- •Линейная алгебра и геометрия.
- •1.Определители и их свойства.
- •2.Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении опред. По элементам строки или столбца.
- •3.Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, правило Крамера.
- •4. Матрицы, действия над матрицами.
- •5. Теорема о ложном разложении опред. Вычисление произвед. Квадратной матрицы на ее присоединенную.
- •6.Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
- •7.Векторы. Сложение векторов и умножение их на число.
- •10.Система координат. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала.
- •11. Деление отрезка в данном отношении.
- •12.Прямоугольная система координат. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.
- •14.Скалярное произведение и его свойства.
- •16.Векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл модуля.
- •17.Вычисление координат векторного произведения. Применение к вычислению площадей.
- •18 Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.
- •19 Вычисление смешанного произведения в координатах. Признак компланарности трех векторов
- •20. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •22. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.
- •23. Уравнение плоскости проходящей через три данные точки.
- •24. Условие параллельности вектора и плоскости. Неполные уравнения плоскости.
- •25.Расстояние от точки до плоскости
- •26. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28.Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Угол между прямыми.
- •29. Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.
- •30.Эллипс: геометрическое определение, вывод и исследование канонического уравнения
- •32.Парабола: геометрическое определение, вывод и исследование канонического уравнения
- •Дифференциальное исчисление.
- •1.Определение предела функции. Бесконечно малые. Представление функции в виде суммы константы и бесконечно малой.
- •2.Свойства бесконечно малых.
- •3. Предел суммы, произведения и частного.
- •4. Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности.
- •5. Теорема о «двух милиционерах».
- •6. Первый замечательный предел.
- •7.Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Второй замечательный предел.
- •8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •9. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
- •10.Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
- •13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке.
- •14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.
- •15.Производная суммы и произведения функций.
- •17.Производная сложной функции.
- •20.Дифференциал функции: определение и формула для вычисления. Эквивалентность дифференцируемости и существования производной.
- •21.Теорема Ферма и Ролля.
- •23.Теорема коши об отношении приращений двух функций на отрезке
- •24.Правила Лопиталя
- •26.Возрастание и убывание функции. Доказать что, при положительной производной функция возрастает.
- •27.Точки экстремума,достаточное условие экстремума для первой производной.
- •28.Точки экстремума. Достаточное условие экстремума по второй производной.
- •29.Выпуклость и вогнутость ,точки перегиба связь со второй производной
- •31.Частные производные. Независимость смешанных частных производных от порядка дифференцирования.
- •32.Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал функций.
- •33.Частные производные сложной функции.
- •34.Неявные функции и их производные.
- •35.Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •36.Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке.
Определение: производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента стремиться к нулю Δх→0
f’(x) = limΔх→0Δу/Δх= limΔх→0f(x0+Δx)- f(x0)/Δx. Производная в т.х0-это число. Если т.х0 меняется, мы получаем функцию f’(x), которая также называется производной функцией. Нахождение производной-дифференцирование. Производные обозначаются у’ или f’(x), dy/dx.
Δу/Δх=tg угла наклона секущей к оси ОХ (т.е. её угловому коэффициенту).Если Δх→0, то секущая стремиться к касательной к графику в точке х, поэтому её угловой коэффиц.стремиться к угловом.коэффиц.касательной,т.е. получаем, что углов.коэффиц.касательной-производная. Значение производной в точке х0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции.
Определение: нормалью к плоской кривой γ в т.М0 называется перпендикуляр к касательной к кривой γ в этой точке. Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны соотношение к2=-1/к1. Отсюда получаем уравнение нормали к графику f(x) в точке х0:
n:у-у0=1/ f’(x0)(х-х0)
14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.
Теорема: если существует() f’(x0), то фун-ия у= f(x) непрерывна в точке x0.
Док-во: пусть существ. f’(x0)= limΔx→0Δy/Δx. Тогда Δy/Δx= f’(x0)+α, где α=α(х)-б.м. в точке x0 => Δy= f’(x0)Δх+α* Δх или limΔx→0Δy=0, это значит, что у= f(x) непрерывна в точке x0.
15.Производная суммы и произведения функций.
Пусть u=u(x) и v=v(x)- функции, определенные в некоторой окрестности точки х и имеют производные в этой точке. Обозначим Δ u=u(x+Δх)- u(x) и Δ v=v(x+Δх)- v(х) приращения этих функций, соответствующие приращению Δх. Эти формулы можно записать в виде u(x+Δх)=u+Δu и v(x+Δх)=v+Δv
Теорема: производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: (u+v)’= u’+ v’
Производная произведения (uv)’= u’v+ u v’, в частности, постоянную можно выносить за знак производной: (Сv)’= Сv’
Док-во: пусть у=u(x)+v(x),тогда приращение суммы равно сумме приращений, Δ у=(u(x+Δх)+v(x+Δх)-(u(x)+ v(х))= Δu+Δ v и => у’= limΔx→0Δy/Δx= limΔx→0 Δu+Δ v /Δх== limΔx→0 (Δu/Δх+Δ v /Δх)= limΔx→0 Δu/Δх+ limΔx→0Δ v /Δх= u’+ v’
пусть у=u(x)*v(x),тогда приращение произведения равно Δ у=(u(x+Δх)*v(x+Δх)-u(x)*v(х)=(u+Δ u)(v+Δv)- uv=Δuv+uΔv+ΔuΔvи=>у’=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0Δuv+uΔv+ΔuΔv/Δх==limΔx→0(Δu/Δх*v+u*Δv/Δх+Δu/Δx*Δv)= u’v+uv’.
Пусть u(x)=const. применяя2 получаем (Сv)’= C’v+Сv’, т.к. С’=0
16.Производная частного. Производная функций у=tgx, y=ctgx.
Производная частного: (u/v)’= u’v-uv’/v2
Док-во: пусть у=: u(х)/v(х), тогда приращение частного равно Δу= u(х+Δх)/v(х+Δх)- u(х)/v(х)=u+Δu/v+Δv-u/v=(u+Δu)v-u(v+Δv)/(v+Δv)v=Δuv-uΔv/(v+Δv)v и следовательно, y’=limΔx→0 Δy/Δx= limΔx→0 Δuv-uΔv/Δx*1/(v+Δv)v== limΔx→0 Δu/Δx*v-u*Δv/Δx/(v+Δv)v=u’v-uv’/v2
у=tgx, y’=( tgx’)=(sinx/cosx)’= cosxcosx-sinx(-sinx)/cos2x=1/cos2x
y=ctgx, y’=( ctgx’)=(cosx/sinx)’=-sinxsinx- cosxcosx/ sin2x =-1/sin2x