Теория множеств

Глава 1. Множества

Точного определения понятия «множество» в математике нет. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918 гг.) использовал следующее «определение»: «множество илисовокупность– это собрание определенных и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве целого».

1.1. Основные определения

Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами A, B, ... ,Z, а элементы, принадлежащие данным множествам, – строчными латинскими буквамиa,b, …,z.

1. Множество может быть задано с помощью перечисления(указания) всех его элементов, заключенных в фигурные скобки. Например, записьA={1,5} задает множествоA, которое состоит из двух элементов – чисел 1 и 5.

2. Множество может быть задано с помощью характеристического свойства его элементов. Например, множествоA, состоящее из элементовx, являющихся четными числами, можно записать следующим образом:A={x|x – четное число}. В такой записи слева от вертикальной черты задается вид элемента (единичный элемент, пара элементов, множество, цепочка символов и т.п.), а справа – характеристическое свойство.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, тобесконечным.

Принадлежность элементов множеству обозначается символами и. Запись «aA» читается: «элементa принадлежит множествуA» или «для элементаaвыполняется характеристическое свойство множестваA». Запись «aA» читается: «элементa не принадлежит множествуA» или «для элементаaне выполняется характеристическое свойство множестваA».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыми обозначается. Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называетсяуниверсальным илиуниверсумом и обозначаетсяU.

Множество AназываетсяподмножествоммножестваB(обозначаетсяAB илиBA), если все элементы множестваAпринадлежат множествуB. ЕслиAB, то будем также говорить, что множествоAсодержится вB, или имеется включение множестваAвB (или, если элемент не принадлежит множествуB, то он не принадлежит множествуA).

Подмножеством множества Bсчитают также пустое множество и само множествоB; их называютнесобственными подмножествами; остальные подмножества называютсобственными подмножествами.

Если множества AиBзаданы перечислением их элементов, то для доказательства включенияABдостаточно проверить, что все элементы множестваAприсутствуют в множествеB. В общем случае, для произвольных множествAиBструктура доказательстваAB, должна иметь вид:

«Пусть , тогда …, …, тогда».

Отметим, что фраза «» означает, что дляa выполняется характеристика множестваA, и наоборот, если показано, что для некоторого элементаbвыполняется характеристика множестваB, то можно записать «».

Совокупность всех подмножеств множества Aназываетсябулеаноми обозначается={B|BA}. Например, булеаном множестваA={a,b,c} будет множество={, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.

Множества AиBназываютравнымиилисовпадающими(обозначаетсяA=B), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. еслиBAиAB. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется доказать два включения.