10.Система координат. Выражение координат вектора через координаты его конца и начала.

Опр. Система координат(в пространстве) состоит из базиса ,,и точки О, которая наз. началом координат. Координатами точки М в системе координат (О;,,)называются координаты ее радиуса-вектора в базисе,,.

Таким образом точка М имеет координаты , М(), если,

Теорема.(выражение координат вектора через координаты его конца и начала).координаты вектора, соединяющего две точки, равны разностям координат его конца и начала, т.е. если ,

(),(), То координаты вектора() равны-,-,-.

Док-во. По правилу треугольника и следовательно ,-. Сравнивая координаты в левой и правой части, получаем требуемое.

11. Деление отрезка в данном отношении.

Опр. Точка С на прямой АВ делит отрезок АВ в отношении λ, если

заметим, что точка С не обязана лежать внутри отрезка АВ, а λ может быть отрицательным. Если С лежит внутри АВ, то векторы имеют одинаковое направление и λ>0, а если С лежит вне АВ, то λ<0.

Теорема. Если А=(), В=() и точка С делит отрезок АВ в отношении λ, то координаты точки С() равны=,,=.

Док-во. Соединим точки А,В,С с началом координат О. координаты точек А,В,С равны координатам их радиусов-векторов. Имеем,a и , следовательно,, т. е. (1+λ)=, откуда. Сравнивая координаты векторов в левой и правой части, получаем искомые формулы.

Следствие . координаты середины отрезка равны средним арифметическим его концов: =,=,

=.

Док-во. Точка С, середина отрезка АВ, делит этот отрезок в отношении λ=1.

12.Прямоугольная система координат. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OY вверх, ось OX смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X'X и Y'Y, называются координатными углами или квадрантами

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: .

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси .

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: .

Опр. Система координат (О;,,) наз. прямоугольной , если :1) базисные векторы имеют единичную длину:===1;

2)базисные векторы попарно ортогональны (перпендикулярны): ⏊⏊.

базисные векторы при этом обычно обозначают наз. базисными ортами, а координаты обозначают х ,у,z. Оси координат называют: Ох-осью абсцисс, Оу - осью ординат, Оz-осью аппликат.

Теорема. Длина вектора =(X,Y,Z) равна корню из суммы квадратов его координат: ||=.

Док-во. Вектор представляется диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами Х,.

Длины сторон параллелепипеда равны |Х|,|У|,|Z|.квадрат длины диагонали прямоугольного парал. равен сумме квадратов длин его сторон(нужно дважды применить теорему Пифагора). Отсюда получается искомая формула.

Следствие . расстояние между точками А() и В() равно АВ=.

Док-во. АВ=||, а=().

13.Величина проекции вектора на ось. Направляющие косинусы.

Ось - это прямая, на которой выбрано направление. Пусть направление на оси задается единичным вектором .

Пусть -произвольный вектор и пусть А΄ и В΄ -ортогональные проекции точек А и В на прямуюl. Вектор наз. проекцией векторана осьl.

Опр. Величиной проекции вектора на осьl наз. координата вектора на прямойl относительно базисного вектора , т.е. такое число, что=,.

Таким образом, мы различаем проекцию вектора на ось и величину проекции вектора на ось: первое-это вектор, а второе – число. При параллельном переносе вектора векторатакже параллельно сдвигается на осиl. Поэтому величина проекции вектора не зависит от выбора представителявектора. Также величина проекции суммы векторов равна сумме их величин проекции.

Теорема. Величина проекции вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью: =||cosφ,где φ=<().

Док-во. рассмотрим два случая :1)уголφ-острый,2)уголφ-тупой.

Из прямоугольного треугольника ΔАВС в каждом из этих случаев имеем: 1)=АС=||cosφ. 2)=-АС=-|cos(П-φ)=-|(-cosφ)=|cosφ.

Направляющие косинусы.

Пусть α,β,γ –углы, которые вектор =(X,Y,Z)составляет с осями координат. Косинусы этих углов ,cosα, cosβ,cosγ наз. направляющими косинусами вектора .

α=<(Ox.);β=<(Oy); γ=<(Oz,.

Ясно, что координаты вектора равны величинам проекций этого вектора на оси координат. Поэтому Х==|cosα; Y==|cosβ; Z==|cosγ.

Отсюда можем найти направляющие косинусы: cos==;cosβ=;cosγ=

Опр. Вектор =, имеющий единичную длину и такое же направление , как и вектор, наз. ортом вектора

Вектор имеет координаты (cosα, cosβ,cosγ). Так как |=1 получаем соотношение между направляющими косинусами.