- •Оглавление
- •Глава 3. Логика высказываний 78
- •Глава 4. Логика предикатов 90
- •Введение
- •I. Системы счисления
- •1.1. Непозиционные системы счисления. Римская система счисления
- •1.2. Позиционные системы счисления
- •1.3. Взаимосвязь систем счисления
- •I. Алгоритм перевода целого числа Aq из q-ичной системы счисления в число Bd d-ичной системы
- •II. Алгоритм перевода целого числа Ad из d-ичной системы счисления в число Bq q-ичной системы
- •III. Алгоритм перевода правильных дробей из q-ичной системы счисления в d-ичную с вычислениями в d-ариф-метике
- •IV. Алгоритм перевода правильных дробей из d-ичной системы счисления в q-ичную с вычислениями в d-арифметике
- •V. Алгоритм перевода чисел из d-ичной системы счисления в dn-ичную систему счисления
- •VI. Алгоритм перевода чисел из dn-ичной системы счисления в d-ичную систему счисления.
- •1.4. Двоичная система счисления
- •1.4.1. Двоичная арифметика
- •1.4.3. Вычитание с использованием двоичного дополнения. Умножение
- •Алгоритм вычитания целых десятичных чисел
- •Алгоритм отыскания двоичного дополнения числа
- •Теория множеств
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Основные операции теории множеств
- •Старшинство операций (операции даны по убыванию приоритетов)
- •1.4. Диаграммы Венна
- •1.5. Основные законы теории множеств
- •1.6. Декартово произведение и отношения
- •Глава 2. Бинарные отношения
- •2.1. Основные определения
- •Глава 3.Функции и операции
- •Примеры функций
- •Операции над функциями
- •Свойства бинарных операций
- •Глава 4.Алгебраические структуры
- •III. Математическая логика
- •Глава 1. Переключательные функции
- •1.1. Основные определения
- •Переключательные функции двух аргументов
- •1.2. Основные теоремы (эквивалентные соотношения) переключательных функций
- •Глава 2.Булева алгебра
- •2.1. Основные определения
- •Эквивалентные соотношения в булевой алгебре
- •2.2. Минимизация булевых функций
- •2.3. Аналитические методы нахождения мднф Метод Квайна
- •Формулы метода
- •Алгоритм метода
- •Метод Блейка
- •Формулы метода
- •Алгоритм метода
- •Сравнение методов Квайна и Блейка
- •Построение мднф из Сокр.Днф с помощью таблицы Квайна
- •Алгоритм получения fМднФс помощью таблицы Квайна
- •2.4. Графическая минимизация логических функций
- •Метод карт Карнапа
- •Алгоритм минимизации по карте Карнапа
- •2.5. Полнота систем булевых функций
- •Классы Поста
- •Полиномы Жегалкина
- •Глава 3.Логика высказываний
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Алгебра логики высказываний
- •3.3. Применение к естественному языку
- •Список наиболее часто встречающихся выражений, соответствующих логическим связкам
- •3.4. Исчисление высказываний (ив)
- •Глава 4.Логика предикатов
- •Определения кванторных высказываний
- •4.1. Алгебра логики предикатов
- •4.2. Выполнимость и общезначимость
- •4.3. Равносильность формул
- •Приведенные формулы
- •4.4. Применение логики предикатов к естественному языку
- •4.4.1. Суждения
- •Виды категорических суждений
- •4.4.2. Исчисление одноместных предикатов как исчисление классов. Теория категорических суждений и силлогизмов Аристотеля
- •Законы формальной логики Аристотеля:
- •4.4.3. Умозаключения
- •Наиболее распространенные схемы правильных дедуктивных рассуждений
- •4.4.4. Основные законы формальной логики. Логические основы аргументации
- •4.5. Исчисление предикатов
- •Литература
- •Предметный указатель
4.4.3. Умозаключения
При доказательстве утверждений в математических теориях обычно используют рассуждения (умозаключения). Рассуждением(умозаключением) называют процесс получения новых знаний, выраженных суждениями (высказываниями), из других знаний, также выраженных суждениями (высказываниями). Исходные высказывания называютсяпосылками (гипотезами,условиями), а получаемые высказывания –заключением(следствием). На языке логики рассуждение можно выразить последовательностью формул.
Отметим, что не всякое сочетание суждений является умозаключением. Между суждениями должна быть логическая связь, в которой отображается взаимозависимость предметов и явлений объективного мира.
Значение умозаключения в мыслительном процессе огромно, ибо все положения любой науки есть результат умозаключения (рассуждения).
Умозаключения бывают дедуктивными и недедуктивными:
– дедуктивное умозаключение(лат.deductio– выведение) – умозаключение, в котором из истинности посылок с необходимостью следует истинный вывод;
– недедуктивное умозаключение– умозаключение, имеющее такие связи между посылками, которые не гарантируют истинности заключения при истинных посылках.
Наиболее распространенные недедуктивные умозаключения:
– умозаключение по аналогии (греч. analogia– соответствие, сходство) – это логический вывод, в результате которого достигается знание о признаках одного предмета на основании знания того, что этот предмет имеет сходство с другими предметами;
– индуктивное умозаключение (греч. indictio– наведение)– умозаключение, в котором заключение о свойствах каждого элемента некоторого множества делается на основании изучения свойств его отдельных элементов.
Более подробно о разных видах умозаключений можно прочесть в книге [11].
Рассуждения называются правильными(ведущими к познанию истины), если они построены по законам формальной логики. Истинность вывода в умозаключении зависит от истинности посылок и правильности применения законов мышления (законов логики) в процессе логического действия с посылками. Только соблюдение обоих этих условий дает возможность прийти к верному выводу. Так, из истинных посылок можно получить ошибочный вывод, если в ходе умозаключения не выполнить требования того или иного логического закона. Примером такого умозаключения может служить следующее рассуждение [5]:
Все рыбы дышат жабрами;
Все рыбы живут в воде;
Все живущие в воде дышат жабрами.
В этом умозаключении (это силлогизм 2-й группы типа aaa, среди правильных его нет) обе посылки являются истинными, но вывод ложен.
Но может быть и так, что из ложных посылок делается верный вывод. Примером такого умозаключения может служить следующее утверждение [5]:
Швеция находится в Африке;
В Швеции субтропический климат;
Некоторые страны с субтропическим климатом находятся в Африке.
Вывод в этом умозаключении истинный, но он сделан из ложных посылок.
Вообще говоря, логически правильных схем рассуждений бесконечное множество, поэтому если схема рассматриваемого умозаключения отсутствует среди приведенных в табл. 10 правильных схем, это еще не означает, что умозаключение неверно.
Таблица 10