5. Теорема о «двух милиционерах».

Теорема: Пусть f(x), g(x) и h(x)- функции, определенные в проколотой окрестности точки х₀ и такие, что:

1. f(x)≤ g(x)≤ h(x);

2. существует(Ǝ) lim_х→х0 f(x)=lim_х→х0 h(x) =A

Тогда существует(Ǝ)lim_х→х0 g(x) =A

Другими словами, если функция «зажата» между двумя фун-ми, имеющими общий предел, то она имеет этот же предел. Для числовых последовательностей эта теорема имеет следующую формулировку. Пусть

{a_n}, {b_n}, {c_n}- последовательности такие, что:

1. а_n≤b_n ≤ с_n ;

2. существует() lim_n→∞ a_n=lim_n→∞ c_n =a.

Тогда существует() lim_n→∞ b_n =a.

Док-во: Требуется доказать, что lim_х→х0 g(x) =A. Пусть дано ε>0. Тогда из условия 2 теоремы и из определения предела суммы следует, что существует() δ₁ такое, что при 0<│х-х₀│<δ₁ выполняется неравенство А- ε< f(x)<A+ε b существует() δ₂ такое, что при 0<│х-х₀│<δ₂ выполняется неравенство А-ε< h(x)<А+ε. Пусть δ=min{δ₁ δ₂}. Тогда при 0<│х-х₀│<δ выполняются оба неравенства и , принимая во внимание условие 1, получаем: А-ε<f(x)≤g(x)≤h(x)<А+ε. Таким образом, при 0<│х-х₀│<δ выполняется неравенство А-ε<g(x)<А+ε. Это и означает, что lim_х→х0 g(x) =A.

6. Первый замечательный предел.

Теорема: lim_x→0sinx/x=1

Док-во: Лемма1 если 0<х<π/2 острый угол, тогда sinx<x<tgx

Док-во: рассмотрим единичную окружность и угол, величина которого Х, рассмотрим центральный угол величины Х в единичной окружности. Из треугольника ОДВ=> ВД=sinx, из треуг. ОАС=>AC=tgx, сравним S треуг.ОАС, ОАВ сектора ОАВ и получим:

S_{треуг.OAB}≤ S_{сектора.OAB}≤ S_{треугOAC,} т.е. ½*1*sinx≤1/1*1²x≤1/2*1*tgx.

7.Теорема о пределе монотонной ограниченной функции. Второй замечательный предел.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Теорема: Монотонная ограниченная функция (последовательность) имеет предел. Например, если последовательность {a_n}i возрастает и ii ограничена, т.е. существует(Ǝ) M=const такое, что a_n<M для всех n, то существует(Ǝ) lim_n→∞a_n.

Теорема: lim_n→∞(1+1/x)^x=е это предел есть неопределенность вида «1^∞». Если сделать замену переменной х=1/t, t=1/x, то этот предел можно переписать в виде lim_t→0(1+t)^1/t=е или в общем виде lim_x→x0(1+α(x))^1/α(x)=е, где α(х)-б.м. в точке х_0.

8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

Сравнение б.м. основано на рассмотрении предела их отношения. Пусть α и β б.м. в т. х_0.

Определение: если lim_x→x0 β(х)/α(х)=С, где С=constи С≠0, то б.м. α и β называются б.м. одного порядка. В частности, если С=1, т.е. lim_x→x0 β(х)/α(х)=1, то α и β называются эквивалентными б.м. и это записывается в виде α~β. Если же С=0, т.е. lim_x→x0 β(х)/α(х)=0, то б.м. β называется б.м. высокого порядка, чем α. Это записывают так: β=о(α) и читают «бэта есть о малое от альфа»(здесь о-буква). Если lim_x→x0 β(х)/α(х) не существует, то α(х) и β(х) называют несравнимыми

Теорема (принцип отбрасывания б.м.): две б.м. α(х) и β(х) в т. х₀ эквивалентны  когда их разность есть б.м. более высокого порядка, чем каждая из них, α~β β-α=γ=оα (uγ(=)оβ) или по-другому, α~ββ=α+оα.

Док-во: α~β  lim_x→x0 β(х)/α(х)=1  lim_x→x0 (β(х)/α(х)-1)=0  lim_x→x0 β(х)-α(х)/α(х)=0, т.е β-α=о(α)

Теорема: если α~α₁ и β~β₁ эквивалентные б.м. в т. х₀, то lim_x→x0 α(х)/β(х)^[0/0]=lim_x→x0 α₁(х)/β₁(х) т.е. при вычислении предела отношения двух б.м. числитель и знаменатель можно заменять на эквивалентные б.м.

Док-во: имеем тождество α/β=α/α₁*β₁/β*α₁/β₁. Поэтому lim_x→x0 α(х)/β(х)= lim_x→x0 α(х)*β₁(х)* α₁(х)/ α₁(х) *β(х)* β₁(х)= lim_x→x0 α₁(х)/β₁(х) по теореме о пределе произведения, т.к. первые две дроби в произведении стремятся к единице.