5. Теорема о ложном разложении опред. Вычисление произвед. Квадратной матрицы на ее присоединенную.

Теорема. Сумма произведений элементов какой-то строки на алгебр. Дополнения соответствующих элементов другой строки равна 0.

Например:

Док-во. Заметим, что алгебр. Дополнения элементов какой-то строки(2-ой) не зависят от того, какие элементы стоят в данной строке, ибо эта стока вычеркивается при вычислении алгебр. Дополнений. ⇒ эти алгебр. Дополнения не меняются при изменении данной строки. Заменим вторую строку на первую и вычислим полученный новый определитель, разлагая его по второй строке. Из свойства 4 (если в определителе две строки равны, то определитель равен 0)получаем 0==

6.Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Матрица, обратная к матрице А, -это такая матрица , чтоA*=Е и*A=Е

Пусть А –квадратная матрица порядка n . заменим каждый элемент его алгебр. Дополнениеми транспонир. Полученную матрицу. Ã=эта матрица назыв. присоединенной к матрицеA.

Пример: Если А –квадратная матрица второго порядка , то A=,=

Ã==

Теорема. Произведение квадратной матр. А на ее присоединенную матрицу равно единичной матрице , умноженной на определитель Δ=|А|: A*=Е*Δ,=Е.

Запись матрицы.Х-столбец неизвестных, В-столбец свободных члпенов: А=, Х=, В=

Произведение матриц А*Х

АХ=*=,сокращенно АХ=В.

Решение. Теорема.если определитель системы Δ=|А|‡0,то система имеет единственное решение Х=*В

Док-во. умножим уравнение АХ=В слева на .получим(АХ)=В.но(АХ)=(*А)*Х=ЕХ=Х.

Выпишем решение Х=*В в случаеn=3:

X=*B=AB==.

Правило крамера , записанное в другом виде.

7.Векторы. Сложение векторов и умножение их на число.

Различают закрепленные и свободные векторы.

Опр. Закрепленным вектором наз. направленный отрезок, определенный двумя точками А и В. Точка А наз. началом, т.В-концом вектора. Обозначается и изображается в виде отрезка со стрелкой:

Длина вектора наз. его модулем, ||=АВ. Закрепленный вектор характеризуется :1)длиной, направлением, точкой приложения (т. е. его началом).

Вектор -. нуль-вектор. Он имеет нулевую длину и не имеет направления (или он имеет произвольное направление).

Если векторы

Параллельны, то они лежат в одной плоскости:

↑↑ ↑↓. Если в определении отвлечься от точки приложения вектора, то получается понятие свободного вектора.

Опр. Два закрепленных вектора наз. эквивалентными(равные как свободные векторы), если:1) их длины равны,; 2)они имеют одинаковые направления,.

Свободным вектором(просто вектор)наз. множество эквивалентных закрепленных векторов. Обозначаются (a,b..)

Запись означает, что закрепленный векторявляется представителем свободного вектора.(векторот точки А).

Свободный вектор можно отложить от любой точки.

Сложение векторов.

Суммой векторов наз. вектор, который обознач., который определяется одним из след. Двух спомсобов:

1)опр.Правило параллелограмма . отложим векторы от одной и той же точки.

=.

2)правило треугольника. Отложим вектор от точки А (), а векторb от конца вектора a()

.

3)для любых трех точек . Опр.1 ,2 равносильны. Опред. 2 обобщается на случае любого числа векторов, получаем правило многоугольника

Вычитание векторов.

Эта операция, обратная сложению. Разность векторов наз. такой вектор, что. Отложим векторыa и b от одной и той же точки. Тогда вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора a равен .

.

Умножение вектора на число.

Произведение вектора a на λ, наз. вектор λ , у которого 1) длина |λ|=|λ|||;

2)направление

Свойства : -(λ+ϻ)=λ+ϻ

-λ()=λ

-λ(ϻ)=(λϻ)

8. линейная зависимость и независимость векторов. Связь понятия линейной зависимости с коллинеарностью и компланарностью векторов.

Опр. Векторы ….наз. линейно зависимыми , если существует числа, не все равные нулю, такие , что+…+=

Если это не так, то векторы наз. линейно независимыми, т.е. векторы ….линейно независимы, если равенство+…+=Возможно только в случае.

Это легко проверить:1)если среди векторов ….имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2)если часть из векторов …., л.з., то и все эти векторы линейно зависимы.

Опр. Векторы ….наз. линейно зависимыми , если один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Понятие линейной зависимости связано с геометрией расположения вектора.

Векторы наз. коллинеарными , если они параллельны одной и той же прямой , т. е. если их отложить от одной точки, то они будут лежать на одной прямой. коллинеарные векторы-это параллельные между собой векторы.

Векторы наз. компланарными , если они параллельны одной и той же плоскости, т. е. если их отложить от одной точки , то они будут лежать в одной плоскости.

Теорема.Два вектора л. З.

Док-во: пусть л.з. например. Тогдапо определению умножения вектора на число.

Пусть и. Тогда.,гдеесли.

-если ,.

Теорема. Три вектора компланарны⇔ л.з.

Док-во: пусть векторы л.з. и например,. Тогда векторлежит в одной плоскости спо опр.Операций над векторами.

Пусть вектора компланарны. Если, то векторыл.з.⇒векторы л.з. поэтому можно считать , что. Тогда выразим векторчерез векторы. для этого нужно построить параллелограмм с диагональюи сторонами , параллельными..

9.Базис, коЪ+Х 0ю0007.⇔, т.е. .