0 0	1																1
1 0 0 1	1
1 0 1 0	1
1 0 1 1	1
1 1 0 0												1		1			1
1 1 0 1	1							1						1
1 1 1 0
1 1 1 1					1			1
Импликанта? («+» – да)		–	+	–	–	–	–	–	+	–	+	–	–	–	–	–	–

Окончание табл. 4

x,y,z,p	f
0 0 0 0	1		1	1	1	1
0 0 0 1			1	1					1			1
0 0 1 0			1		1
0 0 1 1			1
0 1 0 0	1					1				1
0 1 0 1	1								1	1	1	1
0 1 1 0
0 1 1 1	1										1
1 0 0 0	1	1	1	1	1	1	1
1 0 0 1	1	1	1	1			1	1	1			1
1 0 1 0	1	1	1		1
1 0 1 1	1	1	1					1
1 1 0 0		1				1	1			1
1 1 0 1	1	1					1	1	1	1	1	1
1 1 1 0		1
1 1 1 1		1						1			1
Импликанта? («+» – да)		–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–

Теперь перепишем из табл. 4 все простые импликанты функции. В полученной таблице не обязательно присутствуют вообще все простые импликанты данной функции, мы лишь можем утверждать, что дизъюнкция всехпростых импликантиз таблицыдает исходную функцию, т.е.

.

Чтобы получить некоторую тупиковую форму, осталось удалить все лишние импликанты из этой записи. Для этого можно воспользоваться следующей таблицей (из таблицы истинности убрали строки, в которых функция равна 0).

Таблица 5

x,y,z,p	f
0 0 0 0	1			1	1
0 1 0 0	1		1	1
0 1 0 1	1	1	1				1
0 1 1 1	1
1 0 0 0	1				1			1
1 0 0 1	1					1		1
1 0 1 0	1
1 0 1 1	1							1
1 1 0 1	1					1	1

В таблице отмечены те единицы функции, которые говорят, что импликанта точно не лишняя. Лишними можно считать, например, импликанты ,и, тогда

.