21.Теорема Ферма и Ролля.

Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс .

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

22.Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть f(t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f(b) − f(a) есть путь, пройденный с момента t = a до момента t = b, отношение — средняя скорость за этот промежуток.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:что и требовалось доказать.

23.Теорема коши об отношении приращений двух функций на отрезке

Если f (x) и φ (x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемы внутри него, причем φ' (x) нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка х = с, a<c<b, чтоТеорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дробиДействительно, мыполучили бы в этом случае (после сокращения дроби на

(b – a)) формулу в которой a<c1<b, a<c2<b. Но так как вообще говоря, с1≠с2, то получаемый результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши.

24.Правила Лопиталя

Правило Бернулли Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Условия:

1. или

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует

тогда существует .Пределы также могут быть односторонними.

25.Тейлора формула, формула

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n [то есть Rn (x) = an (x)(x—a) n, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то Rn (x)можно представить в видах:где x и x1 — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.