20. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

(1)

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку(,) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки (,),(,), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (,) и(,).

Если известны угловые коэффициенты идвух прямых, то один из угловмежду этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или.

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

 Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами (х₀;у₀;z₀)  перпендикулярно нормальному вектору плоскости с координатами (А,В,С)

 

 A (x-x₀) + B (y-y₀) + C (z-z₀)=0

21. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор.

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

22. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Точка Параллельна двум данным векторам- «направляющим» векторам:

Это уравнение выражает условие компланарности векторов ,и, где- произвольная точка в пространстве. Используем полученное уравнение для написания уравнения плоскости по следующим модифицированным геометрическим данным:

a) Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ,параллельно данному вектору

b) Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,

В случае a)мы можем взять точку и направляющие векторы,а в случаеb) – точку и направляющие векторы.

23. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки.

            Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

            Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

            Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы были компланарны.

() = 0

Таким образом,              

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: