18 Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись ,,означает, что векторсчитается первым,- вторым,- третьим.

Тройка некомпланарных векторов ,,называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы,,расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведенем трех векторов ,,называется число, равное векторному произведению, умноженному скалярно на вектор, то есть.

Имеет место тождество, ввиду чего для обозначения смешанного произведенияупотребляется более простой символ. Таким образом,

,.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,,, взятого со знаком плюс, если тройкаправая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы,,компланарны (и только в этом случае), смешанное произведениеравно нулю; иначе говоря, равенство

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов ,,.

Применение смешанного произведения

Применяется для вычисления объемов.

 Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .

Таким образом, и.

Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначими заметим, что. По определению скалярного произведения

. Предполагая, что и обозначив черезh высоту параллелепипеда, находим .

Таким образом, при

Если же , тои. Следовательно,.

Объединяя оба эти случая, получаем или.

Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение, а если– левая, то.

 Для любых векторов ,,справедливо равенство

.

Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и. Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторамииииодновременно острые или тупые.

 При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.

Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например,или

.

19 Вычисление смешанного произведения в координатах. Признак компланарности трех векторов

Если векторы ,,заданы своими координатами:

, ,

то смешанное произведение определяется формулой

.

Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов ,,).

Свойства смешанного произведения.

1 Кососимметричность. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:

Полилинейность, т.е. линейность по каждому сомножителю:

2

3,

Эти свойства следуют из соответствующих свойств определителя, так как смешанное произведение в координатах выражается в виде определителя.

 Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы– компланарны.

Доказательство.

1. Предположим, что , т.е., тогдаилиили.

Если , тоилиили. Поэтому– компланарны.

Если , то,,- компланарны.

2. Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны , т. е.и. Тогда, а значит, поэтомуили.

Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если.

Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:

.

Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.