32.Парабола: геометрическое определение, вывод и исследование канонического уравнения

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы - буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М(x; y) параболы (то есть длина отрезка F(M) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

 

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

Дифференциальное исчисление.

1.Определение предела функции. Бесконечно малые. Представление функции в виде суммы константы и бесконечно малой.

Определение: Пусть функция f(х) определена проколотой окрестностью точки х₀ число А называется пределом функции f(х) при х стремящимся к х₀ и записывается: lim_х→х0 f(х)=А, если для каждого ε>0 существует такое δ, зависящее от ε, что при 0<│х-х₀│<δ. Используя сокращенные обозначения получаем, что lim_х→х0f(x)=А означает, что ˅ε>0Ǝδ=δ(ε), такое, что 0<│х-х₀│<δ =˃ │f(x)-А│˂Ɛ. Если f(х) определена в точке х₀ и А=f(х₀) т.е .выполняется условие: lim_х→х0f(x)=f(x₀) то f(х) называется непрерывной в точке х_0. Это говорит о том, что вычисление предела для непрерывной фу-ии очень прост и сводится к подстановке, т.е. к вычислению значения предельной фу-ии в предельной точке х₀.

Определение: Функция α(x) называется бесконечно малой в т. Х₀ если lim_х→х0 α(х)=0 это функция, предел которой =0

Пример: α(х)=(х-2)⁵ б.м. в т. Х=2, т.к. lim_х→2 (х-2)⁵ =0,если lim_х→х0f(x)=А, то f(х)-А=α(х) б.м. в т. Х₀, f(х)=А+α(х). Теорема: Функция имеет предел =А lim_х→х0 f(х)= А f(х)=А+α(х), где α(х)- б.м. в точке х₀ т.е. фу-ия имеет предел, равный А, тогда и только тогда, когда она представляется в виде суммы константы А и б.м. α(х).