VI. Алгоритм перевода чисел из dn-ичной системы счисления в d-ичную систему счисления.

Каждую цифру искомого числа заменить n-разрядным числом в новой системе счисления.

Пример 6.

_ ,

._

Последние три алгоритма имеют большое практическое значение. Обмен информацией между узлами и устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи командных слов, которые, как правило, являются словами в двоичном алфавите. Использование двухбуквенного (0 и 1) алфавита диктуется инженерными требованиями. Однако пользоваться словами, записанными в таком алфавите, из-за большой длины слов и своеобразной «зрительной однородности» текста человеку неудобно. Поэтому программисты и инженеры все «машинные слова» при обсуждении обычно заменяют эквивалентными числами, записанными в шестнадцатеричной системе.

1.4. Двоичная система счисления

Официальное рождение двоичной арифметики связывают с именем Г.В. Лейбница (1646–1716 гг.). Он в 1703 году опубликовал статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. Отметим, что Лейбниц не рекомендовал двоичную систему для практических вычислений, он считал ее полезной лишь при рассмотрении теоретических вопросов.

До начала тридцатых годов XXв. двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и удивительная простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратурной реализации. Первые двоичные вычислительные механические машины были построены во Франции и Германии. Пионером в проектировании вычислительных устройств двоичного действия на электронно-ламповой основе является инженер Дж.В. Атанасов, болгарин по национальности, проживавший в США. Одновременно с ним (1937 г.) двоичную машину, но на релейной основе, спроектировал Дж.Р. Штибиц. В 1941 г. немецкий инженер Конрад Цуре построил сначала механическую, а затем и релейную двоичную вычислительную машину [3].

Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы А.У. Беркса, Х.Х. Гольдсайна и Дж. фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой, написанной в 1946 г. В этой работе наиболее аргументированно обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и переход к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

1.4.1. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основана на использовании таблиц сложения и умножения цифр:

+	0	1			0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

Действия над числами, как и в других позиционных системах счисления, осуществляются поразрядно с учетом приведенных выше таблиц:

Прежде всего отметим, что и вычитание, и деление в двоичной арифметике можно осуществить по общепринятым правилам, аналогично тому, как это делается в десятичной системе счисления.

Однако, и это очень важно для практики, особенности двоичной системы счисления позволяют создать специфические алгоритмы вычитания и деления двоичных чисел, наиболее подходящие для аппаратурной реализации.