4.4.4. Основные законы формальной логики. Логические основы аргументации

Науке издавна известны четыре логических закона (лат. Logos – мысль, мышление, разум) [5]. Еще вIVв. до н.э. известный греческий мыслитель Аристотель открыл три логических закона:

Закон тождества– закон, согласно которому всякое понятие или суждение в процессе некоторого рассуждения должно оставаться тождественным самому себе. Иными словами, в процессе рассуждения нельзя произвольно изменять содержание некоторого понятия, того или иного термина или смысл некоторого высказывания.

Закон непротиворечия: два противоположных высказывания об одном и том же предмете не могут быть одновременно истинными в одном и том же отношении или смысле.

Закон исключения третьего: из двух противоречащих друг другу высказываний одно истинно, а второе – ложно.

В XVIIв н.э. немецкий философ и математик Лейбниц открылзакон достаточного основания, который требует, чтобы всякое истинное высказывание было достаточно обосновано другими истинными же высказываниями.

Действию этих законов подчиняются все наши мысли, независимо от конкретного содержания этих мыслей.

Доказательствомназывается логическое действие, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей.

Всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, аргументовидемонстрации(способ доказательства) . По способу ведения доказательства бываютпрямыеикосвенные.

Рассмотрим условное высказывание AB, гдеA– конъюнкция посылок,B– заключение. Иногда удобнее вместо доказательства истинности этого условного высказывания установить логическую истинность некоторого другого высказывания, равносильного исходному. Такие формы доказательства называютсякосвенными методами доказательства.

Одним из них является способ доказательства от противного. Предположим, что утверждениеABложно. Тогда, исходя из этого предположения, приходим к противоречию и доказываем, что некоторое утверждение (соответствующее высказываниюC) выполняется и не выполняется одновременно. Применимость этой формы косвенного метода доказательства оправдывается равносильностьюAB=^(AB)(C^C)=(A^B)(C^C).

Существуют и другие схемы доказательства от противного:

AB=(A^B)^A,

AB=(A^B)B.

Доказательство по закону контрапозиции, основано на равносильностиAB=^B^A, т.е. вместо истинностиABдоказывается истинность^B^A.

Разделительное доказательство (метод исключения) – косвенное доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности (путем последовательного исключения из рассмотрения) всех членов разделительного суждения, кроме одного, которое и является тезисом. Разделительная посылка при этом должна содержать все возможные варианты.

В классической математике теоремами называют положения, или утверждения, устанавливаемые при помощи доказательства, основанного либо на аксиомах, либо на уже доказанных утверждениях.

1. Теоремы и

называютсявзаимно обратными.

2. Теоремы и

называютсявзаимно противоположными.

3. Если теорема верна, то суждениеназываетсядостаточнымусловием для, а суждение–необходимымусловием для.

В тех случаях, когда в теореме содержатся слова «необходимо и достаточно» («тогда и только тогда», «в том и только в том случае» и т.п.), доказательство обязательно должно состоять из доказательства необходимости и из доказательства достаточности, т.е. доказательства двух теорем прямой и обратной.

Прямая теорема и теорема противоположная обратной либо обе истинны, либо обе ложны, т.е. имеет место равносильность

Как уже говорилось, вместо прямого доказательства теоремы можно построить косвенное доказательство. Например в качестве доказательства прямой теоремы доказать теорему, противоположную обратной.