4.4. Применение логики предикатов к естественному языку

Наиболее часто встречающиеся выражения, которые могут быть переведены на формальный язык с помощью кванторов:

xA(x)	xA(x)
Для некоторых x (имеет место) A(x) Для подходящего x (верно) A(x) Существует x, для которого (такой, что) A(x) Имеется x, для которого (такой, что) A(x) Найдется x, для которого (такой, что) A(x) У некоторых вещей есть признак A Хотя бы для одного x (верно) A(x) Кто-нибудь относится к (есть) A По крайней мере, один объект есть A	Для любого x (имеет место) A Для произвольного x (имеет место) A A(x) при произвольном x Для всех x (верно) A(x) A(x), каково бы ни было x Для каждого x (верно) A(x) Всегда имеет место A(x) Каждый обладает свойством A Свойство A присуще всем Всё удовлетворяет A Любой объект является A Всякая вещь обладает свойством A

Выражения, в которых совместно появляются кванторы и отрицания:

^xA(x)	Не для каждого x (верно) A(x) Не при всяких x (верно) A(x) Не всё обладает свойством A Не все суть A A не всегда верно A(x) оказывается истинным не для всех x	^xA(x)	Не существует x такого, что A(x) Нет (никакого) x такого, что A(x) A(x) не выполняется ни для какого x Ничто не обладает свойством A Никто не есть A Неверно, что для некоторых x A(x)
x^A(x)	Для всякого x неверно A(x) A(x) всегда ложно Ничто не обладает свойством A Все суть не A	x^A(x)	Для некоторого x не(верно) A(x) Что-то не обладает свойством A Кто-то суть не A

Бывает, что в обыденной речи слово «некоторые», особенно если его подчеркивают, носит оттенок «некоторые, но не все». Когда политик произносит: «Некоторые политики – мошенники», он имеет в виду: «Неверно, будто все политики – мошенники, но некоторые – мошенники», т.е.

[4].

В повседневной речи слова «все» и «некоторые» порой опускаются. Фраза: «Люди смертны» обозначает: «Все люди смертны», а фраза: «Люди взошли на Эверест» означает: «Некоторые люди взошли на Эверест».

Пример40. Правильная формализация высказывания: «Выгул кошек и собак воспрещен» –^x((K(x)C(x))B(x)) илиx((K(x)C(x))^B(x)). Но было бы ошибкой переводить: «На всех кошек и собак надлежит получить разрешение» черезx((K(x)C(x))P(x)), так как множествоx, таких что верно K(x)C(x), пусто. Правильный перевод: x(K(x)P(x))y(C(y)P(y)) илиx((K(x)C(x))P(x)).

Пример 41. ПустьM=<Z+,f>, где Z+ – множество неотрицательных целых чисел, f – соответствие, которое для предикатных символовS⁽³⁾(x,y,z),P⁽³⁾(x,y,z) определяет следующие предикаты:S⁽³⁾(x,y,z)=Иx+y=z;P⁽³⁾(x,y,z)=Иxy=z. Формализовать выражение: «Множество простых чисел бесконечно».

Это выражение означает, что для произвольного простого числа xнайдется простое числоy, которое будет больше чемx.

Пусть «Множество простых чисел бесконечно», тогда

,

где «x– простое число»,«».

Простое число – это число, которое делится только на 1 и на само себя, т.е. если число x простое и является результатом произведения чиселyиz, то хотя бы одно из этих чисел равно 1 (y=1 илиz=1). Значит:

,

где «».

Единица – это такое число, которое при умножении на любое число yв результате даетy, т.е..

Теперь определим предикат . Выражение «» означает, что можно найти числоa, которое при сложении с xдаст y, причем неравенство строгое, поэтомуaдолжно быть ненулевым. Значит,, где“”.

Ноль – это число, которое при сложении с любым числом bв результате даетb, следовательно,.

Таким образом,

.