28.Точки экстремума. Достаточное условие экстремума по второй производной.
Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2 )). Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ ( x ) > 0 ( f ¢ ( x ) < 0). Точка x о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) £ f ( x о ) ( f ( x ) ³ f ( x о )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ¢ ( x о ) = 0, либо f ¢ ( x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ ( x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f ( x ) имеет производную f ¢ ( x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f ¢ ( x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].
29.Выпуклость и вогнутость ,точки перегиба связь со второй производной
Вторая
производная. Если
производная f
'
( x
) функции f
(
x
) дифференцируема в точке ( x0
), то её производная называется второй
производной функции
f
(
x
) в
точке ( x0
), и обозначается
f
'' (
x0
). Функция f
(
x
) называется выпуклой
на интервале ( a,
b
), если её график на этом интервале лежит
ниже
касательной, проведенной к кривой
y
= f (
x
) в любой точке ( x0
,
f
(
x0
) ), x0
(a,
b
).
Функция
f
(
x
) называется вогнутой
на интервале ( a,
b
), если её график на этом интервале лежит
выше
касательной, проведенной к кривой
y
= f (
x
) в любой точке ( x0
,
f
(
x0
) ), x0
(a,
b
).Достаточное
условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть
функция f
(
x
) дважды дифференцируема ( имеет вторую
производную ) на интервале ( a,
b
), тогда: если f
'' (
x
) > 0 для любого x
(a,
b
), то функция f
(
x
) является вогнутой
на интервале ( a,
b);если
f
'' (
x
) < 0 для любого x
(a,
b
), то функция f
(
x
) является выпуклой
на интервале ( a,
b
) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
30.Асимптоты.Аси́мпто́та(отгреч.—
несовпадающий, не касающийся)кривойсбесконечнойветвью —прямая,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этойпрямойстремится к нулю при удалении точки
вдоль ветви вбесконечность[2].
Термин впервые появился уАполлония
Пергского, хотя асимптотыгиперболыисследовал ещёАрхимед
.Вертикальная асимптота —прямаявида
при
условии существованияпредела
.Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например:
Замечание:
обратите внимание на знаки бесконечностей
в этих равенствах.
ГоризонтальнаяГоризонтальная
асимптота — прямая
вида 
при
условии существованияпредела
.
НаклоннаяНаклонная
асимптота — прямая
вида 
при
условии существованияпределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных(горизонтальных) асимптот!Замечание:
Если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен
),
то наклонной асимптоты при
(или
)
не существует!
Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами
Если
при вычислении предела 
,
то очевидно, что наклонная асимптота
совпадает с горизонтальной. Какова же
связь между этими двумя видами асимптот?
Дело
в том, что
горизонтальная асимптота является
частным случаем наклонной
при 
,
и из выше указанных замечаний следует,
что
Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
Существование указанных в п. 1. асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.